水与冰、顺磁与铁磁——物态及其相变在生活中无处不在，它们随温度相互转化。20 世纪 30 年代，朗道建议用对称性区分不同物态，并提出了用状态的自发对称性破缺（SSB）描述二级相变的范式。结合 1950 年超导的 Ginzburg-Landau 理论和 1970 年代 Wilson 等人系统发展的重整化群方法，构成了理解二级相变的 Landau-Ginzburg-Wilson 范式。本节按教学顺序（而非历史顺序）介绍，重点关注离散对称性破缺的相变。

对称性的两种含义

体系的对称性指它在某种变换下保持不变。要注意区分两种”对称性”：

  • 状态的对称性：例如完美圆盘旋转若干角度后不变；
  • 理论的对称性：例如世界的哈密顿量绕某点旋转所有东西若干角度后不变。

数学上，理论的对称变换可表示为其自由度的变换。若作用量在此变换下不变，则该理论（经典或量子）具有此对称性。在量子理论的算符语言中，对称变换常表示为酉（或反酉）变换；若哈密顿量在此变换下不变，则称理论具有此对称性。

理论的对称性提供了大量信息。连续对称性蕴含守恒律（Noether 定理）：空间/时间平移对称性 → 动量/能量守恒；旋转对称性 → 角动量守恒；电子相位旋转的 $U(1)$ 对称性 → 电荷守恒。

【配图】图 7.0.1：状态对称性（圆盘旋转）与理论对称性（把”整个世界”旋转）的区别示意。

场论：Z₂ 对称的 φ⁴ 模型

对具有 $Z_2$ 对称性的体系，其低能行为可用朗道”自由能”（密度）描述：

其中 $\varphi(r)$ 是空间依赖的场（体系的自由度，此处归一化为无量纲），$E_c$ 是典型能量密度（又称”凝聚”能量密度），$\alpha \sim \frac{T-T_c}{T_c}$ 是典型含温的无量纲系数，$\xi_0 > 0$ 是裸”相干长度”。作用量 $S[\varphi] = \int dr\,\mathcal{L}$ 在对称操作 $P:\varphi\to-\varphi$ 下不变，具有 $Z_2$ 对称性。展开到 $\varphi^4$ 是因为关心临界温度附近的行为，那里 $\varphi$ 很小、泰勒展开是好近似。

实际自由能 $F = -T\ln Z$，配分函数是场泛函积分：

其中 $\int D[\varphi]$ 是对 $\varphi(r)$ 的所有空间依赖构型的泛函积分。这是经典统计体系的典型结构，概率分布泛函为 $\rho[\varphi] = e^{-S[\varphi]/T}/Z$。它描述临界温度 $T_c$ 附近一类离散对称破缺体系的低能统计物理（如用 Ising 模型描述的易轴磁性相变）。可以微观地从泛函场积分语言积掉高能自由度推导出来。

【配图】图 7.1.1：(a) 一维”绳子”示意图：$\varphi(x)$ 是带张力（$\xi_0^2(\nabla\varphi)^2$ 项）的连续弦，在势 $V(\varphi) = \alpha\varphi^2+\varphi^4$ 中涨落（画的是 $\alpha<0$ 的双阱势）；(b) 一维 Ising 模型示意：一个基态和畴壁激发。

物理上，$\varphi$ 可视为 Ising 模型中自旋的连续版本。式 (7.1.1) 描述易轴（反）铁磁体、铁电体、公度电荷/自旋密度波、某些聚合物等的统计物理。把 $\varphi$ 换成复场，同一模型描述超导等更多体系。

加入源项可定义生成泛函 $F[f] = -T\ln Z[f]$：

局域”磁化” $\langle\varphi(r)\rangle = \left.\frac{\delta F}{\delta f(r)}\right|_{f=0}$，两点响应函数 $\langle\varphi(r_1)\varphi(r_2)\rangle - \langle\varphi(r_1)\rangle\langle\varphi(r_2)\rangle = \left.\frac{\delta^2F}{\delta f(r_1)\delta f(r_2)}\right|_{f=0}$。注意无外场时 $\langle\varphi\rangle$ 通常为零。

几乎所有的模型都无法解析计算式 (7.1.2) 的配分函数或式 (7.1.3) 的生成泛函。因此预测相变点、响应函数（如磁化率）等热力学性质是不平凡的任务。这就是需要平均场、平均场加涨落、重整化群等近似方法的原因。

