为什么涨落如此重要

前面的章节用平均场研究自发对称性破缺和超导。但真实宏观体系应由场论描述——有无数自由度的空间和时间涨落，包括高温热涨落和零温量子涨落。要把握涨落的图像，可记住固体中晶格位移的热涨落（它们贡献热容的声子部分）。

二级相变临界点附近，红外涨落如此之强，常常完全改变可观测量。例如顺磁→铁磁相变中，热涨落改变了磁化率、比热、关联长度随温度的发散方式，还产生临界点的自相似现象（不同长度标度下看体系长得一样）。这些临界点附近的行为叫临界现象。更戏剧性的是，涨落可能强到完全禁止平均场预言的对称破缺相。本章目标是把握涨落的基本图像，并学习系统性计算其效应的方法：重整化群。

经典与量子统计模型

典型统计场论的配分函数是泛函场积分：

作用量 $S$ 是 Ginzburg-Landau”自由能”泛函（见 7.1 节）。式 (10.1.1) 和 Ising 模型都是经典统计模型：状态由概率分布泛函 $\rho[\phi] = e^{-S[\phi]/T}/Z$ 描述，配分函数对所有场构型求和，模型中没有动力学或动能。

【配图】图 10.1.1：量子”φ⁴”模型（式 10.1.2）的示意相图。横轴 $r$（驱动参数）、纵轴 $T$：高温无序区（经典临界，$z>1$）、有序区、以及 $T=0$ 的量子临界点（QCP）。

真实世界的情形当然有动力学。例如图 7.1.1 的绳子会随时间运动，实际拉格朗日量可写为”φ⁴ 理论”：

（已换成 $\phi$ 无量纲的常规记号。）例如 $\phi$ 表示晶格局域位移时描述固体晶格振动（声子），色散 $\omega_k^2 = r+k^2$；$r<0$ 指示铁电失稳。

当作经典体系：配分函数 $Z = \int D[p(r),\phi(r)]e^{-H/T}$，$H = \int dr\left[p^2+(\nabla\phi)^2+r\phi^2+\lambda\phi^4\right]$。对 $p$ 的高斯积分可积掉（$Z_0\sim e^{-\frac12N\ln T}$，$N$ 是自由度总数），只是说动量涨落作为二次自由度按能量均分定理贡献 $\frac12NT$。剩下结构就是式 (10.1.1)——这就是式 (10.1.1) 被称为”经典统计模型”的原因。

当作量子体系：虚时间路径积分：

零温（$\tau\in[0,\infty]$）下式 (10.1.4) 与 $d+1$ 维（无穷大）经典统计系统数学结构相同。

第一个结论：$d$ 维空间零温量子体系的行为与 $d+1$ 维经典体系相似——$d$ 维体系的量子涨落在数学上类似 $d+1$ 维体系的热涨落。

高温（$T\gg m$）下虚时间区间 $[0,1/T]$ 很小。考虑路径积分中 $\phi(0) = \phi(1/T)$ 的约束，虚”时间”涨落很难发生，权重远小于时间均匀（但空间涨落）的构型。因此可忽略时间涨落，只对空间依赖构型求和——回到 $d$ 维经典统计系统（式 10.1.1）。

第二个结论：$d$ 维空间量子体系的高温热力学行为由同维数经典统计模型描述——高温下量子体系涨落以热涨落为主。

总之，泛函场积分统一了量子和经典体系配分函数（及生成泛函）的数学表述。人们常把场积分当作数学模型、专注于如何求解，但永远值得问一句：它代表什么物理系统？

问题 10.1.1：定义式 (10.1.2) 中二次项系数（”质量” $m^2$）原则上不依赖温度。为什么它的高温有效统计模型式 (7.1.1) 有剧烈温度依赖的 $\alpha(T)$？

涨落

超越”平均场 + 高斯涨落”的图像后，涨落倾向于破坏有序相，把临界温度从 $T_c$ 移到更低的 $T_c^*$。物理上：双阱势太浅时，大涨落使场感觉不到两个极小，体系可能保持无序态。

定量一点：在 $T = T_c$（$\alpha = 0$）考虑 $\phi^4$ 项通过单圈自能给 $\phi$ 产生的额外正质量：

两点关联函数 $C_k\sim T/(\alpha+\xi_0^2k^2)$ 重正化为 $C_k\sim T/(\alpha^+\xi_0^2k^2)$。因此 $T_c$ 处 $\phi$ 还没有趋向非零的倾向，SSB 的临界温度应是更低的 $T_c^$。

Ginzburg 判据

判断平均场理论是否好的自洽标准是 Ginzburg 判据：序参量的涨落应小于其本身：$\langle(\delta\phi)^2\rangle/|\phi_m|^2 < 1$。$T$ 在 $T_c$ 之下不远处，平均场值 $|\phi_m|^2 = -\alpha/2$，高斯涨落作用量 $\mathcal{L}[\delta\phi] = E_c(-2\alpha\delta\phi^2+\xi_0^2(\nabla\delta\phi)^2)$。局域涨落 $\langle\delta\phi^2\rangle = \frac{T}{E_c}\int d^Dk\frac{1}{-2\alpha+\xi_0^2k^2}$。

