本讲介绍交换关联泛函 $E_{xc}[n]$ 最常用的近似。参考：Engel & Dreizler 第 4 章、Martin 第 8-9 章、Giuliani & Vignale 第 6 章。

精确交换

惯例上把交换关联泛函分解为：

$E_{xc}[n] = E_x[n] + E_c[n]$

其中 $E_x$ 是交换泛函、$E_c$ 是关联泛函。显然这种分解原则上是任意的。

从 Slater 行列式出发的交换泛函

通过联系 Hartree-Fock 计算探索 $E_x[n]$ 的自然定义。定义 Hartree-Fock 泛函：

$F^{HF}[n] = \min_{\Psi\in Slater,\ \Psi\to n}\langle\Psi|\hat T + \hat V_{ee}|\Psi\rangle$

与 Levy-Lieb 泛函几乎相同，但约束搜索限制在 Slater 行列式内。HF 泛函再分解：

$F^{HF}[n] = T_s[n] + E_H[n] + E_x[n]$

其中 $T_s = \min_{\Psi\to n}\langle\Psi|\hat T|\Psi\rangle$ 是非相互作用动能、$E_H$ 是 Hartree 能。式 (I.3) 即交换泛函 $E_x[n]$ 的定义。对 $E_{ext}[n] = \int d\mathbf rV_{ext}(\mathbf r)n(\mathbf r)$，$F^{HK}[n] + E_{ext}[n]$ 由 HF 计算给出的密度 $n^{HF}$ 最小化，极小值也是 HF 能量。但用 $F^{HK}[n]$ 得到的 KS 轨道不是 HF 轨道：KS 方程只含局域势，而 HF 方程含非局域势。

$E_x[n]$ 尚无显式表达。

用 Kohn-Sham 轨道表达的交换泛函

DFT 中已成为标准的另一种定义：

$E_x[n] = -\frac12\sum_{i,j}\Theta_i\Theta_j\int d\mathbf r d\mathbf r'\,\frac{\phi_i^*(\mathbf r)\phi_j^*(\mathbf r')\phi_i(\mathbf r')\phi_j(\mathbf r)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}$

其中 $\{\phi_i\}$ 是 KS 轨道、$\{\Theta_i\}$ 是占据数。$\{\phi_i\}$ 通过非相互作用 V 可表示性视为密度的泛函。用 KS 轨道表达的仅交换能量泛函为 $E_{x-only}[n] = T_s[n] + E_{ext}[n] + E_H[n] + E_x[n]$。

若用 KS 轨道表达，式 (I.6) 与 HF 用 HF 轨道表达的能量相同。但 KS 轨道由局域势生成，HF 轨道在无限制空间中搜索，因此 $E^{HF}\leq\min_n E_{x-only}[n]$；HF 基态密度 $n^{HF}$ 也不一定最小化 $E_{x-only}$。对”仅交换”泛函，$E^{HF} - E_{x-only}$ 与 $E_{x-only}$ 处密度误差 $n_0-n_0^{x-only}$ 一般很小。

自相互作用是 DFT 的重要话题之一。Hartree 能 $E_H[n] = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r’\frac{n(\mathbf r)n(\mathbf r’)}{|\mathbf r-\mathbf r’|}$ 由经典电动力学启发，但忽略了”电子不可再分”的事实：$E_H[n]$ 含有电子与自身的库仑排斥。用 KS 轨道求值：

$E_H[n] = \frac12\sum_{i,j}\Theta_i\Theta_j\int d\mathbf rd\mathbf r'\frac{|\phi_i(\mathbf r)|^2|\phi_j(\mathbf r')|^2}{|\mathbf r-\mathbf r'|}$

其中 $i=j$ 的自相互作用项被式 (I.5) 中的 $i=j$ 项精确抵消（若用精确交换泛函）。若不用精确交换泛函，自相互作用不会抵消，成为误差来源。

对共线自旋 DFT，KS 轨道有确定的 $s_z$ 量子数，$E_x[n_\uparrow,n_\downarrow] = E_x[n_\uparrow] + E_x[n_\downarrow]$。

问题：氢原子的 KS 方程是什么？精确关联势 $V_x$ 的长距离行为告诉我们什么？
答：交换势对任何有限体系有 $V_x(\mathbf r)\xrightarrow{|\mathbf r|\to\infty}-\frac{1}{|\mathbf r|}$，反映 Hartree 泛函与交换泛函之间自相互作用的抵消。