Ising 模型

Ising 模型是演示相变的著名简单模型，哈密顿量：

$S_i = \pm1$ 定义在格点上，$\langle ij\rangle$ 表示相邻格点（键），$J$ 是耦合强度，$\sum_{\{S_i\}}$ 对所有自旋构型求和。$S_i$ 视为经典自旋时是经典统计体系；视为量子自旋的 $z$ 分量时是量子统计体系（$\rho[S]$ 是密度矩阵对角元）。

体系在翻转所有自旋 $S_i\to-S_i$ 下有 $Z_2$ 对称性。$J>0$ 时平行自旋能量更低，哈密顿量”偏好”铁磁态。平均场层面，高温顺磁、低于临界温度 $T_c$ 进入 $Z_2$ 自发破缺的铁磁态。但考虑涨落（这里是热涨落）后，只有空间维度 $d\geq2$ 才有非零 $T_c$。

对 $d=1$，任意非零温度下体系都处于无序相。配分函数可精确求解，但更物理的论证是：在热分布 $\rho[S]$ 中，设最左自旋向上，问最右自旋的概率分布是否有偏。链长 $L\to\infty$ 时若最右自旋偏向某个方向，则存在长程关联 $\langle S_{left}S_{right}\rangle \neq 0$，即”长程有序”。从全自旋向上（基态）出发，畴壁的激发把畴壁右侧所有自旋翻转，使最右自旋向下。这个激发相对基态的概率 $\sim Le^{-2J/T}$，在 $L$ 大时趋向无穷。两个及更多畴壁的激发同样比基态概率大无穷倍。热分布可看作畴壁气体，大 $L$ 极限下它不区分畴壁个数的奇偶。结果：最右自旋上下等概率，$\langle S_{left}S_{right}\rangle = 0$——一维没有长程有序。

平均场理论

平均场层面，只需取式 (7.1.2) 场积分的鞍点并完全忽略热涨落，即假设体系处于使 $\mathcal{L}[\varphi]$ 最小的单一场构型。此时 $S[\varphi] = \int dr f[\varphi,T]$ 可视为自由能泛函（即朗道自由能）。最小化条件：

多数情形体系均匀，解为空间均匀场，满足 $\alpha + 2\varphi^2 = 0$。把序参量（优化后的场构型）代入即得自由能 $F(T) = \min_\varphi F[\varphi,T]$。

序参量与自发对称性破缺

考虑顺磁→铁磁相变。当 $T>T_c$，$\alpha>0$，最优构型是 $\varphi = 0$——状态在对称操作 $P$ 下不变（$Z_2$ 对称）。当 $T<T_c$，$\alpha<0$，式 (7.2.1) 有两个解 $\varphi_m = \pm\sqrt{-\alpha/2}$，因为 $F[\varphi]$ 有两个等价极小。平均场精神下体系选择其中一个并停在那里。这就是具有非零磁化 $\varphi$ 的铁磁态，它在 $P$ 下不再不变——$Z_2$ 对称性被自发破缺。

【配图】图 7.2.1：平均场图像中的自发对称性破缺。(a) 自由能 $F$ 对 $\varphi$：$T>T_c$ 单极小（$\varphi=0$，对称）；$T<T_c$ 双阱（$\varphi = \pm\varphi_m$，对称破缺）；(b) 序参量 $|\varphi|$ 随温度；(c) $F$ 对温度及其一阶、二阶导数（二阶导数在 $T_c$ 有跳跃）。

SSB 的定义：哈密顿量具有某种对称性，而体系的平衡态不遵守它。对称破缺相称为”有序相”，高温对称相称为”无序相”。

临界点附近的行为

临界点附近，平均场序参量和自由能（密度）随温度：

注意到 $\alpha\approx(T-T_c)/T_c$，自由能在 $T=T_c$ 不解析。对温度求导：

二阶导数在 $T_c$ 不连续（有跳跃），这就是为什么叫二级相变。热容 $C_v = -T\partial_T^2F$ 因此在相变点有跳跃。

（注：$T0$。）

施加外场 $h$，自由能密度泛函变为 $f[\varphi,T,h] = E_c\left(\alpha\varphi^2+\xi_0^2(\nabla\varphi)^2+\varphi^4\right) - h\varphi$。对 $\varphi$ 最小化得线性响应：$T>T_c$ 时 $\varphi/h = 1/(2\alpha)$，$T<T_c$ 时 $\delta\varphi/h = 1/(-4\alpha)$。对磁体这对应磁化对磁场的静态线性响应系数——磁化率 $\chi$。因此临界点附近 $\chi \propto 1/|T-T_c|$ 发散。

涨落

【配图】图 7.3.1：热涨落示意。(a) 场不固定于 $\varphi_m$，而是围绕它涨落（小圆点代表局域涨落，宽度即 $\sqrt{\langle\delta\varphi^2\rangle}$），双阱变浅时涨落变大（右图）；(b) 关联函数 $C(r)$ 指数衰减，关联长度 $\xi$ 标出；(c) $T_c^*<T<T_c$ 时涨落可能完全阻止有序。