【配图】图 10.2.1：”独立域近似”估计 Ginzburg 参数。把体系划分成大小为关联长度 $\xi = \xi_0/\sqrt{-\alpha}$ 的独立域，域内场均匀涨落；$\delta\phi$ 表示单个域内的涨落幅度。

在算紫外截断前，可用独立域方式估计（图 10.2.1）：把体系划分成关联长度大小的独立域。域内场均匀涨落，能量成本 $\delta S = -2\alpha E_c\xi^D(\delta\phi)^2$，能量均分给出 $\langle(\delta\phi)^2\rangle = T/(-2\alpha E_c\xi^D)$。因此涨落与平均场值之比：

无量纲参数 $\zeta$ 是 Ginzburg 参数，控制涨落的小小性。Ginzburg 判据：若 Ginzburg 参数远小于 1，平均场自洽。还定义了无量纲参数 $G = \frac{T_c}{E_c\xi_0^D}$。若 $G\ll1$，称此场论”弱关联”。典型弱关联体系：常规超导体、电荷/自旋密度波、BCS 弱耦合区的激子绝缘体。典型强关联体系：磁体。

但局域涨落 $C(0)\sim\int dk\frac{1}{\alpha+\xi_0^2k^2}$ 常随紫外截断 $\Lambda\to\infty$ 正式发散（截断有时未知），如何量化？出路是借用粒子物理的重整化思想：用实验可测量表达一切。例如 $\alpha$ 的单圈修正式 (10.2.1) 按 $\Lambda^{d-2}$ 发散。用重正化（物理）”质量” $\alpha^$ 而非裸 $\alpha$ 表达更有意义，$\alpha^=0$ 是相变点。比较两个情形（恰在相变点，以及离相变点某处）的涨落修正之差：

$D<4$ 时紫外发散被消掉，重要的是**红外涨落**。若 $\zeta\ll1$，平均场图像（用物理参数）很好。对 $d<4$，越靠近临界点（$\alpha^*\to0$）涨落越重要——$d="4$" 叫此理论的**上临界维数**。$d<4$ 时无论 $g$ 多小，在 $|\alpha|1$：这是”临界区“，平均场定性失效。系统性处理涨落需要重整化群。

案例研究：BCS 超导体

BCS 超导体临界温度附近推导出的（无量纲）GL 作用量：

这是式 (10.1.1) 形式的经典统计场论（$\Delta(r)$ 为涨落场；暂时把它当实场、忽略无能隙相位涨落，稍后讨论）。系数（见 9.4.1/9.5.1 节）$\alpha(T)\approx\nu(T-T_c)/T_c$，$c_\xi = \frac{c_s n}{mT^2}$，$\beta(T) = \frac{c_\beta\nu}{T^2}$。凝聚能量密度 $E_c\sim\nu T_c^2\sim n\Delta_0^2/E_F$，裸相干长度 $\xi_0\sim v_F/\Delta_0$（约零温 Cooper 对大小），超流密度 $n_s\sim n\Delta^2/T_c^2$。此场论的参数：

典型 BCS 超导体 $\Delta_0\sim0.1\sim1$ meV、$E_F\sim1$ eV，三维下 $G$ 从 $10^{-8}$ 到 $10^{-6}$。这解释了为什么 BCS 平均场理论对常规超导体如此成功。要看到偏离平均场的表现需进入临界区 $|\alpha| = |T-T_c|/T_c < G^{1/(2-D/2)}\sim10^{-16}\sim10^{-12}$——温度要靠近 $T_c$ 到 $10^{-12}$ K 量级！高温（强关联）超导体相干长度小得多（$\sim$ nm），$G$ 可能为量级 1，预计能看到强涨落。

零温下超导场论成为式 (10.1.4) 的量子统计模型（实际情形更复杂：势能无法在 $\Delta=0$ 附近泰勒展开，见式 9.4.12，但可用式 10.1.4 粗略理解）。量子涨落仍由小参数 $G$ 控制。

问题 10.2.1：超导 GL 场论（式 10.2.4）的紫外截断是什么？答：频率方向约零温能隙 $\Delta_0$，动量方向约裸相干长度的倒数 $\Delta_0/v_F$。

Wilson 动量壳重整化群

本节介绍处理涨落的动量壳重整化群（RG）方法，由 Wilson 等人在 1970 年代开创。用 φ⁴ 模型（也叫 Ginzburg-Landau-Wilson 作用量）示范：

（$r$ 是耦合常数不是空间坐标。）此模型描述顺磁→易轴铁磁相变（Ising 模型的场论版本）、临界点附近的液-气相变等；$\varphi$ 推广为复场/矢量场后还描述超导、超流、Heisenberg/易面铁磁的临界行为。

