引言

我们在 NequIP：等变消息传递的开山之作的结尾留下了两个问题：消息传递网络的多体关联要靠堆层数隐式获得，效率不高；两体消息的表达力存在理论上限。MACE（Batatia, Kovács, Simm, Ortner, Csányi，NeurIPS 2022；扩展版发表于Communications Physics 2023）对这两个问题给出了同一个回答——把原子簇展开（Atomic Cluster Expansion, ACE）搬进等变神经网络。

从ACE到MACE

ACE是Csányi组2021年提出的经典势函数基组理论。它把原子能量展开为多体关联基函数的级数：

$E=\sum_i \sum_{\nu} c_{\nu} A_{i,\nu},\qquad A_{i,\nu}=\rho_{i}^{\nu}$

其中$\nu$标记多体阶数，$\rho_i^\nu$是由$i$原子的$\nu$个邻居构成的对称化关联量。ACE在数学上证明了这组基对任意排列不变函数是完备的，且能以$O(N)$复杂度计算任意高阶项。

MACE的关键洞察是：ACE的构造过程本身就可以写成一个等变消息传递网络。具体地，第$t$层做如下三步：

第一步：单边消息。每条边生成一个初始消息张量（irrep形式）：

$m_{ij}^{(t)}=W^{(t)}(r_{ij})\left(Y(\hat{r}_{ij})\otimes h_j^{(t)}\right)$

这一步和NequIP的卷积完全一样。

第二步：多体关联——核心创新。MACE不直接聚合$m_{ij}$，而是先取它的$\nu$次自积来构造$\nu$体关联：

$\underbrace{m_{ij_1}\otimes m_{ij_2}\otimes\cdots\otimes m_{ij_\nu}}_{\nu 体消息}\ \longrightarrow\ \text{对所有邻居组合求和}$

$\nu=1$退化为普通的消息传递（两体），$\nu=2$对应三体关联，以此类推。直观图像是：普通GNN里原子$i$只能”逐个”听取邻居的意见，MACE让原子直接感知邻居的组合——这正是多体相互作用的本质。

第三步：对称化与更新。对关联消息做元素置换对称化、径向加权求和后更新节点特征：

$h_i^{(t+1)}=\mathrm{Gate}\left(h_i^{(t)}+\sigma\left(W\sum_j M_{ij}^{(t)}[\nu]\right)\right)$

由于两层MACE的有效多体阶数为$\nu^2$，实践中两层就足以匹敌八层NequIP的精度。

对称收缩算子

上面的方案有个显然的问题：显式枚举所有邻居组合的$\nu$重张量积，计算量随邻居数指数爆炸。MACE用对称收缩（Symmetric Contraction）算子解决了这个问题：

$S_\nu(m)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\sigma\in S_N}\bigotimes_{k=1}^\nu m_{j_{\sigma(k)}}$

即先对邻居组合做全对称化，再利用对称群的表示论结构，把结果写成一组预计算的对称化系数矩阵与单边消息幂的乘积：

$S_\nu(m)_p=\sum_l R_{pl}\left(m^{\nu}\right)_l$

这样多体关联的计算量只随$\nu$多项式增长。这是整篇文章技术上最精妙的部分——把量子化学里的Slater行列式对称化技巧翻译成了现代张量语言。

性能表现

MACE发布时的基准成绩：

基准	相比此前最优的提升
MD17/3BPA等分子	力误差达到亚-meV/Å级，样本需求低于NequIP
水性电解液	化学精度模拟离子扩散
推理速度	两层架构带来约一个数量级的加速

但MACE真正的大放异彩是在通用大模型时代：2024年发布的MACE-MP-0在MPtrj+Alexandria合并数据集上训练，覆盖89种元素，开箱即可跑跨周期表的晶体与分子模拟，成为MatBench Discovery榜单上最早的标杆之一；面向有机液体的MACE-OFF则展示了纯有机化学空间的迁移能力。通用模型部分的详细讨论见通用势模型巡礼：从MACE-MP-0到UMA 。

MACE家族的演化

此后MACE持续演进，几条线索值得一提：

MACE-MP-0 → MACE-OFF24 → MACE-MPA-0：数据规模与元素覆盖不断扩大，训练配方（如multi-head fine-tuning）日趋成熟；
Scaling law研究（Batatia et al., 2024）：证明MACE类模型的精度随参数量呈可预测的幂律提升，为”力场基础模型”提供了scaling law依据；
社区实现：mace开源库已成为学术界使用最广的等变力场框架之一，大量下游工作（微调、主动学习、大模型蒸馏）都以它为底座。

如果说NequIP宣告了等变时代的到来、Allegro解决了规模问题，那么MACE就是那个把三者——表达力、效率、通用性——拧在一起、并一路走到大模型时代的架构。