现实中场不会固定于平均场解 $\varphi_m$，而是受随机热噪声（热涨落）驱动在其周围涨落。超越平均场一步：在平均场构型上加小涨落 $\varphi(r) = \varphi_m + \delta\varphi(r)$，涨落的统计满足：

其中 $T>T_c$ 时 $\alpha_m = \alpha$，$T<T_c$ 时 $\alpha_m = -2\alpha$。涨落大小用两点关联函数量化：

精确涨落很难算（有 $\delta\varphi^3$、$\delta\varphi^4$ 等非线性项；若能精确算就得到式 (7.1.2) 的精确解）。我们能做的是把作用量展开到 $\delta\varphi$ 的二次（高斯）阶，得到”高斯涨落“。定义动量模 $\varphi(k) = \int d^dr\,\varphi(r)e^{-ik\cdot r}$，高斯涨落容易求出：

远距离处关联以关联长度 $\xi = \xi_0/\sqrt{\alpha_m}$ 指数衰减。临界点附近 $\xi \propto |T-T_c|^{-1/2}$ 发散！近距离处高斯涨落看似发散，但这是此理论的紫外（UV）发散伪影；真实体系有动量积分的 UV 截断使 $C(0)$ 有限。

问题 7.3.1：临界点附近关联长度发散与磁化率 $\chi$ 发散有何联系？
问题 7.3.2：有序态中涨落是从某个对称破缺态出发计算的。高斯涨落层面平均场图像没怎么变（状态是图 7.3.1(a) 中模糊的蓝点）。若能算出精确涨落分布，图像会定性改变吗？

SSB 的严格定义：长程有序

如果接受统计物理的正则分布 $\rho[\varphi] = e^{-S[\varphi]/T}/Z$，$\varphi = \pm\varphi_m$ 两个状态等概率，体系完全对称。那怎么还会有自发对称性破缺？

事实是：式 (7.1.2) 的精确自由能 $F(T)$ 确实可以在某些温度不解析，指示相变。非零温度下没有容易的例子能直接看到这一点——Onsager 精确求解的 2D Ising 模型是一个。

因此需要用不借助平均场的方式定义 SSB，即关联函数意义的长程有序：

【配图】图 7.4.1：SSB 的性质。(a) 有序相中局部自旋有偏之后，远处自旋也有偏（长程有序）；(b) 无序相中关联在关联长度内衰减；(c) 破缺态无限寿命（不演化到另一个破缺态或对称态）；(d) 自由能不解析。

由于 $\varphi$ 反转的 $Z_2$ 对称性，热态中恒有 $\langle\varphi\rangle = 0$。但若 $C_0(\infty)\neq0$，意味着两个相距无穷远的场的概率分布仍有长程关联。有序相中场发展出”刚性”：某处为 $\varphi_+$，其他地方也偏好 $\varphi_+$ 而非 $\varphi_-$，即使空间距离无穷远。这就是长程有序的含义。在平均场精确的极限下，可想象这样的概率分布：$\frac12$ 概率所有 $\varphi(r) = \varphi_m$，$\frac12$ 概率所有 $\varphi(r) = -\varphi_m$。

以 Ising 模型（易轴磁体）为例：零温下测一个局域自旋，上/下等概率；但发现它是上后，就知道所有自旋都向上。铁磁相变温度以下的非零温度：发现局域自旋向上后，体系每个自旋都有更高概率向上。相变温度以上：发现局域自旋向上后，只有有限距离内的自旋有更高概率向上，关联在关联长度内指数衰减，无穷远处的自旋上下等概率。

问题 7.4.1：如图 7.4.1，长程有序伴随两个效应：①若体系制备在某个破缺态（经典或量子），它停在那里、永不演化到另一个破缺态或完全对称态（这是常规观点中的 SSB）；②自由能在临界点不解析。难题：为什么这些现象相互关联？
问题 7.4.2：定义平均磁化 $M = \frac1V\int dr\,\varphi(r)$，在无序相与对称破缺相中，概率分布 $\rho(M)$ 各长什么样？

思考题

  1. 一维 Ising 链为什么没有长程有序？畴壁论证的关键步骤是什么？
  2. 平均场理论什么时候失效？”涨落比序参量本身还大”的定量判据是什么？（下一讲 Ginzburg 判据会给出答案。）
  3. 关联长度发散与磁化率发散的联系是什么？（提示：$\chi = \int dr\,C(r)$。）