在凝聚态、统计与高能物理中，格林函数（Green’s function）是计算物理量的常用工具。首先，格林函数——尤其是推迟格林函数——直接与实验可观测量（如电导率）相联系。有经验的科研人员能直接从中读出体系的物理行为，”谱权重”、”自能”等术语已成为研究者交流的标准语言。其次，它为对相互作用和无序做微扰提供了方便的平台。经典教材见 Altland & Simons、Coleman、Mahan。

实时间格林函数

典型的两点关联函数形如：

$C(t_1,t_2) = \langle\hat{A}(t_1)\hat{B}(t_2)\rangle = \mathrm{Tr}\left[\hat{\rho}\hat{A}(t_1)\hat{B}(t_2)\right]$

其中 $\langle\cdot\rangle = \mathrm{Tr}(\hat{\rho}\,\cdot)$ 表示对体系密度矩阵取期望。若体系严格处于基态 $|G\rangle$，则 $\langle\cdot\rangle = \langle G|\cdot|G\rangle$。算符处于相互作用绘景：$\hat{A}(t) = \hat{U}^\dagger(t)\hat{A}(0)\hat{U}(t)$，演化算符 $\hat{U}(t) = T\exp(-i\int_0^t dt’ H(t’))$，$T$ 表示时序符号。多数情形 $H$ 不含时，$\hat{U}(t) = e^{-itH}$。

六种两点格林函数

它们彼此不独立，但为了方便全部列出。设 $\zeta = +1$（玻色子）或 $-1$（费米子）：

$\begin{aligned} &\text{大于：} &&G^{>}(t_1,t_2) = -i\langle A(t_1)B(t_2)\rangle\\ &\text{小于：} &&G^{<}(t_1,t_2) = -i\zeta\langle B(t_2)A(t_1)\rangle\\ &\text{时序：} &&G^{T}(t_1,t_2) = -i\langle T A(t_1)B(t_2)\rangle = \Theta(t_1-t_2)G^{>} + \Theta(t_2-t_1)G^{<}\\ &\text{反时序：} &&G^{\bar{T}}(t_1,t_2) = \Theta(t_2-t_1)G^{>} + \Theta(t_1-t_2)G^{<}\\ &\text{推迟：} &&G^{R}(t_1,t_2) = -i\Theta(t_1-t_2)\langle[A(t_1),B(t_2)]_\zeta\rangle = \Theta(t_1-t_2)(G^{>}-G^{<})\\ &\text{超前：} &&G^{A}(t_1,t_2) = i\Theta(t_2-t_1)\langle[A(t_1),B(t_2)]_\zeta\rangle = -\Theta(t_2-t_1)(G^{>}-G^{<}) \end{aligned}$

推迟格林函数用得最多，是本节最重要的对象。当 $A,B$ 是产生/湮灭算符时，格林函数也叫传播子（propagator）。例如 $A=c$、$B=c^\dagger$ 时，大于格林函数 $-i\langle c(t)c^\dagger(0)\rangle$ 表示：在零时刻创造一个粒子，问在时刻 $t$ 找到它的概率幅。高能物理中的”传播子”通常指时序格林函数。

平衡体系中，格林函数只依赖时间差 $t = t_1-t_2$，频域表示为：

$G(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}dt\,G(t)e^{i\omega t - \eta|t|}$

其中无穷小因子 $\eta>0$ 保证积分收敛。

时序符号的定义：设 $t_1 > t_2 > \cdots > t_n$，则

$T[A_{i_1}(t_{i_1})A_{i_2}(t_{i_2})\cdots A_{i_n}(t_{i_n})] = (\zeta)^s A_1(t_1)A_2(t_2)\cdots A_n(t_n)$

$s$ 是把等号左边排序变到右边所需的两两交换次数，$\zeta = +1(-1)$ 对应玻色（费米）算符。注意 $T$ 不是作用在算子空间上的线性超算符，应理解为符号的映射。

