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Contend本博客的所有专栏的目录文章如下： HexoHexo的安装与配置 本博客由Hexo搭建，使用了Github Pages进行托管。出于个人备份和分享的缘故，整理了搭建Hexo的过程和一些心得。 数学群论群论Content 为了满足科研的需要，我整理了群论的笔记。学习群论对量子力学和固体物理的理解是有裨益的。 主要的参考书籍为：李征新《群论及其在凝聚态物理中的应用》 物理学物理本科的时候延续了高中喜欢做笔记的习惯。从纸质笔记到平板电子笔记和Latex笔记，最终转向Markdown格式的电子笔记。上课的时候整理出以下笔记，并在夏令营复习期间进行了完善。 数学物理方法数学物理方法Content 对应的课程为PHY2501数学物理方程、PHY2508复变函数和PHY2510概率与统计。主要参考的书籍为： 《数学物理方法》梁昆淼； 《数学物理方程讲义》刘世勇； 理论力学理论力学Content 对应的课程为PHY1621力学与PHY2601分析力学。主要参考的书籍为： 《力学》舒幼生（老先生千古）； 《力学》秦允豪； 《理论力学》梁昆淼； 高显、陈童、刘川等老师的讲义也有所借鉴。 ...

弱非均匀电子气 梯度展开（Gradient Expansion） 广义梯度近似（GGA） 本讲继续交换关联泛函，从弱非均匀电子气出发系统性推导对 LDA 的非局域修正。参考：Engel & Dreizler 第 4 章、Martin 第 8-9 章。 弱非均匀电子气在 DFT 与 KS 框架下讨论弱非均匀电子气。上一讲讨论了均匀电子气并构造了 LDA。理解弱非均匀电子气后，就能系统推导 LDA 的非局域修正。”非局域”指交换关联能密度不能写成局域密度的普通函数；KS 势总是局域的。 假设电子-电子相互作用含 Yukawa 屏蔽： w(\mathbf r-\mathbf r') = \frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r'|}}{|\mathbf r-\mathbf r'|}, \qquad w(\mathbf q) = \frac{4\pi}{|\mathbf q|^2+\mu^2}\quad(\mu\to0^+) 问题：库仑相互作用是长程的，$\mu\to0^+$ 极限良定义吗？答：经典库仑静电确实在 $\mu\to0^+$ 发散。但 KS ...

精确交换 E_xc 的精确表示 Jellium 模型与密度泛函理论 局域密度近似（LDA） 本讲介绍交换关联泛函 $E_{xc}[n]$ 最常用的近似。参考：Engel & Dreizler 第 4 章、Martin 第 8-9 章、Giuliani & Vignale 第 6 章。 精确交换惯例上把交换关联泛函分解为： E_{xc}[n] = E_x[n] + E_c[n]其中 $E_x$ 是交换泛函、$E_c$ 是关联泛函。显然这种分解原则上是任意的。 从 Slater 行列式出发的交换泛函通过联系 Hartree-Fock 计算探索 $E_x[n]$ 的自然定义。定义 Hartree-Fock 泛函： F^{HF}[n] = \min_{\Psi\in Slater,\ \Psi\to n}\langle\Psi|\hat T + \hat V_{ee}|\Psi\rangle与 Levy-Lieb 泛函几乎相同，但约束搜索限制在 Slater 行列式内。HF 泛函再分解： F^{HF}[n] = T_s[n] + E_H[n] + E_x[n]其中 $ ...

Kohn-Sham 形式主义 从非相互作用 V 可表示性推导 KS 方程 Janak 定理与分数粒子数 自旋极化体系的 Kohn-Sham 形式主义 从 Kohn-Sham 本征值得到电离势 基态能隙与交换关联泛函的导数不连续 求解 Kohn-Sham 方程 参考：Martin《Electronic Structure》第 7 章；Engel & Dreizler《Density Functional Theory: An Advanced Course》第 3 章。 Kohn-Sham 形式主义先回顾 DFT 的基本原理。HK 定理声称： 基态电子密度确定外势，因此确定完整哈密顿量与体系所有物理可观测量。但这个映射依赖哈密顿量的内部参数——我们考虑的内部哈密顿量为 \hat H_{internal} = \hat T + \hat V_{ee}, \qquad \hat T = -\sum_i\frac{\hat\nabla_i^2}{2}, \qquad \hat V_{ee} = \sum_{i\neq j}\frac{1}{|\mathbf r_i-\mathb ...

Thomas-Fermi 理论 Slater 的 Xα 方法 Hohenberg-Kohn 定理 Levy-Lieb 表述 Hohenberg-Kohn 定理的扩展 Kato 尖点 密度的可表示性 Lieb 泛函与分数粒子数 本章是密度泛函理论（DFT）的基石。参考：Martin《Electronic Structure》第 6 章。 Thomas-Fermi 理论Thomas-Fermi（TF）理论在量子力学发明后不久就被提出。其基本假设：非均匀体系中局域动能可视为相同密度的自由电子气的动能。 自由电子气的基态是费米海。对边长为 $L$ 的立方盒子取周期边界条件，单粒子态是平面波，波矢为 $2\pi/L$ 的整数倍。电子数（已含自旋简并）为 $k_F^3L^3/3\pi^2$，电子密度 $n = k_F^3/3\pi^2$。由于 $k_F\propto n^{1/3}$，直接计算可知动能密度正比于 $n^{5/3}$。 由 TF 假设，非均匀电子气的能量为： E_{TF}[n(\mathbf r)] = C_1\int d^3r\,[n(\mathbf r)]^{5/3} + ...

