微扰论要做什么

多费米子/玻色子体系的典型哈密顿量为：

$H = H_0 + V = \sum_{k\sigma}\xi_{k\sigma}c^\dagger_{k\sigma}c_{k\sigma} + \frac12\sum_{k_1\sigma_1,k_2\sigma_2,q}V_q\,c^\dagger_{k_1-q\sigma_1}c^\dagger_{k_2+q\sigma_2}c_{k_2\sigma_2}c_{k_1\sigma_1}$

其中 $\xi_{k\sigma} = \varepsilon_{k\sigma}-\mu$ 是相对化学势的单粒子能量。自由体系 $H_0$ 的格林函数很容易求，但有相互作用 $V$ 时格林函数几乎不可能精确计算。常规做法是对相互作用 $V$ 做微扰——把格林函数写成相互作用强度的泰勒展开（虽然常常还需要对级数重求和）。这一讲介绍微扰的两种常用语言：正则形式（算符语言）和路径积分（场语言）。会其中一种往往就够了。

正则形式（虚时间）

对平衡体系，知道推迟格林函数就够了（它蕴含了所有两点格林函数的信息，见第四讲），而推迟格林函数又能由 Matsubara 格林函数解析延拓得到。Matsubara 格林函数天然适用于非零温度，也覆盖零温极限。本节介绍计算它的微扰方法：

$\mathcal{G}^{T}(\tau) = -\langle T c(\tau)c^\dagger(0)\rangle$

其中 $O(\tau) = e^{\tau H}O(0)e^{-\tau H}$，平均 $\langle\cdot\rangle = \mathrm{Tr}[\hat{\rho}\,\cdot]$，$\rho = e^{-\beta H}/Z$。

为了对式 (5.0.1) 的相互作用项 $V$ 微扰，定义相互作用绘景：把演化算符分离为 $e^{-\tau H} = U_0(\tau)U_I(\tau)$，其中 $U_0(\tau) = e^{-\tau H_0}$，$U_I(\tau) = T e^{-\int_0^\tau d\tau’ V_I(\tau’)}$。相互作用绘景算符 $O_I(\tau) = e^{\tau H_0}O(0)e^{-\tau H_0}$。可以导出（对 $\tau>0$）：

$\mathcal{G}^{T}(\tau) = -\frac{\langle T\,U_I(\beta)\,c_I(\tau)c^\dagger_I(0)\rangle_0}{\langle U_I(\beta)\rangle_0}, \qquad U_I(\beta) = Te^{-\int_0^\beta d\tau\,V_I(\tau)}$

这就是微扰的出发点：把 $U_I$ 对 $V_I$ 做泰勒展开。推导中用到 $U_I(\tau_2,\tau_1) = U_I(\tau_2)U_I(\tau_1)^{-1}$、时序符号下重排的自由度，以及 $V$ 是玻色型算符（交换不产生负号）。

Wick 定理

展开 $U_I$ 时会遇到 $\langle T V_I c_I c^\dagger_I\rangle_0$ 这类项，其中典型的是多点时序关联函数 $\langle T c^\dagger(x_1)c^\dagger(x_2)c(x_3)c(x_4)c(x_5)c^\dagger(x_6)\rangle_0$（$x = (m,\tau)$，$m$ 标记单粒子态，如动量 $k$）。计算它要用时序版本的 Wick 定理：

Wick 定理：在某些态下，场算符的时序多点关联函数等于时序两点关联函数乘积的求和（每一项对应一种”收缩”配对）：
$\langle T c^\dagger(x_{i_1})\cdots c(x_{i_{2n}})\rangle_0 = \sum_{\text{全部配对}}\zeta^P\,\langle T c^\dagger c\rangle_0\,\langle T c^\dagger c\rangle_0\cdots$
对 $n$ 个产生、$n$ 个湮灭算符的关联函数，有 $n!$ 种收缩配对，相位 $\zeta^P$ 由交换符号决定（$P$ 是重排奇偶性）。

【配图】图 5.1.1：Wick 定理示意。第一行：$2n$ 点关联函数等于对所有两两”收缩”求和（虚线连接配对）；最后一行：每个收缩给出一个自由时序两点关联函数 $\mathcal{G}^{T}_0(x_{i},x_{j})$ 的乘积。