非平衡：对非平衡体系，格林函数定义相同，但哈密顿量可含时、密度矩阵不一定是热的。另外常讨论 Keldysh 格林函数 $G^K = G^> + G^<$。

自由粒子的格林函数

无相互作用体系的格林函数是重要极限，也是做相互作用微扰的基本工具。最常见的是自由费米气体 $H = \sum_k\xi_k c^\dagger_kc_k$（$\xi_{k\sigma} = \varepsilon_{k\sigma} - \mu$ 是相对化学势的单粒子能量）。取 $A = c_k$、$B = c^\dagger_k$：

$\begin{aligned} &G^{>}_k(t) = -ie^{-i\xi_kt}(1-n_k), && G^{>}_k(\omega) = -2\pi i(1-n_k)\delta(\omega-\xi_k)\\ &G^{<}_k(t) = ie^{-i\xi_kt}n_k, && G^{<}_k(\omega) = 2\pi i n_k\delta(\omega-\xi_k)\\ &G^{T}_k(t) = -i[\Theta(t)-n_k]e^{-i\xi_kt}, && G^{T}_k(\omega) = \frac{1-n_k}{\omega-\xi_k+i\eta} + \frac{n_k}{\omega-\xi_k-i\eta}\\ &G^{\bar{T}}_k(t) = -i[\Theta(-t)-n_k]e^{-i\xi_kt}, && G^{\bar{T}}_k(\omega) = \frac{-n_k}{\omega-\xi_k+i\eta} + \frac{n_k-1}{\omega-\xi_k-i\eta}\\ &G^{R}_k(t) = -i\Theta(t)e^{-i\xi_kt}, && G^{R}_k(\omega) = \frac{1}{\omega-\xi_k+i\eta}\\ &G^{A}_k(t) = i\Theta(-t)e^{-i\xi_kt}, && G^{A}_k(\omega) = \frac{1}{\omega-\xi_k-i\eta} \end{aligned}$

其中 $\eta$ 是正无穷小，$n_k$ 是单粒子态占据数。这些就是自由格林函数 $G_0$。注意前两个格林函数在 $t=0$ 处连续，后四个不连续。推迟/超前格林函数也是单粒子薛定谔方程的解 $[i\partial_{t_1}-H(r_1)]G^{R/A}(r_1,t_1;r_2,t_2) = \delta(t_1-t_2)\delta(r_1-r_2)$，且不依赖占据数。

【配图】图 4.1.1：上两行——自由费米子的时序/推迟/超前格林函数在时域（$G(t)$ 的虚部）与频域（$G(\omega)$ 的虚部）示意图：时域是分段指数，频域是 $\delta$ 峰（时序为 $\frac{1-n_k}{\omega-\xi_k+i\eta}$ 型的两项）；下一行——一般格林函数作为复 $z$ 的函数，其极点在复平面上的分布（时序/推迟/超前的极点分别落在实轴上方/下方两侧）。

问题 4.1.1：对自由玻色子 $H = \sum_k\xi_k c^\dagger_kc_k$、$A=c_k$、$B=c^\dagger_k$ 的格林函数是什么？

Lehmann 表示

可以把格林函数用哈密顿量的精确本征态 $\{|m\rangle\}$ 展开，即 Lehmann 表示。平衡密度矩阵 $\rho = \frac1Z e^{-\beta H}$，大于、小于格林函数可展开为：

$G^{>}(t) = -i\frac1Z\sum_{mn}e^{-\beta E_n}e^{-i(E_m-E_n)t}A_{nm}B_{mn}, \qquad G^{<}(t) = -i\zeta\frac1Z\sum_{mn}e^{-\beta E_n}e^{-i(E_n-E_m)t}A_{mn}B_{nm}$

其中 $A_{nm},B_{mn}$ 是算符在本征基下的矩阵元。由式 (4.1.2) 得时序格林函数：

$G^{T}(t) = -i\frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm}e^{-i(E_n-E_m)t}\left[\Theta(t)e^{-\beta E_m} + \zeta\Theta(-t)e^{-\beta E_n}\right]$ $G^{T}(\omega) = \frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm}\left[\frac{e^{-\beta E_m}}{\omega - E_{nm} + i\eta} - \zeta\frac{e^{-\beta E_n}}{\omega - E_{nm} - i\eta}\right]$