E_xc 的精确表示

与精确交换泛函 $E_x[n]$ 一起，若已知 $E_{xc}[n]$ 的精确形式即可得关联泛函 $E_c[n]$ 的精确形式。但 $E_{xc}[n]$ 的精确泛函形式预计既非解析也非数值可算——否则就意味着困难的多体问题可被完全求解。然而，形式上精确的表示是系统性近似的理想出发点。

响应函数

先理解响应函数。量子多体理论中，响应函数量化相互作用体系对弱外探针的反应，通过线性响应把微扰与可观测量变化联系起来。数学上它是算符（流、密度、自旋）的时序或推迟关联函数，Kubo 公式把磁化率与平衡中对易子联系起来。下面聚焦密度-密度响应。

时序密度-密度响应函数：

$\chi(\mathbf r,t,\mathbf r',t') = -\mathrm i\langle\Psi_0|\mathbb T\,\delta\hat n(\mathbf r,t)\delta\hat n(\mathbf r',t')|\Psi_0\rangle$

其中 $\mathbb T$ 是时序符号（$\mathbb T A(t)B(t’) = \Theta(t-t’)A(t)B(t’) + \Theta(t’-t)B(t’)A(t)$，注意费米子反对易符号），$\delta\hat n(\mathbf r,t) = \hat n(\mathbf r,t) - n_0(\mathbf r)$，算符在 Heisenberg 绘景。推迟响应函数为：

$\chi^R(\mathbf r,t,\mathbf r',t') = -\mathrm i\Theta(t-t')\langle\Psi_0|[\delta\hat n(\mathbf r,t),\delta\hat n(\mathbf r',t')]|\Psi_0\rangle$

含时哈密顿量下两者只依赖时间差 $t-t’$，可变换到频率域。时序响应函数数学上更易处理，推迟响应函数由 Kubo 公式更直接联系物理可观测量，因此常需知道两者的关系。Lehmann 表示揭示：时序与推迟响应只差极点位置（推迟的极点在实轴下方，时序上下方都有）：

$\chi^R(\mathbf r,\mathbf r',\omega) = \sum_{n\neq0}\frac{\langle\Psi_0|\hat n(\mathbf r)|\Psi_n\rangle\langle\Psi_n|\hat n(\mathbf r')|\Psi_0\rangle}{\omega - (E_n-E_0) + \mathrm i0^+} - \sum_{n\neq0}\frac{\langle\Psi_0|\hat n(\mathbf r')|\Psi_n\rangle\langle\Psi_n|\hat n(\mathbf r)|\Psi_0\rangle}{\omega + (E_n-E_0) + \mathrm i0^+}$

由此有对称性 $\chi^R(\mathbf r,\mathbf r’,-\omega) = \chi^{R*}(\mathbf r,\mathbf r’,\omega)$、$\chi(\mathbf r,\mathbf r’,-\omega) = \chi(\mathbf r’,\mathbf r,\omega)$，且

$\lim_{t,t'\to0}\chi(\mathbf r,\mathbf r',t-t') = -\mathrm i[\langle\Psi_0|\hat n(\mathbf r)\hat n(\mathbf r')|\Psi_0\rangle - n_0(\mathbf r)n_0(\mathbf r')]$

量子多体微扰论速成

推导 $E_{xc}[n]$ 精确表达的方法之一是 Kohn-Sham 微扰论（大致与量子多体微扰论相同，但以 KS 基态为起点）。细节参考 Giuliani-Vignale 第 6.2 章。要点：

