课程概览

这门课叫”量子物理计算方法选讲”（Selected Topics in Computational Quantum Physics）。它不是数值分析课，也不是量子力学复习课，而是沿着物理问题的主线，把现代凝聚态与量子物理里真正在用的几类数值方法讲清楚。第一讲的作用是铺开地图：问题为什么难、语言是什么（二次量子化）、模型有哪些（Hubbard / Heisenberg / 横场 Ising）、工具箱里有什么。

一个方程 + 四类方法

整门课的骨架是一句话：一个方程 + 四类方法。

  • 一个方程：定态薛定谔方程 $\hat H|\Psi\rangle = E|\Psi\rangle$。全学期剩下的时间都是在解这个”简单”的本征值问题——严格说是三个层次的任务：基态与低激发谱（$\hat H$ 的最低几个本征对）、热平均（$\mathrm{Tr}\,e^{-\beta\hat H}$）、实时间演化（$e^{-i\hat Ht}|\Psi_0\rangle$）。它们看上去不同，但瓶颈是同一个：希尔伯特空间的维数 $2^N$。
  • 四类方法：
    1. 精确对角化（ED）——唯一”精确”的通用方法，把哈密顿量写成矩阵直接求本征对；代价是矩阵维度 $2^N$，靠 Lanczos 迭代与对称性把上限推到约 20 个格点以上；
    2. 密度矩阵重整化群（DMRG）与矩阵乘积态（MPS）——钥匙是纠缠：”不要问基态长什么样，要问基态纠缠有多大”；一维有能隙时纠缠熵饱和，小键维数即可精确表示基态（White 1992）；
    3. 张量网络——把一维的成功推广到二维（PEPS、MERA 等）；
    4. 量子蒙特卡罗（QMC）——把配分函数写成对经典组态的求和再重要性抽样；对无符号问题的模型代价随尺寸多项式增长。

另外还有数值重整化群（NRG，Wilson 用它解 Kondo 问题）、动力学平均场（DMFT，在无穷维极限精确）、机器学习（用神经网络参数化波函数 $|\Psi_\theta\rangle$ 做变分蒙特卡罗）等。

课程大纲与参考书

  • 第 0 章：引言（量子力学简述、微观格点模型、量子相变、矩阵运算）——即本讲；
  • 第 1 章：精确对角化（哈密顿量的矩阵表示、Lanczos、时间演化、动量空间精确对角化）；
  • 第 2 章：DMRG 与 MPS（传统 DMRG、多体纠缠、矩阵乘积态及其对称性、iTEBD、变分 MPS）；
  • 第 3 章：张量网络（PEPS、MERA、张量网络与拓扑序、二维算法）；
  • 第 4 章：量子蒙特卡罗（重要性抽样、费米子符号问题、DQMC / PI-QMC / VMC / SSE / Majorana QMC）；
  • 第 5 章：其它方法（NRG、DMFT、机器学习）；
  • 第 6 章：总结与讨论（有限尺度标度、方法比较、挑战与机遇）。

参考书主要是两本 Springer 的多作者综述（Computational Many-Particle Physics 与 Strongly Correlated Systems: Numerical Methods），适合”讲到哪个方法读哪一章”；背景书包括 Altland & Simons、Sachdev、Nielsen & Chuang。数学工具（本征分解、奇异值分解 SVD、QR/LQ 分解）将在后续用到，本讲不展开。

课程面向的物理：强关联量子多体系统

什么是强关联

强关联的定义很干脆：由于相互作用的存在，单粒子近似失效。

  • 弱相互作用时，每个电子占据一个自己的轨道，总能量是轨道能量之和，泡利原理负责其余的事——这是平均场图像：每个粒子感受到的只是其它粒子的平均作用；
  • 强关联是指这个图像整体失效：一个粒子的瞬时运动取决于其它粒子此刻在哪里，波函数不能写成单个（或少数几个）Slater 行列式，不存在收敛的单粒子轨道分解。相互作用不是小修正，它就是现象本身。