真实世界理论有紫外截断 $\Lambda$：不含极高波矢涨落。实空间即短距离截断（晶格常数 $1/\Lambda$）。真实材料中自然有紫外截断：式 (10.3.1) 是 $|k|<\Lambda$ 涨落的低能有效理论，高能涨落的作用量一般很难看。对超导体短距离截断约裸相干长度，对晶格磁体是晶格常数。临界行为由红外（长波）涨落主导，对截断建模方式不敏感。

大多数时候我们只关心大尺度（低能）行为，即超长波涨落的性质（如直流电导率——材料宏观大，探测场和响应的空间尺度都很大，只关心 $k\approx0$ 的关联函数）。但 $\varphi^4$ 项使不同模相互作用，所有高能（短波）涨落都影响低能（长波）性质。原则上应严格积掉式 (10.3.1) 中所有高能模、只留 $k\approx0$ 模，得到后者的有效作用量再算关联函数。可惜直接”积掉”不可行。

RG 方法是对”积掉”过程的良好近似。物理上：从越来越远的距离看体系，逐渐忽略微观细节、聚焦大尺度行为。RG 不仅最终得到直流电导率，还从过程学到相变点附近的临界行为。

【配图】图 10.3.1：每个 RG 步的两个子步骤，实空间（上）与动量空间（下）。”积掉”：把薄动量壳 $\Lambda/b<k<\Lambda$（中间图的蓝色壳）的快模 $\varphi_k$ 在场积分中积掉。”重标度”：把长度单位从 $l$ 放大到 $bl$，使新单位下截断又变回 $\Lambda$；实空间图像变小。

工程维数：式 (10.3.1) 只有长度一个单位。把场重定义后物理单位被并入无量纲数；若来自量子体系零温配分函数，通常设特征速度=1，时间单位也是长度单位。场和耦合常数 $(r,\lambda,h)$ 的工程维数是它们在式 (10.3.1) 中的能量维数。因为 $(\nabla\varphi)^2$ 系数设为 1，由作用量无量纲得 $[\varphi] = D/2-1$，耦合常数的工程维数：

其他未显示的项（高阶梯度项 $r_m(\partial^m\varphi)^2$、相互作用项 $\lambda_n\varphi^n$）的工程维数 $[r_m] = 2(1-m)$、$[\lambda_n] = D+n(1-D/2)$。

RG 变换

RG 过程逐步积掉高能模，得到有效作用量耦合常数随紫外截断降低的微分方程（流方程）。每个 RG 步两个子步骤：

第一步：积掉。积掉薄动量壳 $\Lambda/b1$）的高能（快）模，得到低能（慢）模 $k<\Lambda/b$ 的有效作用量。把场分离 $\varphi = \varphi_s + \varphi_f$，作用量 $S = S_s + S_f + S_c$（$S_c$ 是慢-快耦合，含 $\lambda(6\varphi_s^2\varphi_f^2 + 4\varphi_s\varphi_f^3 + 4\varphi_s^3\varphi_f)$ 项）。积掉 $\varphi_f$ 得有效作用量 $S_{eff}[\varphi_s] = S_s[\varphi_s] + \delta S_s[\varphi_s]$，其中

$\delta S_s$ 来自慢快模的相互作用 $S_c$。$\lambda=0$ 时快模完全不影响慢模，积掉过程平凡。RG 步的本质就是算式 (10.3.6) 的 $\delta S_s$：积掉快模时慢模耦合常数的修正。

先算 $\delta r$ 项（$\varphi_s^2$ 的修正）。对均匀 $\varphi_s$ 求导，得两部分的期望：$\frac{12}{4!}\lambda\int d^Dr\varphi_f^2$ 和 $\frac{16}{4!}\lambda^2(\int d^Dr\varphi_f^3)^2$。前者来自图 10.3.2(a)，后者来自图 (c)。注意 $\lambda\varphi_f^4$ 诱导的真空极化图不应包含（被 $Z_f$ 分母抵消）。图 (a) 的贡献：

$\Omega_D = (2\pi)^{-D}2\pi^{D/2}/\Gamma(D/2)$ 是 $D$ 维单位球面积除以 $(2\pi)^D$。图 (c) 含两个独立圈、$O((dl)^2)$，对 $\delta r/dl$ 无贡献。因此这种 RG 只需单圈图。此项为正号有简单物理来源：快模涨落通过 $\lambda\varphi^4$ 排斥增加了慢模的质量。

再算 $\delta\lambda\varphi_s^4$ 项。唯一的单圈贡献来自图 10.3.2(b)：

负号：积掉快模使慢模之间出现额外吸引耦合（把 $\delta S_s$ 看作快模在 $\varphi_s$ 外扰下的”自由能”，二阶微扰总降低能量）。

【配图】图 10.3.2：可能贡献慢模有效作用量的图。(a) 慢-慢-快-快顶点（两外腿慢模）给出 $\delta r$；(b) 四慢模外腿给出 $\delta\lambda$；(c) 六慢模外腿（$\lambda^3$ 阶）；(d) 产生 $\delta r_1(\nabla\varphi_s)^2$ 的图；(e) 上：$D\geq4$ 的 RG 流（只有 Gaussian 不动点）；下：$D<4$ 的 RG 流（Gaussian 与 Wilson-Fisher 不动点）。

