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Contend本博客的所有专栏的目录文章如下： HexoHexo的安装与配置 本博客由Hexo搭建，使用了Github Pages进行托管。出于个人备份和分享的缘故，整理了搭建Hexo的过程和一些心得。 数学群论群论 为了满足科研的需要，我整理了群论的笔记。学习群论对量子力学和固体物理的理解是有裨益的。 主要的参考书籍为：李征新《群论及其在凝聚态物理中的应用》 物理学物理本科的时候延续了高中喜欢做笔记的习惯。从纸质笔记到平板电子笔记和Latex笔记，最终转向Markdown格式的电子笔记。上课的时候整理出以下笔记，并在夏令营复习期间进行了完善。 数学物理方法数学物理方法 对应的课程为PHY2501数学物理方程、PHY2508复变函数和PHY2510概率与统计。主要参考的书籍为： 《数学物理方法》梁昆淼； 《数学物理方程讲义》刘世勇； 理论力学理论力学 对应的课程为PHY1621力学与PHY2601分析力学。主要参考的书籍为： 《力学》舒幼生（老先生千古）； 《力学》秦允豪； 《理论力学》梁昆淼； 高显、陈童、刘川等老师的讲义也有所借鉴。 电磁学与电动力学电动力学 对应的课程为P ...

本讲在课程中的位置 约定表 隐形主线：有限精度会骗你 变分原理：能量泛函与梯度 二维极小化与 2×2 矩阵 变分上界：一份免费的 bug 检测器 幂法与 Krylov 空间 幂法的陷阱 Lanczos 方法：三项递推 递推系数与三对角矩阵 核心校检：HV 的上标 T 等于 V 上标 T 乘 T 起始向量必须归一化 为什么三项递推能保持正交 收敛性：Ritz 值是变分上界 陷阱一：正交性丢失与鬼本征值 重正交化 两种重启方案 收敛判据的陷阱：能量快、谱形慢 第二条链：格林函数 经典格林函数与传播子 量子格林函数与五种排序 含时关联函数与谱函数 局域态密度与 Lehmann 展开 谱函数：Lanczos + 连分数 第二次 Lanczos 陷阱二：alpha 上标 2 必须乘回来 连分数：分块矩阵求逆 陷阱三：连分数必须反向递归 减法谱的符号 收敛快慢由什么决定 一维 Hubbard 环：态密度与 Mott 绝缘体 U 等于 0 的解析基准 U 等于 4 的上下 Hubbard 带 Mott 转变 陷阱四：简并与求和规则 物理与实验：自旋-电荷分离 研究前沿 ...

引言：学习率不只是个常数 为什么常数学习率不够 经典调度族：从阶梯到余弦 Warmup：给几何仪器留校准时间 余弦退火的 folk theory 与真相 The Road Less Scheduled：线性衰减 = 迭代平均 Schedule-Free：不排时间表的自由 调度器与优化器的耦合 代码实验：同一条峡谷，七张时间表 结语 参考 引言：学习率不只是个常数优化器：从SGD、AdamW到Muon与SOAP 把优化器从 SGD 一路讲到 SOAP-Muon，但有个配角始终隐身——学习率 $\eta$ 本身在训练过程中怎么变。如果说优化器决定"往哪走"，调度器决定的就是"走多猛"。再好的优化器配上一成不变的步幅，也会在训练后期撞上噪声地板、或者在前期的病态峡谷里爬行如龟。 深度学习实践者对调度器的态度很微妙：一方面，几乎所有公开的训练配方（MLIP 也不例外）都用预热 + 余弦退火，俨然标配；另一方面，很少有人追问"为什么是余弦"。2024 年的一篇综述（*Learning-Rate Scheduling for Neural Network Training: A Scopin ...

精确对角化：总览 为什么做 ED 希尔伯特空间有多大 ED 能做什么 今天的规模极限 ED 程序的结构 约定警告：格点编号方向与第一讲相反 基矢的比特表示 自旋态 ↔ 二进制 ↔ 十进制 按位运算 四个基本操作 三个进阶操作 哈密顿量矩阵的构造 对角元 非对角元 稀疏三元组：COO 格式 完整代码与验证清单 对称性与基矢查找 块对角化：最便宜的加速 U(1) 对称性 Lin 表：两次内存读取 一个完整的例子：6 格点 3 上 3 下 费米子系统 Hubbard 模型与算符顺序约定 带符号的基矢操作 单一全局比特串：更稳的写法 求解与测量 怎么把矩阵解出来：完全对角化 vs 迭代对角化 有限温度：白送的热平均 例子：4 格点环 Hubbard 的填充曲线 磁化与磁化率 图里的物理：居里定律 实时演化 形式解与 Krylov 加速 实例一：高斯波包与色散 实例二：非扩散波包与飞行量子比特 实例三：自干涉与量子复兴 非厄米哈密顿量 作业与评分 附：复现用的代码工具箱 附：ED 代码自查清单 附：常见错误清单 附：延伸阅读 精确对角化：总览第一讲把整门课的地图铺 ...

弱非均匀电子气 梯度展开（Gradient Expansion） 广义梯度近似（GGA） 本讲继续交换关联泛函，从弱非均匀电子气出发系统性推导对 LDA 的非局域修正。参考：Engel & Dreizler 第 4 章、Martin 第 8-9 章。 弱非均匀电子气在 DFT 与 KS 框架下讨论弱非均匀电子气。上一讲讨论了均匀电子气并构造了 LDA。理解弱非均匀电子气后，就能系统推导 LDA 的非局域修正。”非局域”指交换关联能密度不能写成局域密度的普通函数；KS 势总是局域的。 假设电子-电子相互作用含 Yukawa 屏蔽： w(\mathbf r-\mathbf r') = \frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r'|}}{|\mathbf r-\mathbf r'|}, \qquad w(\mathbf q) = \frac{4\pi}{|\mathbf q|^2+\mu^2}\quad(\mu\to0^+) 问题：库仑相互作用是长程的，$\mu\to0^+$ 极限良定义吗？答：经典库仑静电确实在 $\mu\to0^+$ 发散。但 KS ...

