初代方案的软肋

我们在初代DeepH：用神经网络表示DFT哈密顿量的结尾留了一个伏笔：初代DeepH用局部坐标系把协变问题化归为不变问题，简单直接，但局部坐标系的定义依赖最近邻原子的选取。当结构连续形变、最近邻关系发生切换时，坐标系会突然跳变，网络输出随之不连续。对于静态结构的能带计算这尚可容忍，但对于分子动力学这类需要势能面光滑性的场景就是致命伤；不光滑还意味着网络需要多得多的训练数据才能覆盖各种坐标构型，泛化能力因此受限。

另一条看似自然的出路是数据增广——把训练集旋转出无数个副本，指望网络自己”看”出协变规律。但对称变换的群空间是连续的，靠采样逼近既低效又只能得到近似满足约束的模型。

真正干净的做法是把对称性写进架构本身：让网络严格等变。这正是DeepH-E3（E3指欧几里得群$E(3)$）的工作，等变神经网络的数学工具箱我们在等变神经网络：原理与脉络中已经备齐。

等变表示的语言

DeepH-E3中不再存在人为选定的局部坐标系，取而代之的是一套统一的表示约定：网络的全部特征——输入、中间、输出——都是等变向量（equivariant vectors），按角动量量子数$l=0,1,2,\dots$标记，$l$阶等变向量有$2l+1$个分量，在空间旋转$\mathcal{R}$下按Wigner-D矩阵变换：

$x^l_m\ \longmapsto\ \sum_{m'}D^l_{mm'}(\mathcal{R})\,x^l_{m'}$

考虑到晶体普遍缺乏中心反演对称性，每个分量还额外携带宇称标记：偶（e）或奇（o）。于是网络的特征空间是各阶不可约表示的直和——每个原子的特征写成

$f_i=\bigoplus_{l,p}f^{l,p}_i,\qquad f^{l,p}_i\in\mathbb{R}^{2l+1}$

其中$l$是角动量量子数，$p\in\{+1,-1\}$是空间宇称：在空间反演$\mathcal{P}$下，各通道只变号而不混合，

$\mathcal{P}\,f^{l,p}_i=p\,f^{l,p}_i$

实际网络的通道配置形如$64\times 0e\oplus 32\times 1o\oplus 16\times 2e\oplus 8\times 3o\oplus 8\times 4e$——角动量越高、通道越窄，以匹配$2l+1$维表示体积的增速。层与层之间的运算（球谐展开、张量积、消息传递）都经过精心设计以保持这种变换性质；其中最基本的等变运算是张量积，

$(f_i\otimes f_j)^{L}_{M}=\sum_{m_1,m_2}C^{l_1l_2L}_{m_1m_2M}\,f^{l_1}_{i,m_1}\,f^{l_2}_{j,m_2}$

等变性由此成为架构的内禀属性而非训练出来的近似行为。

输入端同样遵循这套语言：原子序数$Z_i$和原子间距$|\vec{r}_{ij}|$是天然的$l=0$标量；原子间相对方向则通过对单位矢量$\hat{r}_{ij}$投影到实球谐函数上，生成$l=1,2,\dots$各阶的初始特征：

$\eta^l_m(ij)=Y^l_m(\hat{r}_{ij}),\qquad \hat{r}_{ij}=\frac{\vec{r}_j-\vec{r}_i}{|\vec{r}_j-\vec{r}_i|}$

哈密顿子块作为等变张量

剩下的问题是如何从等变特征构造输出——毕竟哈密顿子块本身不是矢量，而是带两个轨道指标的矩阵。DeepH-E3的处理堪称教科书式的群论应用。

把子块$[H_{ij}]_{p_1p_2}$按轨道角动量分组，记$h\equiv[H_{ij}]_{p_1p_2}^{l_1l_2}$。在旋转$\mathcal{R}$下它按两个不可约表示的外积变换：

$h^{l_1l_2}_{m_1m_2}\ \longmapsto\ \sum_{m'_1 m'_2}D^{l_1}_{m_1m'_1}(\mathcal{R})\,D^{l_2}_{m_2m'_2}(\mathcal{R})\,h^{l_1l_2}_{m'_1m'_2}$

也就是说，$h$是一个按表示$l_1\otimes l_2$变换的等变张量。而根据Wigner-Eckart定理，这个二阶张量可以与一组携带确定宇称的等变向量一一对应，两者的表示空间由Clebsch-Gordan分解联系：

$l_1\otimes l_2=\lvert l_1-l_2\rvert\oplus\cdots\oplus(l_1+l_2)$

于是构造哈密顿量的流程变成：网络输出与$\lvert l_1-l_2\rvert$到$l_1+l_2$各阶对应的等变向量分量，再通过CG系数把它们”焊接”回矩阵形式：

$\left[H_{ij}\right]^{l_1l_2}_{m_1m_2}=\sum_{L=\lvert l_1-l_2\rvert}^{l_1+l_2}\ \sum_{M}C^{l_1l_2L}_{m_1m_2M}\ \tilde{f}^{L}_{ij,M}$

其中$\tilde{f}^{L}_{ij,M}$是网络输出的等变特征，$C^{l_1l_2L}_{m_1m_2M}$是Clebsch-Gordan系数。整个映射从输入到输出严格满足E(3)等变——平移由只使用相对位置保证，旋转与反演由表示论保证，置换不变性由图结构的对称化保证。

自旋轨道耦合情形

加入自旋轨道耦合后，哈密顿量变成复数矩阵并携带自旋指标，变换群也从纯空间旋转变成了空间转动与自旋转转动的耦合。表面上看这超出了上述框架，实际上只需把轨道表示升级为包含自旋的自由旋量表示（单群换成双群）：旋量角动量$j=l\pm\tfrac{1}{2}$，对应表示

$D^{j}=D^{l}\otimes D^{1/2},\qquad H_{ij}=H_{ji}^\dagger\in\mathbb{C}^{d\times d}$

整套Wigner-Eckart机制原封不动地照搬。DeepH-E3因此在含SOC的体系（如扭转双层铋烯）上同样保持了严格的欧几里得对称性与亚meV级精度——这一点远胜经验紧束缚方法，后者处理SOC往往需要额外的手工拟合。

数值表现：亚meV与上万原子

数值实验覆盖了含平带或弯曲结构的体系、强键或弱vdW键结合的材料、单元索或多元素化合物。哈密顿矩阵元的误差稳定在亚meV水平，比初代DeepH又有明显改进；能带、波函数相关的物理量随之全面对齐DFT基准。

效率方面，等变消息传递保持了随体系的线性标度，使得上万原子的超胞计算成为常规操作。一个直接的产出是moiré扭转材料数据库的构建：对上百种双层材料训练好各自的DeepH-E3模型后，任意转角的电子结构都可以在分钟级时间内获得（魔角TBG的哈密顿量预测约需100秒），后续发展成了专门的DDHT数据库。