连接无相互作用与相互作用基态：引入 $\hat H(t) = \hat H_0 + \hat V e^{-\eta|t|}$（$\eta\to0^+$），假设 $t\to-\infty$ 处于 $|\Phi_0\rangle$ 会演化到 $t\sim0$ 的相互作用基态，$|\Psi_0\rangle\propto U(0,-\infty)|\Phi_0\rangle$，其中 $U(t_2,t_1) = \mathbb T\exp[-\mathrm i\int_{t_1}^{t_2}\hat H(t’)dt’]$ 是完整演化算符（时序指数）；
引入相互作用绘景：$\hat A_I(t) = e^{\mathrm i\hat H_0t}\hat Ae^{-\mathrm i\hat H_0t}$，$U(t,0) = e^{-\mathrm i\hat H_0t}U_I(t,0)$，$U_I$ 是 $\hat V_I$ 的时序指数，若 $\hat V_I$ 小只需取前几项；
表述响应函数：响应函数化为 $\langle\Phi_0|\mathbb T\{\hat A_I(t)\hat B_I(0)U_I(\infty,-\infty)\}|\Phi_0\rangle/\langle\Phi_0|U_I(\infty,-\infty)|\Phi_0\rangle$；
构造费曼图：用 Wick 定理把 $U_I$ 的展开化为自由格林函数 $G^{\gamma\alpha}(t’,t) = -\mathrm i\langle\Phi_0|\mathbb T\hat a_{I(\beta,t’)}\hat a_{I(\alpha,t)}^\dagger|\Phi_0\rangle$ 的乘积，得到费曼图。由连锁团簇定理，分母的真空图相消，只剩连通收缩：$\chi^T_{AB}(t) = -\mathrm i\langle\Phi_0|\mathbb T\{\hat A_I(t)\hat B_I(0)U_I(\infty,-\infty)\}|\Phi_0\rangle_c$。

Kohn-Sham 微扰论

KS 微扰论从分解出发：

$\hat H = \hat H_s + \hat H_1, \qquad \hat H_s = \sum_i\frac{\nabla_i^2}{2} + V_s(\mathbf r_i), \qquad \hat H_1 = \hat V_{ee} - \int d\mathbf r\,\hat n(\mathbf r)V_{Hxc}(\mathbf r)$

其中 $V_{Hxc}(\mathbf r) = V_s(\mathbf r) - V_{ext}(\mathbf r) = V_H(\mathbf r) + V_{xc}(\mathbf r)$。引入从 KS 哈密顿量到完整哈密顿量的插值 $\hat H(\lambda) = \hat H_s + \lambda\hat H_1$（$\lambda:0\to1$）。基态能量也依赖 $\lambda$。由力定理（Hellmann-Feynman 的推广）：

$E_0(\lambda=1) - E_0(\lambda=0) = \int_0^1d\lambda\langle\Psi_0(\lambda)|\hat H_1|\Psi_0(\lambda)\rangle$

其中 $E_s = \sum_i\Theta_i\varepsilon_i$ 是 KS 体系基态能量。$\langle\Psi_0(\lambda)|\hat H_1|\Psi_0(\lambda)\rangle$ 用多体微扰论计算（以 KS 基态为参考、$\lambda\hat H_1$ 为微扰）。结果：

$E_0 - E_s = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r'w(\mathbf r-\mathbf r')[\langle\Psi_0^{KS}|\hat\psi^\dagger(\mathbf r)\hat\psi^\dagger(\mathbf r')\hat\psi(\mathbf r')\hat\psi(\mathbf r)|\Psi_0^{KS}\rangle - n(\mathbf r)n(\mathbf r')] + \text{更高阶连通图}$

第二项是精确交换 $E_x$，于是更高阶图构成关联能 $E_c$。这些结果后面有用。

绝热连接 (a)

也可以直接计算 $\langle\Psi_0(\lambda)|\hat H_1|\Psi_0(\lambda)\rangle$，用响应函数表达相互作用体系与 KS 体系的能量差：

$E_{xc} = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r'\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\int_0^1d\lambda\left[\mathrm i\chi_\lambda(\mathbf r,\mathbf r',\Delta t\to0) - \delta(\mathbf r-\mathbf r')n_\lambda(\mathbf r)\right] + E_H[n_\lambda] - E_H[n_0] + \int d\mathbf r[V_s(\mathbf r)-V_{ext}(\mathbf r)][n_0(\mathbf r)-n_\lambda(\mathbf r)]$

但这个表达式用处不大，因为它显式提及任意 $\lambda$ 的基态密度 $n_\lambda(\mathbf r)$。

绝热连接 (b)

另一条插值方案假设 $n_0(\mathbf r)$ 对电子-电子相互作用的任意标度都 V 可表示。外势记为 $u_\lambda$：$\lambda=0$ 时 $u_\lambda = V_s$；$\lambda=1$ 时 $u_\lambda = V_{ext}$；其他 $\lambda$ 未知。总哈密顿量：