第二步：重标度。把 $S_{eff}[\varphi_s]$ 的长度单位放大 $b = e^{dl}$ 倍，截断重新变回 1。耦合常数按工程维数变化：

RG 流与 Wilson-Fisher 不动点

综合”积掉”（式 10.3.8、10.3.9）与”重标度”（式 10.3.10）两步，得 Ginzburg-Landau 模型的 RG 流方程：

其中 $\epsilon = 4-D$。耦合常数空间的一个点 $g$ 流过后到达 $g’$：$g$ 体系的低能性质看起来像 $g’$ 体系以放大 $e^l$ 的长度标度测量的性质。例如约化自由能密度 $f = F/(TL^D)$ 有关系 $f[g] = e^{-Dl}f[g’]$。

耦合常数空间中，RG 流的不动点是所有方向 $dg/dl = 0$ 的点。

  • $D\geq4$（$\epsilon\leq0$）：只有 $(r,\lambda,h) = (0,0,0)$ 一个不动点，叫 Gaussian 不动点（无非线性相互作用，涨落严格高斯）。
  • $D<4$：两个不动点。Gaussian 不动点现在三个方向都流出，是不稳定不动点。第二个是非高斯不动点：

叫 Wilson-Fisher（WF）不动点。从 WF 不动点出发，$r$ 方向相关（流出），倾斜方向（红线）无关（流入）。红线是典型”临界曲面“，分隔耦合常数空间的有序与无序相。

不动点附近，耦合常数的小偏离服从线性化流方程 $\frac{d}{dl}(g-g^) = W(g-g^)$。选线性化流的正则坐标 $v_a$，有 $\frac{d}{dl}v_a = y_av_a$，$y_a$ 是耦合的”维数”。WF 不动点处取 $v_a = (t,\delta\lambda,h)$（$t = r-r^$ 是到临界的距离，$\delta\lambda$ 沿红线参数化离开不动点）。可得 $y_t = 2-\epsilon/3$（$\epsilon$ 阶）——“2”来自 $t$ 的工程维数，”$\epsilon/3$”来自积掉快模的非平凡效应。与工程维数不同，$y_t$ 有时叫 $t$ 的”*反常维数“。类似地 $y_\lambda = -\epsilon$、$y_h = 1+D/2 = 3-\epsilon/2$。三维下 $t$、$h$ 是相关耦合，$\delta\lambda$ 无关。

为什么可以忽略 RG 过程中产生的高阶梯度项和相互作用项？它们的耦合常数 $r_m$、$\lambda_n$ 比 $(r,\lambda,h)$ 的能量维数低、因此更不相关。若限制在 $\lambda$ 小的参数区，这些项的产生速率在高 $\lambda$ 阶，扰动很小。但 WF 不动点 $\lambda^ = \frac{2\epsilon}{3\Omega_D(1+\epsilon/6)}$ 看起来不小。要使它小，须假设 $\epsilon = 4-D\ll1$，于是可在 $\epsilon$ 中微扰计算流动——即”*$\epsilon$ 展开“。奇妙的是，这个方法即使在 $\epsilon = 1,2$ 也相当好。

问题 10.3.1：式 (10.3.1) 的耦合参数与式 (10.1.1) 的更物理的参数如何对应？（这对接 RG 结果于物理体系很重要）答：做场变量代换 $\phi = \sqrt{2E_c/T}\xi_0\varphi$，式 (10.1.1) 的场积分变为 $Z = Z_0\int D[\varphi]e^{-S[\varphi]}$，其中 $S[\varphi] = \int d^Dr\left[\frac{\xi_0^2}{2}\frac{\alpha}{T}\varphi^2 + \frac12(\nabla\varphi)^2 + \frac{T}{4E_c\xi_0^D}\varphi^4\right]$，正是式 (10.3.1) 形式。用 $1/\Lambda$ 作长度单位，得 $r = \alpha/N^2$、$\lambda = 3!N^{D-4}G$（$N = \xi_0\Lambda$，$G = T_c/(E_c\xi_0^D)$）。对三维弱耦合 BCS 超导体，$\lambda\sim10^{-8}/N\ll1$，远离非高斯不动点。

标度函数与临界现象

临界现象指大体系临界点附近发生的现象。列举几例：

  1. 临界点的自相似性：若体系耦合参数恰在 WF 不动点上，RG 流意味着用更大长度标度测量时体系长得像自己——自相似（像花椰菜），其涨落没有特征长度。临界线（临界曲面）上的体系也一样：从临界线上任一点出发，用越来越大长度单位时参数流向不动点，靠近后几乎不再变化。关联函数呈幂律形式 $C(r)\sim r^{-a}$。离开临界曲面，涨落有特征长度（关联长度 $\xi$）：$C(r)\sim e^{-r/\xi}$（$r\gg\xi$），并交叉到 $r\ll\xi$ 的幂律。参数接近临界曲面时关联长度发散。