典型例子：高温超导体（铜氧化物）、分数量子霍尔系统、量子磁体、超冷原子气体。它们的共同点是：单粒子描述恰好错过让材料有意思的那个效应——铜氧化物错过的是 $d$ 波配对与赝能隙，分数量子霍尔错过的是分数化激发，量子磁体错过的是自旋液体，重费米子错过的是被增强的有效质量。

研究的对象与困难

研究什么：基态与低激发（最低的几个本征值/本征矢）、物理可观测量（磁化、密度、关联函数）、谱函数与响应（含时关联、$e^{-i\hat Ht}$）、时间演化（淬火）、有限温度（$\mathrm{Tr}\,e^{-\beta\hat H}$）。这张清单就是全学期的任务表。

一个历史坐标：1986 年 Bednorz 与 Müller 在 IBM 苏黎世发现铜氧化物约 35 K 超导（次年即获诺贝尔奖），YBCO 随后把转变温度推到液氮沸点以上。这些材料的母体是反铁磁 Mott 绝缘体，掺杂之后才超导，配对机制至今仍有争论——这正是”为什么必须靠数值”的典型例子。

困难有四条，也是全学期的问题清单：

  1. 没有严格解。严格可解的强关联模型是例外：一维 Heisenberg 链（Bethe ansatz，1931）、一维 Hubbard 模型（Lieb–Wu）、横场 Ising 链（Jordan–Wigner → 自由费米子）。真正有意思的物理在二维和三维，那里几乎没有严格解。
  2. 希尔伯特空间太大。$N$ 个自旋-1/2 张成 $2^N$ 维空间：$N=40$ 存一个态矢量要 17.6 TB（双精度复数每振幅 16 字节），$N=50$ 要 18 PB。注意维数是 $2^N$、哈密顿量矩阵是 $4^N$（$N=30$ 时矩阵有 $(2^{30})^2 \approx 10^{18}$ 个元素）。方法之间的差别，本质上是”如何绕过这堵墙”的差别。
  3. 二维与三维。低维有不少方法能给出严格或可控结果；升到二维，DMRG 最坏情况指数涨、QMC 遇到符号问题、微扰论失去控制。
  4. 符号问题。用 QMC 算费米子或阻挫磁体时，组态权重不再是正数，正负贡献相消，统计误差随粒子数与逆温指数增长。Troyer & Wiese（2005）证明一般的解不存在（符号问题 NP-难），实际做法是对具体模型找”无符号”的表示。
  5. （纠缠）违背面积律。张量网络高效的前提是纠缠熵服从面积律 $S_A \propto |\partial A|$。一维有能隙时 $S_A$ 饱和（常数），MPS 键维数可恒定；一维临界面 $S_A \sim \frac c3\ln L$；二维有能隙时面积律给 $S_A\propto L$，收缩代价涨到 $\chi^{10}$ 量级。真正破掉面积律前提的是费米面（$S_A\sim L\ln L$）与高激发态（体积律）。

理论方法与数值方法不是替代关系：平均场给出物理图像和出发点，数值方法负责判定图像对不对、在关键时刻给出精度。对强关联体系，计算机常常是唯一能下判断的”仪器”。

与 DFT 的区别与分治区间

密度泛函理论（DFT） 和本课程的强关联数值方法是两支互补的工具，服务不同的”分治区间”。

DFT（Kohn-Sham） 强关联数值方法（ED/DMRG/QMC/…）
基本变量 电子密度 $n(\mathbf r)$ 多体波函数 / 密度矩阵 / 配分函数
图像 把相互作用电子映射为无相互作用 Kohn-Sham 单粒子，交换关联泛函吸收多体效应 直接处理相互作用，不做单粒子化
适用对象 弱关联体系：简单金属、半导体、能带绝缘体、几何结构、声子等 强关联体系：Mott 绝缘体、高温超导、量子磁体、自旋液体
体系大小 $10^2\sim10^3$ 原子、周期体系 模型哈密顿量：ED $\sim20$ 格点，DMRG 一维数百格点，QMC 更大（但受符号问题限制）
强关联失效处 单粒子图像失效：如按能带论半满 Hubbard 是金属、实际是 Mott 绝缘体（NiO 计算给出零能隙、实验约 4 eV） 模型参数从哪来？需要第一性原理输入
输出 基态能量、电子结构、力与结构弛豫 基态波函数、谱函数、关联函数、相图、临界行为