$\hat H(\lambda) = \hat T + \int u_\lambda(\mathbf r)\hat n(\mathbf r) + \lambda\hat V_{ee}$

优势：基态密度 $n_0(\mathbf r)$ 与 $\lambda$ 无关；代价：中间哈密顿量没有显式表达。用力定理得：

$E_{xc} = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r'w(\mathbf r-\mathbf r')\int_0^1d\lambda\left[\mathrm i\chi_\lambda(\mathbf r,\mathbf r',\Delta t=0) - n(\mathbf r)\delta(\mathbf r-\mathbf r')\right]$

频率空间（利用对称性把积分限制到正频并移到虚轴）：

$E_{xc} = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r'w(\mathbf r-\mathbf r')\int_0^1d\lambda\int_0^\infty\frac{d\omega}{\pi}\left[\chi_\lambda(\mathbf r,\mathbf r',\mathrm i\omega) - \chi_s(\mathbf r,\mathbf r',\mathrm i\omega)\right]$

而精确交换：

$E_x = \frac12\int d\mathbf rd\mathbf r'w(\mathbf r-\mathbf r')\int_0^\infty\frac{d\omega}{\pi}\mathrm i\chi_s(\mathbf r,\mathbf r',\mathrm i\omega)$

（$\chi_s$ 是 KS 体系的密度-密度响应）。这些”绝热连接公式”把 $E_{xc}$ 化为耦合常数积分与响应函数的组合，是系统性近似的出发点。

交换关联空穴：引入对关联函数 $g(\mathbf r,\mathbf r’) = \frac{\langle\Psi_0|\hat n(\mathbf r)\hat n(\mathbf r’)|\Psi_0\rangle - n(\mathbf r)\delta(\mathbf r-\mathbf r’)}{n(\mathbf r)n(\mathbf r’)}$ 与耦合常数平均交换关联空穴 $h_{xc}(\mathbf r,\mathbf r’) = n(\mathbf r’)\int_0^1d\lambda[g_\lambda(\mathbf r,\mathbf r’) - 1]$，则

$E_{xc} = \frac12\int d\mathbf r\,n(\mathbf r)\int d\mathbf r'\,\frac{h_{xc}(\mathbf r,\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}$

交换关联空穴满足求和规则 $\int d\mathbf r’\,h_{xc}(\mathbf r,\mathbf r’) = -1$，$h_x(\mathbf r,\mathbf r’)\leq0$（交换部分 $\int h_x = -1$、关联部分 $\int h_c = 0$）。交换关联空穴是构造泛函的核心对象（下一讲详述）。

问题 1：$g(\mathbf r,\mathbf r’)$ 在 $\mathbf r\approx\mathbf r’$ 时大于还是小于 1，为什么？
问题 2：$\int n_{xc}(\mathbf r,\mathbf r’)d\mathbf r’ = -1$ 只反映”固定一个电子后少一个电子”——经典独立粒子也满足。那么交换与关联效应如何在 $n_{xc}$ 中体现？

Jellium 模型与密度泛函理论

$E_{xc}[n]$ 的精确表示对解析或数值求值不实用。为构造有用的近似，回到 Thomas-Fermi 的构造、但从 DFT 视角研究 Jellium 模型。

密度-密度响应

Jellium（均匀电子气 HEG）哈密顿量（盒归一化，周期边界）：

$\hat H_{HEG} = \sum_{\mathbf k,\sigma}\frac{k^2}{2}\hat a_{\mathbf k\sigma}^\dagger\hat a_{\mathbf k\sigma} + \frac{1}{2L^d}\sum_{\mathbf k,\mathbf k',\sigma,\sigma',\mathbf q\neq0}w(\mathbf q)\hat a_{\mathbf k+\mathbf q\sigma}^\dagger\hat a_{\mathbf k'-\mathbf q\sigma'}^\dagger\hat a_{\mathbf k'\sigma'}\hat a_{\mathbf k\sigma}$

三维中 $w(\mathbf q) = 4\pi/|\mathbf q|^2$。$\mathbf q=0$ 项因均匀正电荷背景被移除；不确定时引入屏蔽 $w(\mathbf q) = 4\pi/(|\mathbf q|^2+\kappa^2)$（实空间 $e^{-\kappa|\mathbf r|}/|\mathbf r|$），最后取 $\kappa\to0^+$。