证明思路：注意密度矩阵是直积 $\rho_0 = \prod_k\rho_k$，且 $\rho_k$ 在占据数表象对角的。要使 $2n$ 点关联函数非零，算符串中每个 $c(k,\tau)$ 必须有对应的 $c^\dagger(k,\tau’)$ 使该态粒子数不变。因此每个非零贡献都可看作 $n$ 对收缩。计算每对收缩要”搬运”三步：①把算符排成时序（去掉时序符号，留下 $\zeta^{P_1}$ 符号）；②把每对算符搬成相邻（加 $\zeta^{P_2}$）；③给每对加时序符号并排成正则序（加 $\zeta^{P_3}$）。最后 $P_{i_1,\ldots,i_{2n}} = P_1+P_2+P_3$。

路径积分语言里，Wick 定理可由高斯积分更直接地证明。

尝试说服自己：Wick 定理的条件不必那么严格。产生/湮灭算符不必是 $H_0$ 的单粒子本征态，可以是任意单粒子态的产生/湮灭算符，例如空间位置的场算符 $c(r,\tau)$。

例子：费米子的四点关联函数：

$\begin{aligned} \langle T c^\dagger(x_1)c^\dagger(x_2)c(x_3)c(x_4)\rangle_0 &= \langle T c(x_4)c^\dagger(x_1)\rangle_0\langle T c(x_3)c^\dagger(x_2)\rangle_0 - \langle T c(x_3)c^\dagger(x_1)\rangle_0\langle T c(x_4)c^\dagger(x_2)\rangle_0\\ &= \mathcal{G}^T_0(x_4,x_1)\mathcal{G}^T_0(x_3,x_2) - \mathcal{G}^T_0(x_3,x_1)\mathcal{G}^T_0(x_4,x_2) \end{aligned}$

例子：验证均匀密度-密度关联函数。对自由费米子 $W = \langle T\hat{n}(\tau)\hat{n}(\tau’)\rangle_0$，直接计算得 $W = (\sum_k n_k)^2 + \sum_k(n_k-n_k^2)$；用 Wick 定理也得同一结果。对相互作用体系二者还一致吗？（这正是”连通图”概念出现的动机。）

图解微扰

把式 (5.2.1) 逐阶展开后，高阶项爆炸式增多。为组织计算，用费曼图表示求和中的各项。

两点自由格林函数用连接两点的线表示：

$G_0(x_1,x_2):\quad \text{从 }x_2\text{ 到 }x_1\text{ 的带箭头线}$

线的箭头从产生算符指向湮灭算符，可理解为在 $x_2$ 创造粒子、在 $x_1$ 湮灭它的过程。

画图规则：

每个点（标号 $x$）代表一个产生/湮灭算符；
每条连接两点的线代表一次 Wick 收缩（自由格林函数）；
具有相同时间变量的点（如式 (5.2.1) 中 $V_I(\tau)$ 的四个算符）画在同一位置，形成顶点；
不属于外腿的点总有时间、空间标签需要积分；
多点关联函数同样规则。

一阶项 $\int_0^\beta d\tau\langle T V_I(\tau)c_I(x_1)c^\dagger_I(x_2)\rangle_0$ 的收缩归成两类图：Hartree 型（两条内线各自闭合，外腿直接相连）和 Fock/交换型（外腿经顶点相连）。二阶项同样有若干种图。

求值规则：每个费曼图对应一个确定的表达式——每条线是一个自由格林函数（传播子），对顶点的指标积分。虽然每个图有固定的相互作用阶数 $m$，但它对应很多不同的 Wick 收缩，因此每个图要乘一个组合因子 $R$。若图有若干互不连通的部分，其值就是各部分的乘积；整图的组合因子等于各连通部分组合因子的乘积。

频率-动量域

格林函数常在频率-动量域计算：$G_0(k,i\omega_n) = \int_0^\beta d\tau e^{i\omega_n\tau}G_0(k,\tau)$。由于时空平移不变性，把图写进频率-动量域常常能得到简化表达式。每个顶点得到频率-动量守恒：进入顶点的频率/动量之和等于离开顶点的频率/动量之和（来自对每个顶点时空积分后的 $\delta$ 函数）。在频率-动量表示中，图的值就是各条线的乘积，对所有圈的频率-动量求和。

玻色子介导的相互作用

库仑相互作用可视为由”光子”（动量 $q$）介导的两体相互作用。电子-声子相互作用 $M_{k+q,k}(a_q + a^\dagger_{-q})c^\dagger_{k+q}c_k$ 也是如此。两种情形都常把玻色子明确画进图里（波浪线）。库仑线两端有相同时间 $\tau$（低能密度-密度相互作用是瞬时性的，等效光速无穷大）；电子-声子相互作用线的两端时间不同。