  2. 临界指数：临界点附近物理量幂律行为的指数。所有物理体系的临界行为可归入少数几个普适类。式 (10.3.1) 的实场版本常叫”Ising 普适类”。普适类有一组临界指数（表 10.1）：

指数 含义 平均场 Gaussian $\epsilon$ 展开 实验
$\alpha$ $C\sim t ^{-\alpha}$ 0 1/2 1/6 0–0.14
$\beta$ $M\sim(-t)^\beta$ 1/2 1/4 1/3 0.32–0.39
$\gamma$ $\chi = \partial_hM\sim t ^{-\gamma}$ 1 1 7/6 1.3–1.4
$\delta$ 临界点 $M\sim h ^{1/\delta}$ 3 5 4 4–5
$\nu$ $\xi\sim t ^{-\nu}$ N/A 1/2 7/12 0.6–0.7
$\eta$ 临界点 $C(r)\sim r^{2-D-\eta}$ N/A 0 0 0.05

表 10.1：临界指数定义及 Ising 普适类的取值（$t$ 是到临界的距离，$h$ 是外场，动力学指数 $z$ 未列出）。数据来自 Altland & Simons 和 Huang。

标度函数与临界指数：RG 流把耦合参数 $g$ 的体系与同一流线上的 $g’$ 联系。对物理量 $C(g)$ 有 $C(g) = e^{nl}C(g’)$（$e^l$ 是 RG 重标度因子，$n$ 是 $C$ 的长度维数）。这样函数的独立变量至少减少一个。令人惊奇的是，只要知道相关耦合的维数，就能用标度关系找到临界点附近的所有临界指数。

例如约化自由能密度有标度关系 $f[g] = e^{-Dl}f[g’]$。$g$ 很靠近 WF 不动点时，两个相关耦合 $t,h$ 流为 $te^{y_tl}$、$he^{y_hl}$，无关耦合 $\delta\lambda$ 流到 0。流足够久（$te^{y_tl}=1$）后：

$f_0(x)\equiv f(1,x,0)$。式 (10.4.1) 是典型的标度函数。只要 $g$ 靠近临界线（不必靠近 WF 不动点）标度函数就成立：初点会在有限时间内流到 WF 不动点附近，用式 (10.4.1) 反推即得同样的标度关系。这体现了”整条临界曲面及其近邻被其上的稳定不动点控制”这一说法。此标度关系成立的区域叫”临界区“。

【配图】图 10.4.1：临界区示意。红色阴影区是”临界区”；两条水平虚线分别对应 $G$ 大和小（$G = T_c/(E_c\xi_0^D)$）的体系。

由标度关系得表 10.1 的临界指数：

关联长度指数由 $\xi(t) = e^l\xi(e^{y_tl}t) = t^{-1/y_t}\xi(1)$ 得到；关联函数的反常维数 $\eta$ 由 $\chi = \int d^Dr\,C(r)$ 得 Fisher 标度律：$\gamma = \nu(2-\eta)$。把 $y_t = 2-\epsilon/3$、$y_h = 3-\epsilon/2$ 代入式 (10.4.1) 得表 10.1 倒数第二列（$\epsilon$ 线性阶）。相比平均场，与实验的吻合明显改善。

问题 10.4.1：实验中磁体的临界指数常被测量。但超导体的指数似乎符合平均场而非 RG 结果（如能隙 $\Delta(T)\propto\sqrt{T_c-T}$）。如何理解？
答：可粗略用实场 GL 模型的 RG 流理解。因为超导的 $G\sim10^{-8}$ 非常小，临界区非常窄（$G\ll1$ 线以下）。要看到 RG 预言的真正临界指数，需极度靠近 $T_c$。临界区在温度方向有多窄？从 $g$ 到 $g’$ 的流中 $g’ = (t’,h’,\lambda’)\approx(te^{2l_0},he^{y_hl_0},\lambda e^{\epsilon l_0})$（用 $t$、$\lambda$ 的工程维数，因为流到 $g’$ 的大部分时间 $g$ 靠近 Gaussian 不动点）。若 $\lambda’\sim1$ 使 $g’$ 靠近 WF 不动点，则 $t’\sim te^{2l_0}\sim t(1/\lambda)^{2/\epsilon}$。要求此时 $t’\ll1$ 才保证标度关系成立，即 $t\ll\lambda^{2/\epsilon}\sim G^{2/\epsilon}$——正是式 (10.2.3)、(10.2.5) 后估计的区域。相比而言磁体是典型强关联体系（$G$ 大），临界区宽得多。

连续对称性与 BKT 相变

到目前为止我们关注式 (10.1.1) 的单分量实场 $\phi$。若 $\phi$ 换成复场 $\psi$（等价地二分量实场），式 (10.1.1) 就是超导、超流、易面磁性、非公度电荷/自旋密度波的场论。拉格朗日密度：

