同一个困境，两条战线

本专栏一路走来，反复出现同一个短语——精度—效率困境。DFT用单粒子近似换来了效率，把严格解的负担推给了交换关联泛函；量子蒙特卡洛（QMC）用随机采样正面处理多体关联，精度可以系统性改进，计算代价却高得只够伺候小体系。

2025年12月，徐勇、段文晖团队在 Nature Computational Science 发表了综述《Deep-learning electronic structure calculations》，为这个领域画出一张简洁的地图：深度学习正在从两个方向同时围攻这个困境——深度学习DFT负责让大规模模拟变得高效，深度学习QMC负责让强关联体系算得精确。本专栏的主线DeepH家族属于前者；收官之际，我们终于有资格把另一条战线也看清楚。

第一支柱：深度学习DFT

这条线我们已经走完了全程，这里只做俯瞰。

它的策略是绕过：既然自洽迭代是瓶颈，就用等变神经网络学会结构到哈密顿量的映射 $\{\mathcal{R}\}\mapsto \hat{H}_{\mathrm{DFT}}$，一次前向传播代替整个SCF流程。从初代DeepH：用神经网络表示DFT哈密顿量的局部坐标技巧，到 DeepH-E3：彻底的等变化的彻底等变化、 DeepH-2：等变局域坐标Transformer 的SO(2)约化，再到 DeepH的应用：杂化泛函与通用模型的杂化泛函升级与通用模型、 xDeepH：磁性超胞的等变网络的对称群扩张，这条线的进化逻辑始终围绕”如何更优雅地编码对称性”展开。 DeepH-Zero：当能量泛函成为损失函数则展示了它的另一种可能——变分原理驱动的无监督学习。

要清醒的一点是：无论架构多精巧，学到的都是DFT水平的单粒子哈密顿量。泛函的误差不会因为网络而消失——这正是需要第二支柱的原因。

第二支柱：深度学习QMC

QMC不绕过任何东西：它直接对多体波函数$\Psi(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_N)$做变分或投影，求解的是完整的多体薛定谔方程

$\left[-\tfrac{1}{2}\sum_i\nabla_i^2-\sum_{iI}\frac{Z_I}{|\vec{r}_i-\vec{R}_I|}+\sum_{i<j}\frac{1}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}+E_{II}\right]\Psi=E\Psi$

电子关联被完整地包含在波函数里。传统的瓶颈在于拟设函数——人工设计的Slater-Jastrow形式

$\Psi_{\mathrm{SJ}}=\det[\phi_i(\mathbf{x}_j)]\times\exp\left[J(\{\vec{r}\})\right]$

表达能力有限。

深度学习的注入改变了游戏规则。2020年前后，PauliNet与FermiNet相继问世：用神经网络直接参数化多电子波函数，把电子关联全部交给网络学习。FermiNet把斯莱特行列式推广为多个行列式的线性组合，而每个”轨道”本身是全部电子坐标的置换等变函数，

$\Psi_\theta(\mathbf{x})=\sum_k c_k\,\det\left[\phi^{(\theta)}_{\alpha_k}(\mathbf{x}_1),\dots,\phi^{(\theta)}_{\alpha_k}(\mathbf{x}_N)\right]$

费米子反对称性由行列式保证，电子关联则由网络编码进轨道。网络以变分能量为损失训练，变分能量通过局域能量做蒙特卡洛估计：

$E[\Psi_\theta]=\frac{\langle\Psi_\theta|\hat{H}|\Psi_\theta\rangle}{\langle\Psi_\theta|\Psi_\theta\rangle}=\frac{\int E_{\mathrm{loc}}(\mathbf{x})\,\lvert\Psi_\theta(\mathbf{x})\rvert^2d\mathbf{x}}{\int\lvert\Psi_\theta(\mathbf{x})\rvert^2d\mathbf{x}},\qquad E_{\mathrm{loc}}(\mathbf{x})=\frac{\hat{H}\Psi_\theta(\mathbf{x})}{\Psi_\theta(\mathbf{x})}$

积分由Metropolis采样近似，$E\approx\frac{1}{N_{\mathrm{samp}}}\sum_k E_{\mathrm{loc}}(\mathbf{x}_k)$。FermiNet及其后续PsiFormer在分子体系上达到了超越耦合簇的精度，成为”神经网络的表示能力足以攻克量子多体问题”的标志性证明。此后这股浪潮迅速涌向周期性体系：把平移周期性编码进网络后，均匀电子气、实际固体乃至moiré材料的基态都可以被神经网络波函数攻克，能量之外连密度、力、应力等性质也逐渐可及，固体方向的进展可参见专门的综述。

它与 DeepH-Zero：当能量泛函成为损失函数的亲缘关系现在看得更清楚了：两者都放弃了”DFT产数据、网络做拟合”的流水线，都以物理的能量泛函为损失。区别在于对象——一个学单粒子哈密顿量，一个学多体波函数。

两条路线的对照

	深度学习DFT	深度学习QMC
学习对象	单粒子（Kohn-Sham）哈密顿量	多体波函数
物理近似	继承DFT的泛函近似	无系统近似，精度可系统性提升
强关联体系	受限于泛函	天然主场
可达尺度	上万原子（moiré超胞、缺陷、界面）	数十至上千电子
监督方式	监督拟合为主，变分路线兴起	变分（无监督）为主
代表工作	DeepH家族、HamGNN等	PauliNet、FermiNet/PsiFormer、DeepSolid

对照之下互补性一目了然：深度学习DFT以接受泛函近似为代价换取了宏大的尺度，适合作为大规模筛选与性质计算的日常工具；深度学习QMC以高昂的计算成本换取系统的精确性，适合作为小体系的基准与标尺。一个自然的分工是：用前者高通量地扫描材料空间，发现异常后再用后者精确定夺——两条战线在”把第一性原理方法推向前所未有的尺度与复杂性”这个总目标下各守一端。

展望：大材料模型

综述的结尾把目光投向了所有线索共同的远方：大材料模型（large materials model）。UMM已经验证了这个概念的可行性，接下来的剧本似乎早已写好——更大的数据库、更强的架构、scaling law的生效，直至一个能对任意材料即时给出电子结构的基座模型。DeepH高效建库与模型进化之间的飞轮效应，正是这条路上独有的加速器。

悬而未决的问题同样清晰：SOC与磁性如何纳入通用模型？杂化泛函乃至更高理论水平的通用化何时到来？可微DFT与监督学习的融合会走到哪一步？这些开放问题中的每一个，都可能孕育下一篇DeepH。

结语

十篇文章，一条主线。我们从DFT自洽迭代的困境出发，看初代DeepH用局域性与局部坐标劈开荆棘，DeepH-E3以表示论重铸地基，DeepH-2调和简洁与优雅，DeepH-pack完成工程落地，DeepH-Zero引入变分新范式；随后应用延伸至杂化泛函精度、通用材料模型与磁性超胞，最后在这篇全景中与深度学习QMC会师。

回头看，这个领域五年的爆发式发展有一个贯穿始终的方法论：把物理定律写成网络的归纳偏置。近邻性、等变性、时间反演、变分原理——每一条被正确写进架构的物理，都换来数量级的回报。这个方法论当然不止适用于电子结构，它同样塑造着力场专栏里的MACE们，也将在结构生成的专栏里再次现身。三个专栏共享同一套底层语言，这正是把它们编排成三部曲的原因。

非DeepH系的哈密顿量网络同样精彩，最后一篇推文其他哈密顿量网络：DeepH之外的风景为它们留出位置。