密度-密度相互作用的求值规则（式 (5.2.5)）：

$G = R\cdot\left(\prod\text{相互作用核}\right)\cdot\left(\prod\text{传播子}\right), \qquad R = \frac{(-1)^m\zeta^F(2s+1)^F}{\beta^m p}$

每个相互作用顶点贡献一个相互作用核 $V_q$（可视为动量 $q$ 的光子传播子）；每条实线贡献费米传播子 $G_0(k,i\omega_n)$；
$R$ 是组合因子，等于该图代表的 Wick 收缩数乘以泰勒展开系数 $(-\frac12)^m/m!$。具体来源：①交换 $V_I$ 顶点给出 $m!$ 重复（消掉 $1/m!$）；每个顶点交换相互作用线两端给出因子 2（消掉 $\frac12$）；虚时积分加傅里叶展开给出 $1/\beta$；②每个独立费米子圈有自由自旋指标求和贡献 $(2s+1)$，费米子圈还带负号（每个圈一个 $\zeta = -1$）；③上面方法多算了 $p$ 倍，$p$ 是使图不变的操作数（图对称群的阶数）。例如图 5.2.3(a)(b) 下面两图 $p=2$，图 (c) $p=1$。

频率求和：计算图时会遇到 Matsubara 频率求和。常用技巧是把它化为复平面上的围道积分：

$\sum_{i\omega_n}g(i\omega_n) = \zeta\beta\oint\frac{dz}{2\pi i}f(z)g(z) - \zeta\beta\sum_i f(z_i)\,\mathrm{Res}[g(z_i)]$

其中 $f(z) = 1/(e^{\beta z}-\zeta)$ 是玻色($\zeta=1$)/费米($\zeta=-1$)占据数，围道是半径为无穷大的大圆，$z_i$ 是 $g(z)$ 的极点。若 $g(z)\to0$ 比 $1/|z|$ 快，围道积分消失，只剩第二项（$g$ 的留数）。

【配图】图 5.2.1/5.2.2/5.2.3：一阶、二阶两点格林函数的费曼图，以及库仑相互作用图与点相互作用的对应关系。

例子（电子液体的 Hartree 与交换能）：图 5.2.3(a)(b) 下面两图在频率-动量域：

$V^{(h)} = -\frac12\beta V_{q=0}n^2 \quad\Rightarrow\quad F^{(h)} = \frac12V_{q=0}n^2$

这是电子液体的经典自相互作用能，称为 Hartree 能。对库仑相互作用 $V_{q=0}$ 无穷大，对应宏观电荷的无穷大静电相互作用能——真实固体中由正电荷背景（离子）抵消。

$V^{(ex)} = \beta\sum_{k,k'}V_{k-k'}f(\xi_k)f(\xi_{k'}) \quad\Rightarrow\quad F^{(ex)} = -\sum_{k,k'}V_{k-k'}f(\xi_k)f(\xi_{k'})$

称为交换能，对排斥相互作用为负。在经典相互作用能（Hartree 能）之上，交换能是费米统计的负修正：由于泡利不相容，两个电子不太可能彼此靠近。

收敛性问题：做频率求和时，$G_0(z)f(z) = \frac{f(z)}{z-\xi_k}$ 在左半复平面似乎衰减不够快。为消解此问题，注意实际传播子是 $G_0(z) = \frac{e^{z\delta}}{z-\xi_k}$（$\delta$ 为趋于 0 的正无穷小），其来源是加入时序符号前相互作用项保持正则序 $V_I(\tau) = c^\dagger_1(\tau+\delta)c^\dagger_2(\tau+\delta)c_3(\tau)c_4(\tau)$ 的假设。一个留给大家的问题：若在加时序符号前取 $V_I(\tau) = c^\dagger_1(\tau-\delta)c^\dagger_2(\tau-\delta)c_3(\tau)c_4(\tau)$，Hartree 和交换能是否一样？

连通图与真空图的相消

式 (5.1.3) 的时序格林函数可图解为（分子各种图 / 分母各种图）。分母代表相互作用使配分函数重正化的因子 $Z^$，由真空极化图构成。真空图分连通与不连通两类，可以证明（*连锁团簇定理）：