它整体 $U(1)$ 对称：$\psi(r)\to\psi(r)e^{i\theta}$，是连续对称性。平均场层 $\alpha<0$ 时自发对称破缺。从平均场构型 $\psi_m = \sqrt{-\alpha/2}$（不失一般性取实）出发，场写为平均场加涨落：$\psi(r) = (\psi_m+\delta(r))e^{i\theta(r)}$。涨落到二阶：

相位涨落是”无能隙“的：空间均匀的相位涨落不增加能量。这是典型的 Goldstone 模。

Goldstone 定理：体系自发破缺连续对称性时，序参量的某些涨落必然”软”（无能隙），这个无能隙集体模叫 Nambu-Goldstone 模（Goldstone 模）。例如晶体自发破缺空间平移对称性，有声学声子作 Goldstone 模。这是因为对场做整体对称操作对应零波矢（均匀）涨落，而能量在此操作下不变，均匀涨落不费能量、必然软。注意即使有自发对称破缺，哈密顿量本身始终有该对称性，Noether 定理仍给出守恒律（晶体仍遵守总动量守恒）。

红外涨落、Mermin-Wagner 定理与下临界维数

计算式 (10.5.2) 与 (10.1.1) 的相位高斯涨落的局域大小：

其中 $G = T/(E_c\xi_0^D)$。$D\leq2$ 时小 $k$ 的贡献发散——红外发散。物理上：Goldstone 模无能隙，长波热涨落很大（每个动量模仍应有 $\frac12k_BT$ 热能量）。低维时小动量区域的体积相对重要，红外涨落发散。此发散意味着涨落可能破坏有序态——此体系可能根本没有自发对称性破缺。

更定量地计算诊断长程有序的关联函数 $\langle\psi(0)^*\psi(r)\rangle$，聚焦发散相位涨落的效应：

“Gaussian”近似忽略 $\theta\in[0,2\pi)$ 的约束，把对 $\theta$ 的场积分精确作高斯积分。$C(r)$ 是二次无能隙作用量的逆核。$C(0)-C(r)$ 从 $r=0$ 的 0 增到 $r\to\infty$ 的 $\langle\theta(0)^2\rangle$。因此 $D\leq2$ 时 $r\to\infty$ 关联函数衰减到零——没有严格长程有序。

2D 中考察衰减方式：

$a = 1/\Lambda$ 是短距离截断。虽然没有严格长程有序，幂律衰减（定性慢于指数）叫”代数序“或”准长程有序“。

这就是 Mermin-Wagner 定理的实质：短程相互作用体系在 $D\leq2$ 的非零温度下，连续对称性不能（严格）自发破缺。假设对称破缺，Goldstone 模的长波热涨落就会破坏长程有序。空间维数 2 是连续对称性破缺的下临界维数。

问题 10.5.1：$D=1$ 时 $\langle\psi(0)^\psi(r)\rangle$ 如何衰减？答：以关联长度 $\xi_0\psi_m^2/G$ 指数衰减。
问题 10.5.2：零温量子体系能在二维自发破缺连续对称性吗？答：由”$D+1$ 维经典非零温系统与 $D$ 维量子零温系统的数学等价”，量子体系的下临界维数是 1。
问题 10.5.3：为什么二维材料存在？
*问题 10.5.4：非零温度下一维能自发破缺离散对称性吗？二维呢？

二维 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 相变

红外相位涨落发散，必须认真对待。聚焦式 (10.5.2) 的相位涨落，配分函数 $Z = \int D[\theta]e^{-S[\theta]}$，作用量简化为：

$J = 2\psi_m^2/G = 2\psi_m^2E_c\xi_0^D/T = 1/\zeta$ 叫”刚度“（用 $\xi_0$ 作长度单位；$\zeta$ 是式 (10.2.2) 的 Ginzburg 参数）。超导/超流语境中 $J$ 正比于超流密度。刚度越大相位越难涨落。式 (10.5.8) 也是经典 XY 模型（面内自旋）的连续版本，$\theta$ 是局域自旋的面内角。

【配图】图 10.5.1：(a) 涡旋示意：箭头代表 $\nabla\theta$（左）与 $\nabla\phi$（中、右，涡旋对）；(b) XY 模型到涡旋”库仑等离子体”模型的映射。

若放宽 $\theta\in[0,2\pi)$ 约束，作用量是自由的，Gaussian 层级的关联函数 (10.5.5) 精确，2D 得到式 (10.5.7) 的幂律衰减（代数序）。但考虑 $\theta\in[0,2\pi)$ 的约束后，除 Gaussian 积分包含的规则相位涨落，还有不规则涨落：涡旋（$\theta$ 绕中心缠绕整数个 $2\pi$）。足够高温时随机涡旋的热激发必然使关联函数指数衰减。因此二维超导/超流等的统计物理（式 10.5.8）需要非平凡地处理涡旋激发。本节研究此问题的 RG 方法，揭示低温涡旋-反涡旋束缚对相与高温自由涡旋相之间的 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 相变。