精确交换 E_xc 的精确表示 Jellium 模型与密度泛函理论 局域密度近似（LDA） 本讲介绍交换关联泛函 $E_{xc}[n]$ 最常用的近似。参考：Engel & Dreizler 第 4 章、Martin 第 8-9 章、Giuliani & Vignale 第 6 章。 精确交换惯例上把交换关联泛函分解为： E_{xc}[n] = E_x[n] + E_c[n]其中 $E_x$ 是交换泛函、$E_c$ 是关联泛函。显然这种分解原则上是任意的。 从 Slater 行列式出发的交换泛函通过联系 Hartree-Fock 计算探索 $E_x[n]$ 的自然定义。定义 Hartree-Fock 泛函： F^{HF}[n] = \min_{\Psi\in Slater,\ \Psi\to n}\langle\Psi|\hat T + \hat V_{ee}|\Psi\rangle与 Levy-Lieb 泛函几乎相同，但约束搜索限制在 Slater 行列式内。HF 泛函再分解： F^{HF}[n] = T_s[n] + E_H[n] + E_x[n]其中 $ ...

Kohn-Sham 形式主义 从非相互作用 V 可表示性推导 KS 方程 Janak 定理与分数粒子数 自旋极化体系的 Kohn-Sham 形式主义 从 Kohn-Sham 本征值得到电离势 基态能隙与交换关联泛函的导数不连续 求解 Kohn-Sham 方程 参考：Martin《Electronic Structure》第 7 章；Engel & Dreizler《Density Functional Theory: An Advanced Course》第 3 章。 Kohn-Sham 形式主义先回顾 DFT 的基本原理。HK 定理声称： 基态电子密度确定外势，因此确定完整哈密顿量与体系所有物理可观测量。但这个映射依赖哈密顿量的内部参数——我们考虑的内部哈密顿量为 \hat H_{internal} = \hat T + \hat V_{ee}, \qquad \hat T = -\sum_i\frac{\hat\nabla_i^2}{2}, \qquad \hat V_{ee} = \sum_{i\neq j}\frac{1}{|\mathbf r_i-\mathb ...

Thomas-Fermi 理论 Slater 的 Xα 方法 Hohenberg-Kohn 定理 Levy-Lieb 表述 Hohenberg-Kohn 定理的扩展 Kato 尖点 密度的可表示性 Lieb 泛函与分数粒子数 本章是密度泛函理论（DFT）的基石。参考：Martin《Electronic Structure》第 6 章。 Thomas-Fermi 理论Thomas-Fermi（TF）理论在量子力学发明后不久就被提出。其基本假设：非均匀体系中局域动能可视为相同密度的自由电子气的动能。 自由电子气的基态是费米海。对边长为 $L$ 的立方盒子取周期边界条件，单粒子态是平面波，波矢为 $2\pi/L$ 的整数倍。电子数（已含自旋简并）为 $k_F^3L^3/3\pi^2$，电子密度 $n = k_F^3/3\pi^2$。由于 $k_F\propto n^{1/3}$，直接计算可知动能密度正比于 $n^{5/3}$。 由 TF 假设，非均匀电子气的能量为： E_{TF}[n(\mathbf r)] = C_1\int d^3r\,[n(\mathbf r)]^{5/3} + ...

Wick 定理 Hartree-Fock 近似的基本工作原理 对角表示中的 Hartree-Fock 近似 实空间中的 Hartree-Fock 近似 Hartree-Fock 近似的另一种解释 应用：均匀电子气 Hartree-Fock 态的局域稳定性 Hartree-Fock（HF）近似在历史上是电子液体多体理论（以及第一性原理计算）的出发点。参考：Giuliani & Vignale《Quantum Theory of the Electron Liquid》第 2 章。它的基本思想可以简单描述为：用有效哈密顿量的基态来近似体系的基态波函数，该有效哈密顿量对电子产生/湮灭算符是二次的、因而容易对角化。最古老、最常见的版本基于数守恒二次哈密顿量与 Slater 行列式，回答的问题是：对相互作用多电子体系，什么是最好的独立电子近似？ Wick 定理Giuliani & Vignale 书附录 3 给出了 Wick 定理清晰自足的入门处理，此处不重复。研究 HF 近似需要附录 3.1-3.3 的知识。其核心：对于 Slater 行列式态，任意多算符乘积的期望值可展开 ...

置换对称性 Fock 空间、产生与湮灭算符 二次量子化中的算符 费米子 在紧束缚模型中的应用 Hubbard 模型 二次量子化是处理全同粒子的便利方法。参考：Schwabl《Advanced Quantum Mechanics》第 1 章、Altland & Simons《Condensed Matter Field Theory》第 2 章。 置换对称性从初等量子力学我们知道，给全同粒子贴标签没有意义。但要为全同粒子建立严格的数学基础，先假设可以贴标签——即先假设每个粒子都不同。 对 $N$ 个粒子，量子态一般可写为： |\Psi\rangle = \sum_{\alpha,\beta,\gamma,\ldots}\Psi(\alpha,\beta,\gamma,\ldots)|\alpha\rangle_1|\beta\rangle_2|\gamma\rangle_3\cdots$|\alpha\rangle_1|\beta\rangle_2|\gamma\rangle_3\cdots$ 表示粒子 1 处于 $\alpha$ 态、粒子 2 处于 $\beta$ 态…… ...