$Z^* = \exp\left(\sum\text{互不相同的连通真空图}\right) = \exp(-\beta F^*)$

指数上的 $F^*$ 是互不相同的连通图之和，其物理意义是相互作用的自由能修正。

分子的图也可分为连通与不连通两类，可以因式分解为 $Z^\times(\text{连通图之和})$。因此*分子中的真空极化图被分母精确抵消。最终结论：计算格林函数时，只需对互不相同的连通图求和：

$G(x_1,x_2) = \text{所有连通图之和}$

Dyson 重求和与自能

观察两点格林函数可发现 Dyson 方程结构：

$G = G_0 + G_0\Sigma G_0 + G_0\Sigma G_0\Sigma G_0 + \cdots = G_0 + G_0\Sigma G$

其中 $\Sigma$ 是自能，为所有单粒子不可约（1PI）图之和。

单粒子可约（1PR）图：切掉一条（内部）传播子就能分成两个不连通部分；
单粒子不可约（1PI）图：不能这样切开。

解 Dyson 方程得：

$G = \frac{G_0}{1 - G_0\circ\Sigma} = \frac{1}{G_0^{-1}-\Sigma}$

$\circ$ 表示卷积。在频率表示中卷积变成乘积：

$G(k,i\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n - (\xi_k + \Sigma(k,i\omega_n))}$

自能 $\Sigma$ 表现为极点位置的移动——粒子因相互作用获得能移。实际做法：只算 1PI 图，代入上式得到重求和的格林函数。

例子（电子液体的领头阶自能）：

Hartree 自能（图 5.2.3 左侧）：$\Sigma^{(h)}(k,i\omega_n) = V_0n$，是电子因”均匀”负电荷（所有电子）静电势获得的能移，在固体中由正电荷背景抵消；
交换自能（右侧）：$\Sigma^{(ex)}(k,i\omega_n) = -\sum_{k’}V_{k-k’}f(\xi_{k’})$，负号表示有效能量下移。物理意义：与”所有其他电子形成均匀负电荷”的经典图像相比，泡利不相容使该电子靠近其他电子的概率变小。

思考：若相互作用极短程（两个电子只在接触时相互作用，contact interaction），自旋无（spinless）的电子之间这个相互作用还有效果吗？这个结论如何在 Hartree 与交换自能中体现？

多点函数

对四点（及更高点）时序格林函数，上述结论大多成立：不应包含真空极化图：

$G(x_1,x_2,x_3,x_4) = \langle T c(x_1)c(x_2)c^\dagger(x_3)c^\dagger(x_4)\rangle = \text{连通图之和}$

四点函数也有 Dyson 重求和技术，其”自能”是两点不可约（2PI）图。

生成泛函

生成泛函是计算格林函数、获得物理理解的好工具。虚时间形式主义中定义：

$S_{eff}[f(\tau)] = -\ln Z[f(\tau)] = -\ln\mathrm{Tr}\left[T e^{-\int_0^\beta d\tau(H + f(\tau)A + g(\tau)B)}\right]$

这个泛函可理解为外场 $f(\tau),g(\tau)$ 的有效作用量。其零场极限就是自由能除以温度。注意：$A,B$ 是玻色算符时外场是普通数（复数/实数），是费米算符时则是格拉斯曼数。

虚时序格林函数是生成泛函在零外场的导数：

$-\langle T A(\tau_1)B(\tau_2)\rangle = \left.\frac{\partial^2 S_{eff}}{\partial f(\tau_1)\partial g(\tau_2)}\right|_{f,g=0}, \qquad -\langle T A A A A\rangle = \left.\frac{\partial^4 S_{eff}}{\partial f\partial f\partial f\partial f}\right|_{f,g=0}$

注意：等号左边的多点格林函数只含连通图。不连通部分因为取 $\ln Z$ 的导数而被消掉。结论：有效作用量中 $O(f^n)$ 项的系数就是连通 $n$ 点格林函数。

路径积分

路径积分是计算量子力学系统物理量（跃迁幅、格林函数、配分函数）的常用语言。它让量子-经典对应更加透明，物理图像更好。所有物理可观测量都能表示成路径积分，因此体系常直接用某个作用量的路径积分来定义。有些作用量能描述比哈密顿量更一般的体系（如环境自由度被”积掉”的开放系统）。本节用路径积分重述格林函数和微扰论，记号比正则形式简单得多。

实时间路径积分

正则基：考虑单粒子 $H = H(q,p)$。从初始态 $|\psi_i\rangle$ 到末态 $|\psi_f\rangle$ 的跃迁幅为：

$\langle\psi_f|U(T)|\psi_i\rangle = \int D[q(t),p(t)]\,\exp\left(i\int_0^T dt(p\dot q - H(q,p))\right)\psi_f^*(q_f)\psi_i(q_i)$