涡旋是式 (10.5.8) 相位的拓扑稳定激发。但式 (10.5.8) 不含涡旋的细结构（$\theta(r)$ 在其中心奇异），细结构在复场 GL 模型 (10.5.1) 中：其鞍点解给出给定绕数（拓扑荷）下的优化涡旋。涡旋核心区场振幅在 $\sim\xi = \xi_0/\sqrt{-\alpha}$ 长度内趋于零；远离核心振幅趋于 $\psi_m$。

估荷-1 涡旋激发（无量纲）能量：

核心区贡献 $S_c\sim\xi^DE_c(\alpha^2/4)/T\sim1/\zeta$（Ginzburg 参数的倒数）；第二项是核心外贡献，直接用式 (10.5.8) 算：$S_J\approx J\pi\int_\xi^L dr\,r(1/r)^2 = \pi J\ln(L/\xi)$，$L$ 是系统尺寸。超流语境中可理解为超流动能（局域流速 $\propto\nabla\theta$）。远距离部分对系统尺寸对数发散——无限大体系中涡旋激发费无穷能量。但熵增益也发散，$J$ 小时热激发并不被禁止。

更可能的激发是涡旋-反涡旋对（图 10.5.1(a) 右）。距对很远（$R$）处两涡旋流场因抵消而衰减快于 $1/R$，大尺寸发散消失；靠近每个涡旋处场形如单涡旋。对能量粗略估计 $S_{pair} = 2S_c + J\ln(r/\xi)$，$r$ 是两涡旋距离。第二项意味着两涡旋通过二维”库仑”势相互吸引。

映射到库仑等离子体模型：把超流分离为 $\nabla\theta = \nabla\theta_0 + \hat z\times(\nabla\phi)$，$\theta_0$ 正则无涡旋，涡旋在 $\hat z\times(\nabla\phi)$ 中，$\phi$ 满足二维高斯定律 $\nabla^2\varphi(r) = 2\pi\rho(r)$，$\rho(r) = \sum_iq_i\delta(r-r_i)$ 是涡旋”电荷”密度。含 $N$ 个荷 $\pm1$ 涡旋的构型总作用量：

涡旋间相互作用能来自非规则流场的流动能（分部积分得最后等式）。物理意义类比 3D 静电学：电场能即电荷间相互作用能。两个涡旋即二维库仑相互作用。（涡旋有非零核大小 $\xi$，$\ln|r_i-r_j|$ 在 $|r_i-r_j|\to0$ 的发散不物理，应换为常数极限；但此修正不影响 RG 分析。）

第一项是自由场作用量不诱导相变，可忽略。配分函数只含涡旋：

$q_i = \pm1$，$y_0 = e^{-S_c}$ 是涡旋逃逸度（fugacity）：核心能越高涡旋激发越少。此式限制 $N$ 正 $N$ 负电荷（整体电中性），是最可能的激发。式 (10.5.11) 是二维电荷以二维库仑势相互作用的经典体系配分函数，即库仑等离子体模型。

RG 分析：式 (10.5.11) 的 RG 过程有实空间物理诠释。”积掉”即平均掉电荷的短波涨落（如短距离正负对），问它们如何影响剩余电荷的长程力。定量上先算被其他涡旋热涨落屏蔽的两电荷有效相互作用，以 $J^{-1}$ 展开：

$x$ 是以 $\xi$ 为单位的距离。虽然积分看似发散，无需真算 $J_{eff}$，只需从中提取 $J$、$y_0$ 的 RG 流。把积分分成 $\int_1^\infty = \int_1^{e^{dl}} + \int_{e^{dl}}^\infty$（$dl\ll1$ 是小 RG 步），式 (10.5.12) 改写为 $J_{eff}^{-1} = J’^{-1} + 4\pi^3y_0’^2\int_1^\infty dx\,x^{3-2\pi J}$，其中 $J’^{-1} = J^{-1}+4\pi^3y_0^2dl$。再放大长度单位 $x = e^{dl}x’$，得 $J_{eff}^{-1} = \tilde J^{-1} + 4\pi^3\tilde y_0^2\int_1^\infty dxx^{3-2\pi J}$，其中 $\tilde J^{-1} = J’^{-1}$、$\tilde y_0 = y_0e^{(2-\pi J)dl}$。注意不同标度有运行耦合 $\tilde J$，式中的 $J$ 也应换成 $\tilde J$。最终 RG 流方程（最低 $y_0$ 阶）：

【配图】图 10.5.2：库仑等离子体模型的 RG 流。红线是分隔两相的临界线；其左侧所有点流到 $y_0=0$ 的固定线（粗黑线，对应无穷大涡旋核心能、无涡旋激发，关联为式 10.5.7 的幂律——准长程有序）；右侧所有点流向大 $y_0$、大 $J^{-1}$（涡旋易激发，自由随机涡旋，指数衰减——无序相）。