其中 $E_{nm} = E_n - E_m$。三种常用格林函数（时序、推迟、超前）可以紧凑地写成：

$\begin{pmatrix}G^T(\omega)\\G^R(\omega)\\G^A(\omega)\end{pmatrix} = \frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm} \begin{pmatrix}\dfrac{e^{-\beta E_m}}{\omega - E_{nm} + i\eta} - \zeta\dfrac{e^{-\beta E_n}}{\omega - E_{nm} - i\eta}\\[0.6em] \dfrac{e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}}{\omega - E_{nm} + i\eta}\\[0.6em] \dfrac{e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}}{\omega - E_{nm} - i\eta}\end{pmatrix}$

利用恒等式 $\frac1{x+i\eta} \xrightarrow{\eta\to0^+} P\frac1x - i\pi\delta(x)$（$P$ 为主值），可以证明三个格林函数的实部相同：

$\mathrm{Re}\,G^T(\omega) = \mathrm{Re}\,G^R(\omega) = \mathrm{Re}\,G^A(\omega)$

虚部则简单相关：

$\mathrm{Im}\,G^T(\omega) = \mathrm{Im}\,G^R(\omega)\cdot \begin{cases}\tanh\frac{\beta\omega}{2}, & \text{费米子}\\ \coth\frac{\beta\omega}{2}, & \text{玻色子}\end{cases}, \qquad \mathrm{Im}\,G^A(\omega) = -\mathrm{Im}\,G^R(\omega)$

问题 4.1.2：这些关系在非平衡下还成立吗？

谱函数

定义谱函数：

$A(\omega) \equiv -2\,\mathrm{Im}[G^R(\omega)] = 2\pi\frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm}\left(e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}\right)\delta(\omega - E_{nm})$

谱函数只是推迟格林函数虚部的一个倍数，反过来推迟格林函数也能用谱函数表示（谱表示）：

$G^R(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int d\omega'\frac{A(\omega')}{\omega-\omega'+i\eta}$

谱函数对自由与相互作用体系都成立两条精确的求和规则：

求和规则 1：
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}A(\omega) = \frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm}\left(e^{-\beta E_m}-\zeta e^{-\beta E_n}\right) = \langle AB - \zeta BA\rangle \xrightarrow{A=c,\ B=c^\dagger} 1$
求和规则 2：
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}n_{F/B}(\omega)A(\omega) = \langle BA\rangle \xrightarrow{A=c_k,\ B=c^\dagger_k} \langle n_k\rangle$

其中 $n_{F/B}(\omega) = \frac1{e^{\beta\omega}-\zeta}$ 是费米/玻色分布函数。因此谱函数有”概率密度”的含义，可在频率上积分。作为练习，试试对自由费米子/玻色子验证这两条求和规则。

问题 4.1.3：这两条求和规则在非平衡下也成立吗？

例子：费米子的谱函数为

$A(k,\omega) = 2\pi\frac1Z\sum_{mn}|\langle m|\psi_{k\sigma}|n\rangle|^2\left(e^{-\beta E_m}+e^{-\beta E_n}\right)\delta(\omega - E_n + E_m) \geq 0$

正定，体现了概率函数性质。（注意式 (4.1.19) 对一般算符不一定正定。）

推迟格林函数就是响应函数

六种格林函数中，推迟格林函数物理意义最直接：它是响应函数，是线性响应理论的核心对象。

考虑对体系施加含时外场 $f(t)$，即在哈密顿量上加微扰项 $f(t)B$：

$H(t) = H_0 + f(t)B$

我们要算可观测 $A$ 的响应。对 $f$ 展开到线性阶：

$\langle A\rangle_t = \int_0^t dt'\,(-i\langle[A_I(t),B_I(t')]\rangle)\cdot f(t') = \int_0^\infty dt'\,G^R(t,t')\,f(t')$