即对相空间中满足边界条件的所有路径积分。推导：把时间切成 $N$ 段（$\delta = T/N$），每段插入完备基。当哈密顿量形如 $H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ 时，可完成对 $p(t)$ 的高斯积分，得到拉格朗日形式：

$\langle\psi_f|U(T)|\psi_i\rangle = \int D[q(t)]\,e^{iS[q(t)]/\hbar}\,\psi_f^*(q_f)\psi_i(q_i), \qquad S[q(t)] = \int_0^T dt\,L(q,\dot q,t)$

其中 $L = \frac12 m\dot q^2 - V(q)$。每条路径贡献相位 $e^{iS/\hbar}$。路径平滑变化时相位振荡，相邻路径趋于相消；其中特殊的”鞍点”路径满足 $\delta S/\delta q(t) = 0$，即经典运动方程 $\frac{d}{dt}\partial_{\dot q}L = \partial_q L$（经典路径）。$\hbar\to0$ 极限下只有经典路径及其近邻对路径积分有贡献——这就是经典极限。

高斯积分：单变量 $\int_{-\infty}^\infty dx\,e^{-ax^2} = \sqrt{\pi/a}$。$N$ 维：$\int d[\phi]e^{-\phi_i A_{ij}\phi_j} = \sqrt{\pi^N/\det(A)}$，复变量 $\int d[\phi^,\phi]e^{-\phi_i^A_{ij}\phi_j} = \pi^N/\det(A)$。带源场 $f_i$：$\int d[\phi]e^{-\phi_iA_{ij}\phi_j+f_i\phi_i} = \sqrt{\frac{\pi^N}{\det A}}e^{\frac14 f_i(A^{-1})_{ij}f_j}$，复变量：$e^{f_i^*(A^{-1})_{ij}f_j}$。

相干态路径积分与格拉斯曼数

对用产生湮灭算符写的二次量子化哈密顿量，常用相干态作路径积分的基。玻色/费米相干态都可写为：

$|\psi\rangle = e^{\zeta\psi a^\dagger}|0\rangle$

$\zeta = +1(-1)$ 对应玻色（费米）子。玻色子的 $\psi$ 是普通复数；费米子的 $\psi$ 是格拉斯曼数（满足反对易代数）。相干态是湮灭算符的本征态 $a|\psi\rangle = \psi|\psi\rangle$，重叠 $|\langle\psi’|\psi\rangle = e^{\psi’^*\psi}$，单位分解：

$\hat{I} = \int d(\bar\psi,\psi)\,e^{-\bar\psi\psi}\,|\psi\rangle\langle\psi|$

由此构造相干态路径积分：跃迁幅为

$\langle f|U(t)|i\rangle = \int D[\bar\psi(t),\psi(t)]\,e^{iS[\bar\psi,\psi]}, \qquad S[\bar\psi,\psi] = \int dt\,L, \quad L = \bar\psi i\partial_t\psi - H(\bar\psi,\psi)$

推广到量子场论只需给相干态变量加上空间标签。典型拉格朗日密度：

$L = \bar\psi\left(i\partial_t - \omega_0 - \frac{(i\nabla)^2}{2m}\right)\psi - V_{interaction}[\bar\psi,\psi]$

格拉斯曼数：生成元 $\{\psi_i\}$ 构成反对易代数（又称外代数，与微分形式同构）：乘积结合且反对易 $\{\psi_i,\psi_j\}=0 \Rightarrow \psi_i^2=0$。单变量函数展开为 $f(\psi) = a+b\psi$。微分与积分相同：$\partial_{\psi_i}\psi_j = \delta_{ij}$，$\int d\psi = 0$，$\int\psi d\psi = 1$。因此 $\int d\psi\,f(\psi) = b$。格拉斯曼高斯积分：$\int d[\bar\psi,\psi]e^{-\bar\psi_iA_{ij}\psi_j} = \det(A)$，带源 $e^{f_i^*(A^{-1})_{ij}f_j}$（$\bar\psi_i$ 与 $\psi_i$ 相互独立）。格拉斯曼数与费米算符反对易：$\{\psi_i,\hat\psi\}=\{\psi_i,\hat\psi^\dagger\}=0$，与玻色算符或偶费米算符函数对易。