分治区间的逻辑：

  • DFT 管”材料”：从第一性原理出发，算出真实材料（晶格、能带、费米面、弹性等），它牺牲了对强关联的精确描述，换来的是能处理真实的大体系；
  • 强关联数值方法管”模型”：把物理问题提炼成格点模型（Hubbard / Heisenberg / 横场 Ising），把相互作用精确地（或可控近似地）处理，换来的是抓住强关联现象本身，代价是体系小、且模型参数通常是唯象的；
  • 桥接：两者不是敌人，而是接口。常见路径有——
    • DFT+U：在 DFT 的单粒子框架里给局域轨道加在位库仑 $U$，用 Hubbard $U$ 修补强关联轨道；
    • DMFT：把晶格问题映射为自洽的量子杂质问题，用 DFT 输出晶格能带、用 QMC 解杂质，成为研究 Mott 转变的标准工具；
    • DFT 定模型、强关联方法解模型：用 Wannier 函数从 DFT 能带提取紧束缚/ Hubbard 参数，再交给 ED/DMRG/QMC 求强关联物理。

一句话总结：DFT 把相互作用电子问题降为单粒子问题（平均场的”精确化”），本课程的方法则直接面对多体波函数；前者管”真实材料 + 弱关联”，后者管”强关联 + 模型物理”，分治区间的分界线就是单粒子图像是否失效。

全局约定

全学期统一的约定（写代码时最容易出错的不是物理、是约定不一致）：

量 约定
单位 $\hbar = 1$，$k_B = 1$，晶格常数 $a = 1$；能量以耦合常数（$t$ 或 $J$）为单位
自旋算符 $S^\alpha = \frac12\sigma^\alpha$，$\sigma^z = \mathrm{diag}(1,-1)$
自旋基 $ !\uparrow\rangle = (1,0)^T$，$ !\downarrow\rangle = (0,1)^T$
张量积顺序 $ s_0s_1\cdots s_{N-1}\rangle = s_0\rangle\otimes s_1\rangle\otimes\cdots$，格点 0 在最左边
基矢整数标号 $n = \sum_i s_i\,2^{N-1-i}$（格点 0 是最高位）
费米子基 $ 0\rangle$ = 空，$ 1\rangle$ = 占据；自旋轨道按 $(1\uparrow, 1\downarrow, 2\uparrow, 2\downarrow, \ldots)$ 排序
傅里叶变换 $c_k = \frac{1}{\sqrt N}\sum_j e^{-ikj}c_j$，动量 $k = 2\pi n/N$
边界条件 除特别说明外为周期性边界

量子力学基础

态、叠加与内积

量子力学无非是简单的线性代数，只不过是在巨大的希尔伯特空间里——这才是困难所在。

  • 一个量子态就是一个复向量 $|\Psi\rangle$；两个波函数的内积 $\langle\Phi|\Psi\rangle$（$\langle\Phi| = |\Phi\rangle^\dagger$ 是共轭转置）是一个复数；
  • 一个可观测量就是一个矩阵；复合系统就是张量积；测量就是投影；时间演化就是酉变换；
  • 自旋-1/2 系统基矢是 $|!\uparrow\rangle$ 与 $|!\downarrow\rangle$，量子自旋可以处在任意复叠加态：归一化来自玻恩规则（测量 $S^z$ 得 $+\frac12$ 的概率是 $|\alpha|^2$）。例如指向 $+x$ 的自旋是 $|!\rightarrow\rangle = \frac1{\sqrt2}(|!\uparrow\rangle + |!\downarrow\rangle)$。
  • 整体相位不可观测：$|\Psi\rangle$ 与 $e^{i\varphi}|\Psi\rangle$ 是同一个物理态；但相对相位可观测，这正是量子干涉的来源（$|!\rightarrow\rangle$ 里的”+”号若换成”−”号就得到指向 $-x$ 的 $|!\leftarrow\rangle$）。
  • 几何图像：$\alpha,\beta$ 的四个实自由度扣掉归一化和整体相位，剩两个参数，正好把自旋指向球面某方向——Bloch 球。球面上每一点都是纯态。