即推迟格林函数是可观测 $A$ 对外场（与 $B$ 耦合）的线性响应核。

线性响应理论：线性响应是凝聚态物理的中心课题，涵盖电导率、介电常数、折射率、极化函数、磁化率等。一般线性响应可写为
$X(t) = \int_{-\infty}^{\infty}dt'\,\chi^R(t,t')\,f(t')$
响应函数必须是推迟的（$t>t’$ 时非零）。平衡下有时间平移对称性 $\chi^R(t,t’) = \chi^R(t-t’)$，可用拉普拉斯变换定义频域表示：
$\chi^R(z) = \int_0^\infty dt\,\chi^R(t)e^{izt}, \qquad X(\omega) = \chi^R(\omega+i\eta)f(\omega)$
物理体系的 $\chi^R(z)$ 在上半复平面解析，在下半复平面和实轴上可以有极点和割线。

【配图】图 4.1.2：左——响应函数作为复频率函数的解析结构（上半平面解析、实轴上极点与割线）；中——Drude 电导率：时域 $\sigma(t) = De^{-\gamma t}\Theta(t)$，频域 $\sigma(\omega) = \frac{D}{\pi(\omega+i\gamma)}$；右——谐振子响应：时域 $\chi(t) = 2\chi_0^2\sin(\omega_0 t)e^{-\gamma t}\Theta(t)$，频域 $\chi(\omega) \sim \frac{\omega_0}{(\omega-\omega_0+i\gamma)(\omega+\omega_0+i\gamma)}$。

例子：受驱谐振子。$H = \frac{1}{2m}p^2 + \frac12kx^2 - f(t)x$。量子谐振子中定义 $a = \sqrt{\frac{k}{2\omega_0\hbar}}x - i\sqrt{\frac{1}{2m\omega_0\hbar}}p$，$\omega_0 = \sqrt{k/m}$，$[a,a^\dagger] = 1$：

$H = \hbar\omega_0\left(a^\dagger a + \frac12\right) - f(t)g_0(a^\dagger+a), \qquad g_0 = \sqrt{\hbar\omega_0/(2k)}$

$x$ 对 $f$ 的响应用推迟格林函数计算：

$G^R_{xx}(t) = -i\langle[x(t),x(0)]\rangle\Theta(t) = 2g_0^2\sin(\omega_0 t)\Theta(t)$

频域为：

$G^R_{xx}(\omega) = g_0^2\frac{2\omega_0}{\omega^2-\omega_0^2+2i\eta\omega}$

问题 4.1.4：式 (4.1.32) 是从量子力学推出来的，它与经典结果有区别吗？

问题 4.1.5：从有阻尼的唯象运动方程 $\left(\frac{d^2}{dt^2} + 2\gamma\frac{d}{dt} + \omega_0^2\right)x(t) = \frac{f(t)}{m}$ 出发，推导含阻尼的响应函数 $G^R_{xx}(t) \propto e^{-\gamma t}\sin(\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\,t)\Theta(t)$、$G^R_{xx}(\omega) \propto \frac{1}{\omega^2-\omega_0^2+2i\gamma\omega}$。此时无穷小 $\eta$ 变成了非零阻尼率 $\gamma$。能用本节哈密顿量形式主义得到这个结果吗？

虚时间格林函数

本节介绍定义在虚时间轴上的格林函数，即把时间 $t$ 换成 $-i\tau$（$\tau$ 为实数），称为 Wick 转动。一般可定义复平面上的”时间演化”算符 $U(z) = e^{-izH}$。虚时间格林函数天然与密度矩阵 $\rho = \frac1Z e^{-\beta H}$（$\beta = 1/T$ 可视为虚时间）契合，是计算非零温度性质的天然对象。处理平衡体系的常规做法是：先计算虚时间格林函数（主要是虚时序格林函数），再做解析延拓得到实时间格林函数（主要是推迟格林函数）。

虚时序格林函数（Matsubara 格林函数）定义为：

$\mathcal{G}^{T}(\tau) = -\langle T A(\tau)B(0)\rangle = \begin{cases} -\langle A(\tau)B(0)\rangle, & \tau \geq 0\\ -\zeta\langle B(0)A(\tau)\rangle, & \tau < 0 \end{cases}$