虚时间路径积分

虚时间路径积分用于计算热力学函数和虚时间（Matsubara）格林函数。只需把统计物理中的 $e^{-\beta H}$ 视为虚时间、切成无穷小段乘积。

相干态基：配分函数：

$Z = \mathrm{Tr}[e^{-\beta H}] = \int D[\bar\psi,\psi]\,e^{-S[\bar\psi,\psi]}, \qquad S[\bar\psi(\tau),\psi(\tau)] = \int_0^\beta d\tau\left(\bar\psi\partial_\tau\psi + H(\bar\psi,\psi)\right)$

积分对虚时间上所有路径，玻色/费米满足（反）对称边界条件：$\bar\psi(\beta) = \zeta\bar\psi(0)$。换到频率表示（Matsubara 频率 $\omega_n$）：

$S = \frac1\beta\sum_n\bar\psi_n(-i\omega_n)\psi_n + \int_0^\beta d\tau\,H[\bar\psi,\psi]$

例子：单粒子 $H = \xi a^\dagger a$，配分函数 $Z = \prod_n[\beta(-i\omega_n+\xi)]^{-\zeta}$。

正则基：也可用正则基（$q,p$）构造虚时间路径积分。对单自由度：

$Z = \int D[q(\tau)]\,e^{-S[q(\tau)]}, \qquad S[q(\tau)] = \int_0^\beta d\tau\left(\frac{1}{2m}(\partial_\tau q)^2 + V(q)\right)$

是”虚时间作用量”。

格林函数与生成泛函的路径积分

虚时序格林函数天然可写成路径积分关联函数：

$\mathcal{G}(\tau_1-\tau_2) = -\langle T\hat A(\tau_1)\hat B(\tau_2)\rangle = -\frac1Z\int D[\bar\psi,\psi]\,e^{-S[\bar\psi,\psi]}\,A(\bar\psi(\tau_1),\psi(\tau_1))B(\bar\psi(\tau_2),\psi(\tau_2))$

生成泛函：

$Z[f_1,f_2] = \int D[\bar\psi,\psi]\,e^{-S[\bar\psi,\psi] + \int d\tau(f_1(\tau)A(\tau) + f_2(\tau)B(\tau))} = e^{-S_{eff}[f_1,f_2]}$

其中 $f_1,f_2$ 是”源场”，$S_{eff}$ 是源场的有效作用量。若已算出生成泛函，两点格林函数通过对源场求偏导得到：

$\langle A(\tau_1)B(\tau_2)\rangle = \left.\frac{1}{Z}\frac{\delta^2Z[f_1,f_2]}{\delta f_1(\tau_1)\delta f_2(\tau_2)}\right|_{f=0} = -\left.\frac{\delta^2S_{eff}[f_1,f_2]}{\delta f_1(\tau_1)\delta f_2(\tau_2)}\right|_{f=0}$

更一般地，$S_{eff}$ 对 $f$ 泰勒展开的系数就是 $n$ 点时序格林函数（连通图）。

路径积分语言下的微扰论

Wick 定理：对二次型作用量的生成泛函 $Z[f] = \frac1{Z_0}\int D[\phi]e^{-\frac12\phi^T A\phi + f^T\phi} = e^{-\frac12 f^T A^{-1}f}$，两点、四点自由关联函数由求导得到。由于 $Z[f]$ 是 $f$ 的二次型指数，导数必然成对，每对贡献 $A^{-1}(x_1,x_2) = \langle\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle = G(x_1,x_2)$——这正是 Wick 定理。

问题 5.4.1：把上述 Wick 定理推导推广到复场和格拉斯曼场，并跟踪费米子的符号。

两点格林函数：$-\mathcal{G}(x_1,x_2) = \overline{\phi(x_1)}\phi(x_2) = \frac1Z\int D[\bar\phi,\phi]\bar\phi(x_1)\phi(x_2)e^{-S[\bar\phi,\phi]}$，其中 $S[\bar\phi,\phi] = S_0 + V = \int dx\,\bar\phi(\partial_\tau + \xi_p)\phi + g\bar\phi\bar\phi\phi\phi$。对 $g$ 微扰就是把 $V$ 项的指数做泰勒展开（分子分母同展开，真空图相消）。

思考题

Wick 定理成立的关键条件是什么？为什么需要”密度矩阵是直积”？

自能的物理意义是什么？为什么 $G = 1/(i\omega_n - \xi_k - \Sigma)$ 中自能表现为”极点移动”？

为什么只要对连通图求和？真空图去哪了？

路径积分与正则形式主义得到的微扰结果如何对应？各自优点是什么？