把这一页的 $2\times2$ 矩阵当成 $2^N\times2^N$ 矩阵的”原型”：所有概念在单个自旋上都看得清楚，推广到多体只是把向量变长、把矩阵变大。

密度矩阵：纯态与混合态

除非实验上特意制备成纯态，自然界的量子系统很少是纯态，更常见的是概率性叠加。最一般的量子态用单位迹的密度矩阵 $\hat\rho$ 描述：

  • 纯态：$\hat\rho_{pure} = |\Psi\rangle\langle\Psi|$，满足 $\hat\rho^2 = \hat\rho$（秩 1 投影），纯度 $\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2 = 1$；
  • 混合态：$\hat\rho = \hat\rho^\dagger\geq0$、$\mathrm{Tr}\,\hat\rho=1$、$\hat\rho^2<\hat\rho$（一般 $\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2<1$）。

关键例子：把”沿 $+x$ 的纯态”和”50%/50% 的经典混合”并排写出来（$|0\rangle=|!\uparrow\rangle$，$|1\rangle=|!\downarrow\rangle$）：

它们的对角元完全相同（都是 $1/2,1/2$），差别只在非对角元。非对角元代表 $|!\uparrow\rangle$ 与 $|!\downarrow\rangle$ 之间的相干性，它产生干涉；丢掉非对角元（退相干）后剩下的是经典概率分布。两者是不同物理态，但只测 $S^z$ 时不可区分（都 50/50）；区别体现在别的方向：$\langle S^x\rangle$ 对 (A) 是 $+\frac12$、对 (B) 是 0；纯度 (A) 为 1、(B) 为 $1/2$。

易错：不要看到对角元是 $1/2,1/2$ 就以为一定是最大混合态——(A) 的对角元也是 $1/2,1/2$，但它是纯态。

混合态的两种物理来源：①制备知识不完备（统计系综，如 50% 概率制备 $|!\uparrow\rangle$、50% 概率制备 $|!\downarrow\rangle$）；②系统与环境纠缠、把环境自由度积掉（部分求迹）。第二种来源是本课程的主线之一：一个纯态的子系统的约化密度矩阵可以是混合态，这正是纠缠的定义。后面的测量过程、纠缠熵都建立在这个观点上。

测量过程

投影测量公设：把可观测量写成 $\hat A = \sum_a a\hat P_a$（$\hat P_a$ 投影到本征值 $a$ 的本征子空间），测量得到 $a$ 的概率是

测量之后态变成 $\hat P_a|\Psi\rangle/\sqrt{p_a}$。”非确定性”在概率 $p_a$ 里，”干扰性”在塌缩里。

标准例子：初态 $|!\uparrow\rangle$ 是 $S^z$ 本征态。用 $S^x$ 本征态展开 $|!\uparrow\rangle = \frac1{\sqrt2}(|!\rightarrow\rangle + |!\leftarrow\rangle)$，所以测 $S^x$ 总是 50/50。测得 $+\frac12$ 后态变成 $|!\rightarrow\rangle$，此时再测 $S^z$ 又变回 50/50——第一次测量把原有信息抹掉了。

用密度矩阵写（基矢取 $|!\uparrow\rangle,|!\downarrow\rangle$）：

第一步是”条件态”（知道结果），第二步”忘掉结果”= 对所有结果的概率加权求和。最后一步丢掉的是非对角元（相干性），留下对角元（概率）。如果结果被环境带走或没记录，”忘掉”是自动发生的——这就是退相干。测量真正留下的不可逆痕迹是混合度：忘掉结果后纯度从 1 掉到 1/2（冯·诺依曼熵从 0 涨到 $\ln2$），虽然 $\langle S^x\rangle$ 回到 0，但态已不是原来那个纯态。