足够高密度下 Jellium 基态均匀。中心物理对象是时序密度-密度响应 $\chi(\mathbf r-\mathbf r’,t-t’)$。傅里叶到动量空间（密度算符 $\hat n(\mathbf q) = \frac1{L^d}\sum_{\sigma,\mathbf k}\hat a_{\mathbf k\sigma}^\dagger\hat a_{\mathbf k+\mathbf q\sigma}$）。用多体微扰论构造费曼图级数，Dyson 方程为：

$\chi(\mathbf q,\omega) = \Pi(\mathbf q,\omega) + \Pi(\mathbf q,\omega)w(\mathbf q)\chi(\mathbf q,\omega)$

其中 $\Pi(\mathbf q,\omega)$ 是 $\chi$ 的proper（不可约）部分（不可约费曼图之和）。

交换能

高密度下 Jellium 的 KS 方程特别简单：基态密度 $n_0$ 恒定，自由电子气即 KS 体系（由第一 HK 定理唯一）。KS 基态 $|\Phi_0\rangle$ 是费米球。按精确 DFT 交换定义，均匀电子气的交换能即 $|\Phi_0\rangle$ 的交换能：

$e_x = -\frac{1}{2L^d}\sum_{\mathbf q,\mathbf k}w(\mathbf q)\Theta(k_F-|\mathbf k|)\Theta(k_F-|\mathbf k+\mathbf q|)$

是两个费米球重叠的加权求和。解析求值得：

$\boxed{\ e_x = -\frac{3}{4\pi}(3\pi^2)^{1/3}n_0^{4/3}\ }$

即交换能密度 $\propto n_0^{4/3}$（Dirac 交换，第 6 讲 TFD 中的 $C_2$ 项）。

随机相位近似（RPA）

$\chi_\lambda$ 的高阶图难求。随机相位近似（RPA）选择所有图的子集：环（ring）图。原因是环图中内动量求和的相空间（$w(\mathbf q)$ 大）远大于其他图。RPA 给出：

$\chi_\lambda^{RPA}(\mathbf q,\omega) = \frac{\Pi_0(\mathbf q,\omega)}{1-\lambda w(\mathbf q)\Pi_0(\mathbf q,\omega)}$

其中 $\Pi_0 = \chi_0$ 是 proper 响应的零阶。$\lambda$ 积分可完成，得（已减去零阶交换项）：

$e_c^{RPA} = \frac{\mathrm i}{2L^d}\sum_{\mathbf q}\int\frac{d\omega}{2\pi}\left[\ln|1-w(\mathbf q)\Pi_0(\mathbf q,\omega)| + w(\mathbf q)\Pi_0(\mathbf q,\omega)\right]$

高密度极限（$n_0\to\infty$）：

$e_c^{RPA}\to n_0\left[\frac{1-\ln2}{\pi^2}\ln r_s - 0.071+\cdots\right]$

其中 $r_s = \left(\frac{3}{4\pi n_0}\right)^{1/3}$ 是无量纲 Wigner-Seitz 半径（以平均每个电子体积为体积的球半径）。若用标准单位，领先项正比于 $e^4\ln e^2$；若用二阶微扰则领先项 $\propto e^4$——反映 RPA 本质上是非微扰的。常见 $r_s\in[1,6]$。$r_s=2$ 时 $\frac{1-\ln2}{\pi^2}\ln r_s\approx0.021$ 小于 0.071，不证明 RPA 适用。加入二阶交换（SOX）项后高密度极限为 $e_c^{RPA+SOX}\to n_0[\frac{1-\ln2}{\pi^2}\ln r_s - 0.047+\cdots]$，仍不够准。

低密度极限

极低密度下 Jellium 基态是 Wigner 晶体（电子-电子相互作用主导动能）。用 $r_s$ 做长度单位，哈密顿量变为：

$H_{WS} = -\frac{1}{2r_s^2}\sum_i\nabla_i^2 + \frac{1}{2r_s}\sum_{i\neq j}\frac{1}{|\mathbf r_i-\mathbf r_j|}$

