磁性带来的新自由度

磁性材料是第一性原理计算中最重要也最麻烦的一类。麻烦首先来自物理：同一个原子结构配上不同的磁构型——铁磁、反铁磁、非共线的自旋螺旋——就是不同的基态，能带、输运性质随之不同。哈密顿量不再只是原子位置的函数：

$\{\mathcal{R}\}\ \longmapsto\ \hat{H}_{\mathrm{DFT}}(\{\mathcal{R}\},\{m_i\})$

磁矩$\{m_i\}$作为新的输入维度登场了。

麻烦还来自尺度。研究磁有序必须使用磁超胞：反铁磁构型至少要把原胞翻倍，长周期的自旋螺旋、磁畴壁、skyrmion晶格的超胞更是动辄成百上千个原胞。磁性DFT的计算量在半局域泛函之上还要再乘一个磁结构因子，大规模磁性体系因此成了比 DeepH的应用：杂化泛函与通用模型中杂化泛函更古老的痛点。

xDeepH（Li等，Nature Computational Science 3, 321, 2023）把DeepH框架推广到这个战场。名字里的x，指的就是磁性超胞。

对称群的升级

技术上的核心问题依旧是老朋友——等变性——但这次对称群本身变大了。

时间反演算符$\mathcal{T}=UK$是反幺正的（$U$幺正、$K$复共轭；对自旋$\tfrac12$有$\mathcal{T}^2=-1$），它翻转所有磁矩的方向：$\vec{m}_i\overset{\mathcal{T}}{\longmapsto}-\vec{m}_i$。对磁性体系而言，$\mathcal{T}$与空间操作一样是合法的对称变换，于是网络的等变群从单纯的欧几里得群升级为

$E(3)\times\{1,\mathcal{T}\}$

其中$\{1,\mathcal{T}\}$是由恒等与时间反演构成的二阶群。落到表示论的语言上：每个特征除了角动量$l$和空间宇称$p$之外，还要多带一个时间反演宇称$\tau$，标记为$(l,p,\tau)$，在$\mathcal{T}$作用下

$\mathcal{T}\,f^{l,p,\tau}_i=\tau\,\bigl(f^{l,p,\tau}_i\bigr)^*$

反幺正性体现在复共轭上；实际网络取实特征，复共轭退化为恒等，只剩下$\pm$号。而输入端新增的磁矩$\vec{m}_i$是一个轴矢量——在空间反演下不变（这与极矢量的轨道$\hat{r}_{ij}$恰好相反），在时间反演下变号：

$\mathcal{P}:\vec{m}\to\vec{m},\qquad \mathcal{T}:\vec{m}\to-\vec{m}$

共线情形下磁矩退化为一个时间反演奇标量，对应$(l,p,\tau)=(0,+,-)$通道。两类宇称正交组合出的表示结构，正是磁性哈密顿量矩阵元变换规则的完整刻画。

输出端的约束同样自动升级：哈密顿子块作为等变张量，现在要按扩大后的群的表示来构造，张量积规则推广为

$(l_1,p_1,\tau_1)\otimes(l_2,p_2,\tau_2)=\bigoplus_{L=\lvert l_1-l_2\rvert}^{l_1+l_2}(L,p_1p_2,\tau_1\tau_2)$

有趣的是，这套机制天然地编码了一个物理事实——在时间反演下哈密顿量协变，

$\mathcal{T}\,H(\{\vec{m}_i\})\,\mathcal{T}^{-1}=H(\{-\vec{m}_i\})$

当所有磁矩被$\mathcal{T}$整体翻转时，无SOC体系的哈密顿量不变，而含SOC时则按自旋部分的表示相应变换。

另一个务实的设计是把磁矩处理为严格局域的输入：每个磁矩只挂在对应的原子上参与局域特征的构造。这既符合共线磁性中磁矩高度局域的物理图像，也守住了近邻性原理的地基。

站在DeepH-E3的肩膀上

实现上，xDeepH直接以 DeepH-E3：彻底的等变化的代码库为骨架：消息传递的骨架、Wigner-Eckart参数化哈密顿子块的机制全部复用，需要改写的只是表示的标记系统（加入时间反演宇称）和输入嵌入（加入磁矩）。这也再次展示了等变框架的可扩展性——对称群变了，但”特征按不可约表示变换、输出按CG系数组装”的总路线纹丝不动。

训练数据的生成也有磁性特色：对同一母结构施加不同的磁构型（铁磁、各种反铁磁排列），配合结构扰动，就能让网络学会”看磁构型下菜碟”。测试显示哈密顿矩阵元的精度保持在meV量级，与非磁版本相当。

应用：从自旋螺旋到skyrmion

方法的价值要用物理问题衡量，xDeepH选的三个考场都很有代表性。

自旋螺旋：周期任意长的自旋螺旋需要同样巨大的磁超胞，传统上只能用广义Bloch定理近似处理。xDeepH直接对真实超胞预测哈密顿量，螺旋波矢与电子结构的对应关系可以逐点验证。

磁性纳米管与moiré磁体：卷曲和扭转把非磁情形下的老套路原样搬到磁性材料上——小体系训练、大体系推理，磁构型随几何形变的演化尽收眼底。

磁性skyrmion：这种拓扑保护的涡旋磁结构被认为是未来自旋电子学的候选载体，但其第一性原理研究受制于数百至上千原子的磁超胞。xDeepH使这类计算成为常规操作，为skyrmion的晶格效应、多skyrmion相互作用等问题的定量研究打开了大门。

结语

xDeepH补上了DeepH版图上一块显眼的空缺：对称群每扩一步——从$O(3)$到$E(3)$再到$E(3)\times\{1,\mathcal{T}\}$——框架的核心机制都不需要伤筋动骨，这正是表示论方法的威力。它与UMM指向同一个终点：覆盖包括磁性在内全部复杂性的通用电子结构模型。

至此，深度学习DFT这条主线的故事基本讲完了。但电子结构计算的版图上还有另一座高山——不做任何单粒子近似、正面强攻多体薛定谔方程的量子蒙特卡洛，它也在被深度学习重塑。收官篇深度学习电子结构：全景与展望我们把两条路线放在同一张地图上看。