流图如 10.5.2。红线是分隔两相的临界线。红线左侧所有点流向 $y_0=0$ 的固定线（粗黑线）。固定线上的点对应无穷大涡旋核心能，似乎无涡旋激发，关联应是式 (10.5.7) 的幂律——体系有准长程有序。此相中确实有涡旋激发，但全部是紧束缚的涡旋-反涡旋对，越看越远时它们有效消失。红线右侧所有点流向大 $y_0$ 和 $J^{-1}$：涡旋易激发，物理图像是自由随机涡旋，关联指数衰减——无序相。

回到物理参数：温度 $T$ 下降时 $y_0$、$J^{-1}$ 朝有序相方向减小（图 10.5.2 中黑色虚线是典型轨迹）。$T$ 到达临界温度 $T_c$ 时 $y_0$、$J^{-1}$ 撞上红线，体系经历 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless（BKT）相变，$T_c$ 叫 BKT 温度。

问题 10.5.5：BKT 温度比平均场预言的临界温度高还是低？
问题 10.5.6：用 BCS 平均场计算的必要参数，你能估计常规二维清洁超导体的 BKT 温度吗？

临界性：$J^{-1} = \pi/2$、$y_0=0$ 附近，流近似为 $\frac{dt}{dl} = 4\pi^3y_0^2$、$\frac{dy_0}{dl} = \frac4\pi ty_0$（$t = J^{-1}-\pi/2$）。$c = t^2-\pi^4y_0^2$ 被流守恒，$c=0$ 在分离线（红蓝粗线）上。红线是分隔相变的临界线，可把 $c = c_0^2(T_c-T)$ 看作到临界的距离。

  • 第一个重要结果：BKT 相变处有效超流刚度 $J_{eff}$ 的普适跳跃。对比虚线曲线上 $T_c$ 上下两点的流：$T_c$ 之上流向无穷大 $J^{-1}$，即 $J_{eff} = 0$（此相自由涡旋耗散流动，有效超流密度为零）；$T_c$ 之下流到 $t=-\sqrt c$ 的固定线点，$J_{eff}\approx\frac2\pi + c_0’\sqrt{T_c-T}$。即冷却跨过 BKT 相变时，有效超流刚度从零跳到 $2/\pi$。注意到刚度与超流（数）密度 $J_{eff} = \hbar^2n_s/(mk_BT)$ 相关（2D 超流/清洁超导体），这表示 BKT 温度正下方有效超流密度取普适值 $n_s = \frac{\pi}{2}\frac{mk_BT_c}{\hbar^2}$。
  • 第二个结果：关联长度指数发散。从 $T_c$ 上方的灰点 $(t,y_0)$ 出发求解流方程（$\frac{dt}{dl} = 4\pi^3y_0^2 = \frac4\pi[t^2+c_0^2(T-T_c)]$），显式解出流”时间”。在 $t^\sim1$ 处终止（近似流方程失效处），对应流时间 $l^\approx\frac{\pi^2}{8c_0\sqrt{T-T_c}}$。设 $g^*$ 处关联长度为 $a$，则 $g$ 处的关联长度：

温度趋近 $T_c$ 时关联长度指数发散而非幂律。类似地，约化自由能密度 $f\propto\xi^{-2}\propto e^{-\pi^2/(4c_0\sqrt{T-T_c})}$。自由能在相变处无穷光滑（每阶导数连续）——热力学意义上 BKT 相变是无穷级相变。

sine-Gordon 模型：库仑等离子体 (10.5.11) 的热力学等价于 2D sine-Gordon 模型：

$\phi\in(-\infty,\infty)$ 不是角度。把场积分在 $g$ 中展开（$\cos\phi$ 的各次幂），取 $J_0 = 1/(8\pi^2J)$、$g = 2y_0$，就得到与式 (10.5.11) 相同形式的配分函数。低温（大 $J_0$ 大 $g$）相中 $\phi$ 被余弦势困在某个极小 $\phi_N = 2\pi N$，自发破缺 $Z$ 对称性；高温（小 $J_0$ 小 $g$）无序。对 sine-Gordon 模型做动量壳 RG 很直接，给出与式 (10.5.15) 相同的流方程。

思考题

  1. 为什么 $D=4$ 是上临界维数？Ginzburg 参数 $\zeta = G\alpha^{D/2-2}$ 如何体现这一点？
  2. RG 的”积掉”和”重标度”两步各自的意义是什么？为什么积掉只需单圈图？
  3. 为什么常规超导的临界指数符合平均场？临界区有多窄？
  4. Mermin-Wagner 定理的物理本质是什么？为什么连续对称性比离散对称性更容易被涨落破坏？
  5. BKT 相变为什么是”无穷级”的？有效超流刚度的普适跳跃 $2/\pi$ 从哪里来？

到此，本课程的十讲笔记全部完成。这门课建立的基本图像——费米液体、响应函数、对称性破缺、超导、涨落与重整化群——是继续阅读凝聚态物理经典专著（Altland & Simons、Coleman、Mahan、Tinkham 等）的出发点。