大 $r_s$ 下相互作用主导。Wigner 晶体通常取三角格子，关联能：

$e_c^{HEG}\to n_0\left(-\frac{0.438}{r_s} + \frac{1.33}{r_s^{3/2}} - \frac{1.47}{r_s^2}+\cdots\right) \quad (n_0\to0)$

均匀电子气到 Wigner 晶体的转变在 $r_s\approx80$，对多数固体/分子不相关。

高密度与低密度之间的插值

高低密度极限对固体/分子都不太相关，只能在中间密度区做插值——此区间无小参数，只能数值或经验地完成。第一个插值由 Wigner 提出：

$e_c^{Wigner}(n_0) = -n_0\frac{0.44}{r_s + 7.8}$

该公式既不含高密度的对数领先项，也不反映高低密度对应不同物理相（高密度液态与 Wigner 晶体），但在 $1<r_s<6$ 的密度区间出奇地准。另一个插值是 Vosko-Wilk-Nusair（VWN），大多插值依赖数值蒙特卡罗结果而非解析结果。

局域密度近似（LDA）

局域密度近似可用一个公式概括：

$\boxed{\ E_{xc}^{LDA}[n] = \int d\mathbf r\,e_{xc}^{Jellium}[n(\mathbf r)]\ }$

其中 $e_{xc}^{Jellium}$ 是精确的 Jellium 交换关联能密度。$e_{xc}^{Jellium}$ 没有闭式形式，需近似（即上面各节的主题）。LDA 的交换关联势特别简单：

$V_{xc}^{LDA}(\mathbf r) = \left.\frac{de_{xc}^{Jellium}(n)}{dn}\right|_{n=n_0(\mathbf r)}$

只依赖局域密度，与”局域”之名相符。

精确交换 $e_x = -\frac{3}{4\pi}(3\pi^2)^{1/3}n_0^{4/3}$ 已知，故 LDA 交换势：

$V_x^{LDA}(\mathbf r) = -\frac{(3\pi^3)^{1/3}}{\pi}n_0^{1/3}(\mathbf r)$

对有限体系，密度指数衰减 $n_0(\mathbf r)\sim e^{-\alpha|\mathbf r|}$，故 $V_x^{LDA}\sim e^{-\alpha|\mathbf r|/3}$——与精确交换势的 $1/|\mathbf r|$ 行为矛盾。由于 $e^{-\alpha|\mathbf r|}$ 弱于 $1/|\mathbf r|$，LDA 一般不利于束缚态，直接后果是 LDA 预言负离子没有束缚态（与现实不符）。

文献中也用其他交换形式。一是 Slater Xα：$V_x(\mathbf r) = \frac32\alpha V_x^{LDA}(\mathbf r)$，$\alpha$ 视为可调参数（第 6 讲已见）。二是 Latter 修正：人为恢复 $1/|\mathbf r|$ 渐进行为，

$V_x^{Latter} = \begin{cases}-1/|\mathbf r| & |\mathbf r|>R(\theta,\varphi)\\ V_x^{LDA}(\mathbf r) & |\mathbf r|\leq R(\theta,\varphi)\end{cases}$

$R(\theta,\varphi)$ 由 $V_x^{LDA}(\mathbf r) = -1/|\mathbf r|$ 确定。

LDA 相对准确（原子中的例子见 Engel-Dreizler 表 4.4/4.5），几个观察：(1) LDA 系统性地低估交换能；(2) LDA 系统性地高估关联能，交换与关联之间存在误差抵消；(3) 交换能一般比关联能大一个量级。

对共线自旋 DFT，局域自旋密度近似（LSDA）思想与 LDA 相同：

$E_{xc}^{LSDA}[n_\uparrow,n_\downarrow] = \int d\mathbf r\,e_{xc}^{Jellium}[n_\uparrow(\mathbf r),n_\downarrow(\mathbf r)]$

其中 $e_{xc}^{Jellium}(n_\uparrow,n_\downarrow)$ 数值求值。

思考题

自相互作用误差是什么？为什么精确交换泛函能抵消它、而 LDA 不能？

绝热连接公式把 $E_{xc}$ 化为响应函数积分——为什么说这是”精确表示但不实用”？

LDA 交换势指数衰减为什么不利于束缚态？这与负离子问题有什么关系？

RPA 为什么是非微扰的？它与二阶微扰的差异（$e^4\ln e^2$ vs $e^4$）说明了什么？