期望值、热平衡与配分函数

如果不关心某一次测量的具体结果、只关心平均结果，期望值可以用波函数算 $\langle A\rangle = \langle\Psi|A|\Psi\rangle$，也可以用密度矩阵算

后一个公式是普遍定义（混态下 $\langle\Psi|A|\Psi\rangle$ 无从谈起）。

热平衡：在逆温 $\beta = 1/k_BT$ 下，量子系统的密度矩阵是

配分函数 $Z$ 是玻尔兹曼分布 $p_i = \frac1Z e^{-\beta E_i}$ 的量子推广（密度矩阵在对角基下的版本）。可观测量的热平均：

几个要点：

  • $T\to0$ 极限回到基态问题：$\beta\to\infty$ 时只有最低能级存活。所以”有限温度”并没有绕开本征值问题，只是给本征态加了权重；
  • $Z$ 本身也需要谱：$Z = \sum_n e^{-\beta E_n}$ 要遍历所有本征值。这正是有限温度计算（QMC）比基态计算更难的原因：QMC 用抽样代替显式求和；
  • 虚时间的预告：把 $e^{-\beta\hat H}$ 看成”在虚时间 $\tau = \beta$ 上做演化”：

因为激发态分量被 $e^{-(E_n-E_0)\tau}$ 压掉，收敛速度由能隙 $\Delta = E_1-E_0$ 决定。这一条思路几乎生成了本课程所有求基态的算法（Lanczos、DMRG、iTEBD、QMC、NQS）。

  • 实时间不行：$e^{-i\hat Ht}$ 是酉的，$\langle\hat H\rangle$ 严格守恒，”用实时间演化让态松弛到基态”行不通。这是求基态时最容易踩的坑之一。

薛定谔方程

波函数按含时薛定谔方程演化：

对定态（不含时）问题，代入拟设 $|\Psi(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|\Psi\rangle$，薛定谔方程化简为线性本征值问题：

分离变量这一步是亲手算一遍的：代入后 $i\hbar(-\frac{iE}{\hbar})|\Psi\rangle = \hat H|\Psi\rangle$，即 $E|\Psi\rangle = \hat H|\Psi\rangle$，$E$ 就是能量本征值。这样的态叫定态：唯一的含时部分是整体相位，而整体相位不可观测，所以一切可观测量的期望值都不随时间变化。

密度矩阵的演化方程（把 $\hat\rho = \sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ 求导，每个 $|\psi_i\rangle$ 按薛定谔方程演化）：

这是后面线性响应与谱函数论证的出发点。

二次量子化

占据数表象与产生/湮灭算符

对 $N$ 个自旋-1/2，”第 $i$ 个格点是上还是下”作基矢已经够用。但真实电子有两个自旋-1/2 系统不具备的性质：

  1. 粒子是全同的：$|!\uparrow\rangle_1|!\downarrow\rangle_2$ 与 $|!\downarrow\rangle_1|!\uparrow\rangle_2$ 不只是”重复”，而是必须相差一个负号。普通张量积做不到这件事；
  2. 粒子数可以不固定：带化学势的 Hubbard 模型、超导体、光电子发射实验里 $N$ 都会涨落；张量积空间的维数是固定的。

占据数表象：一个多体基态用”单粒子态 1 里有 $n_1$ 个粒子、态 2 里有 $n_2$ 个粒子……”来标记：$|n_1,n_2,n_3,\ldots\rangle$。