其中 $A(\tau) = e^{\tau H}A(0)e^{-\tau H}$，$\tau$ 的定义域是 $[-\beta,\beta]$。

Matsubara 格林函数与虚时周期性

【配图】图 4.2.1：左——$\tau>0$（上）与 $\tau<0$（下）的 Matsubara 格林函数，注意求迹的循环性；中——玻色/费米 Matsubara 格林函数的（反）周期性示意；右——Matsubara 格林函数只定义在虚轴上的离散点（Matsubara 频率），解析延拓到实轴给出推迟/超前格林函数。

我们来证明虚时（反）周期性。对 $-\beta<\tau<0$，反复用求迹的循环性：

$\mathcal{G}^{T}(\tau+\beta) = -\langle A(\tau)B(0)\rangle = -\frac1Z\mathrm{Tr}\left[e^{-\beta H}e^{(\beta+\tau)H}A(0)e^{-(\beta+\tau)H}B(0)\right] = \zeta\,\mathcal{G}^{T}(\tau)$

因此 Matsubara 格林函数对玻色子是周期性的（$\mathcal{G}^T(\beta+\tau) = \mathcal{G}^T(\tau)$），对费米子是反周期性的（$\mathcal{G}^T(\beta+\tau) = -\mathcal{G}^T(\tau)$）。由此，频域表示只涉及离散频率：

$\mathcal{G}^{T}(\tau) = \frac1\beta\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-i\omega_n\tau}\mathcal{G}^{T}(i\omega_n), \qquad \mathcal{G}^{T}(i\omega_n) = \int_0^\beta d\tau\,e^{i\omega_n\tau}\mathcal{G}^{T}(\tau)$

其中 $i\omega_n$ 是 Matsubara 频率：

$\omega_n = \begin{cases} 2n\pi\cdot\frac1\beta = 2n\pi T, & \text{玻色子}\\[0.4em] (2n+1)\pi\cdot\frac1\beta = (2n+1)\pi T, & \text{费米子} \end{cases}$

自由粒子情形：对 $H = \sum_k\xi_k c^\dagger_kc_k$、$A=c_k$、$B=c^\dagger_k$，

$\mathcal{G}^{T}_0(\tau) = -e^{-\xi_k\tau}\left(\Theta(\tau) + \zeta n_k\right), \qquad \mathcal{G}^{T}_0(i\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n - \xi_k}$

注意其频域表示极其简单，甚至不依赖占据数。

解析延拓到推迟格林函数

Matsubara 格林函数的 Lehmann 表示为：

$\mathcal{G}^{T}(i\omega_n) = \frac1Z\sum_{mn}A_{mn}B_{nm}\cdot\frac{e^{-\beta E_m}-\zeta e^{-\beta E_n}}{i\omega_n - E_{nm}}$

与式 (4.1.16) 有相似性。考虑把 $i\omega_n$ 换成复数 $z$ 得到的函数 $\mathcal{G}^{T}(z)$，它除实轴上的简单极点外在全复平面解析。取其实轴上方的值（即 $i\omega_n \to \omega + i\eta$）恰好得到推迟格林函数式 (4.1.16)！同理 $i\omega_n \to \omega - i\eta$ 得到超前格林函数。总结：

$\mathcal{G}^{T}(i\omega_n)\xrightarrow{i\omega_n\to\omega+i\eta} G^R(\omega), \qquad \mathcal{G}^{T}(i\omega_n)\xrightarrow{i\omega_n\to\omega-i\eta} G^A(\omega)$

因此，一旦知道虚时间格林函数，就能通过解析延拓得到实时间格林函数、谱函数及相关量。

问题 4.2.1：虚时序格林函数解析延拓到实推迟/超前格林函数（而不是实时序格林函数），这奇怪吗？你能不借助 Lehmann 表示更直接地推导这个关系吗？

思考题

自由玻色子的六种格林函数是什么？（对照自由费米子。）

谱函数两条求和规则在非平衡体系成立吗？

为什么推迟格林函数在上半复平面解析？这与因果性有什么关系？

谐振子例子中，阻尼 $\gamma$ 从哪来？能严格从哈密顿量形式主义得到吗？