Wick 定理 Hartree-Fock 近似的基本工作原理 对角表示中的 Hartree-Fock 近似 实空间中的 Hartree-Fock 近似 Hartree-Fock 近似的另一种解释 应用：均匀电子气 Hartree-Fock 态的局域稳定性 Hartree-Fock（HF）近似在历史上是电子液体多体理论（以及第一性原理计算）的出发点。参考：Giuliani & Vignale《Quantum Theory of the Electron Liquid》第 2 章。它的基本思想可以简单描述为：用有效哈密顿量的基态来近似体系的基态波函数，该有效哈密顿量对电子产生/湮灭算符是二次的、因而容易对角化。最古老、最常见的版本基于数守恒二次哈密顿量与 Slater 行列式，回答的问题是：对相互作用多电子体系，什么是最好的独立电子近似？ Wick 定理Giuliani & Vignale 书附录 3 给出了 Wick 定理清晰自足的入门处理，此处不重复。研究 HF 近似需要附录 3.1-3.3 的知识。其核心：对于 Slater 行列式态，任意多算符乘积的期望值可展开 ...

置换对称性 Fock 空间、产生与湮灭算符 二次量子化中的算符 费米子 在紧束缚模型中的应用 Hubbard 模型 二次量子化是处理全同粒子的便利方法。参考：Schwabl《Advanced Quantum Mechanics》第 1 章、Altland & Simons《Condensed Matter Field Theory》第 2 章。 置换对称性从初等量子力学我们知道，给全同粒子贴标签没有意义。但要为全同粒子建立严格的数学基础，先假设可以贴标签——即先假设每个粒子都不同。 对 $N$ 个粒子，量子态一般可写为： |\Psi\rangle = \sum_{\alpha,\beta,\gamma,\ldots}\Psi(\alpha,\beta,\gamma,\ldots)|\alpha\rangle_1|\beta\rangle_2|\gamma\rangle_3\cdots$|\alpha\rangle_1|\beta\rangle_2|\gamma\rangle_3\cdots$ 表示粒子 1 处于 $\alpha$ 态、粒子 2 处于 $\beta$ 态…… ...

电子与核自由度的解耦 Hellmann-Feynman 定理 Born-Oppenheimer 近似的严格推导 BO 有效哈密顿量与 Berry 联络 Berry 相位基础 核的经典运动方程 Landau-Zener 隧穿 非绝热分子动力学 在凝聚态物理和材料科学中，非相对论薛定谔方程通常被视为”理论中的一切”。本章展示如何把电子与原子核自由度解耦。原子单位下完整哈密顿量为： \hat H = \underbrace{-\frac12\sum_i\nabla_i^2}_{\text{电子动能}} - \underbrace{\sum_{i,I}\frac{Z_I}{|\mathbf r_i-\mathbf R_I|}}_{\text{e-i}} + \underbrace{\frac12\sum_{i\neq j}\frac{1}{|\mathbf r_i-\mathbf r_j|}}_{\text{e-e}} \underbrace{-\sum_I\frac{1}{2M_I}\nabla_I^2}_{\text{核动能}} + \underbrace{\frac12\sum_{ ...

什么是电子结构 电子的量子统计 独立电子近似与能带论 定量计算的兴起 最大的挑战：电子关联 今日全景：方法与代码 什么是电子结构完整的哈密顿量（电子 + 原子核）就是第 1 讲写出的那个”理论中的一切”： \hat H = -\sum_i\frac{\nabla_i^2}{2} - \sum_{i,I}\frac{Z_I}{|\mathbf r_i-\mathbf R_I|} + \frac12\sum_{i\neq j}\frac{1}{|\mathbf r_i-\mathbf r_j|} - \sum_I\frac{\nabla_I^2}{2M_I} + \frac12\sum_{I\neq J}\frac{Z_IZ_J}{|\mathbf R_I-\mathbf R_J|}电子结构就是能从电子+离子的哈密顿量中提取的一切有意义的东西。课程大部分时间把离子当作固定在确定位置的经典粒子处理（严格论证来自 Born-Oppenheimer 近似，见第 3 讲）。 电子的量子统计量子力学的建立过程也是一步一步”逼”出电子结构理论的基础： 泡利不相容原理（1925）：两个电子不能同 ...

课程信息 今天的材料 理论中的一切（Theory of Everything） 指数墙 密度泛函理论的基本思想 涌现物理与 DFT 的位置 课程大纲 课程信息本讲是”第一性原理计算方法”（Lectures on First-Principles Calculations）的引言，授课教师为清华大学物理系王冲（Chong Wang）。 主教材：R. M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods（Cambridge University Press） 先修要求：量子力学、固体物理 考核方式：编程项目（Coding Project）50% + 文献综述与展示（Literature Survey and Presentation）50% 编程项目：给 toy model 写 Hartree-Fock / DFT 代码，要求提交源代码 + 实现报告 + 结果；即使结果不对，提交部分结果并附上原因猜测也可得分；允许使用 AI 工具 文献综述展示：每组两三人，15 分钟展示，主题给出建议但不强制 今天的 ...