  • 玻色子：
  • 费米子：

其中 $\nu_\alpha = \sum_{\beta<\alpha}n_\beta$ 是”排在 $\alpha$ 前面的已占据轨道数”。

理解这些因子：

  • 玻色子的 $\sqrt{n}$ 因子来自归一化：$|n\rangle = \frac1{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^n|0\rangle$。这不是物理，是记账；
  • 费米子的 $(-1)^{\nu_\alpha}$ 因子就是物理：把粒子放进第 $\alpha$ 个槽位，必须跨过前面所有已占据的槽位，每跨过一个就出一个负号。这个因子是 Jordan–Wigner 变换里那个”非局域的 $z$ 串”的原型；
  • 两个 $|0\rangle$ 要分清（初学者最容易绊住的地方）：$|0\rangle$（也写作 $|vac\rangle$）是真空（没有粒子的态）；占据数 $n_\alpha = 0$ 表示”第 $\alpha$ 个轨道是空的”。本课程约定费米子基矢 $|1\rangle$ 是占据态 $(0,1)^T$——很多教材用相反约定，这是一个经典陷阱；
  • 占据数表象的维数：$M$ 个费米子自旋轨道张成 $2^M$ 维空间，固定粒子数 $N$ 的扇区维数是 $\binom{M}{N}$；玻色子可多重占据，维数无穷（实际计算要截断）。

对易/反对易关系

  • 玻色子：$[a^\dagger_\alpha,a^\dagger_\beta] = [a_\alpha,a_\beta] = 0$，$[a_\alpha,a^\dagger_\beta] = \delta_{\alpha\beta}$（$[A,B] = AB-BA$）。可以任意多次往同一个态里放粒子，$a^\dagger_1a^\dagger_1\neq0$。
  • 费米子：$\{c^\dagger_\alpha,c^\dagger_\beta\} = \{c_\alpha,c_\beta\} = 0$，$\{c_\alpha,c^\dagger_\beta\} = \delta_{\alpha\beta}$（$\{A,B\} = AB+BA$）。$c^\dagger_\alpha c^\dagger_\alpha = 0$：不能把两个费米子放进同一个态——泡利不相容原理不是额外加上的规则，它是从代数里自动长出来的。

符号规则，机械地执行：每当两个相邻产生算符交换一次顺序，就产生一个负号。例如：

费米子波函数只在排序约定下才有定义——这些写法之间差正负号，都”合法”，因为它们对应不同的算符排序。任何费米子代码都必须把轨道排序约定写死并贯穿始终：本课程统一按 $(1\uparrow, 1\downarrow, 2\uparrow, 2\downarrow, \ldots)$ 排序、按 $\alpha$ 递增顺序填充 $|n\rangle = (c^\dagger_1)^{n_1}(c^\dagger_2)^{n_2}\cdots|vac\rangle$，于是算符作用在第 $\alpha$ 个轨道上时自动乘上 $(-1)^{\text{排在 }\alpha\text{ 之前的已占据轨道数}}$。

数算符 $n_\alpha = c^\dagger_\alpha c_\alpha$ 在占据数基上是对角矩阵：$n_\alpha|n\rangle = n_\alpha|n\rangle$。

易错（三个符号约定，一个 bug）：

  1. 基矢约定：$|1\rangle$ 是占据态 $(0,1)^T$ 还是空态？（本课程：占据；很多教材相反。）
  2. 算符排序：两体项写 $c^\dagger_ic^\dagger_jc_kc_l$ 还是 $c^\dagger_ic_jc^\dagger_kc_l$？$j\neq k$ 时交换得负号；$j=k$ 时多出一个单体项 $c^\dagger_i(2n_j-1)c_l$（来自 $c_jc^\dagger_j = 1-n_j$）。
  3. 环上的边界条件：周期边界下”跨过边界”那一项带整条 $N-1$ 个格点的 $z$ 串，对横场 Ising 恰好把费米子分成两个扇区（偶数自旋宇称 → 反周期 / Neveu–Schwarz 动量；奇数 → 周期 / Ramond 动量）。取错扇区在 $N=8, g=1$ 处能量差约 1.9%——小到像有限尺度效应，却恰好出现在最需要精度的临界点。

实用建议：写一个检查代数而不是检查物理的测试，比如用恒等式 $c^\dagger_ic_j = a^\dagger_i\left(\prod_{i<k<j}z_k\right)a_j$ 做检验（$a,z$ 是 $\{0,1\}$ 的矩阵表示：$a = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$z = \mathrm{diag}(1,-1)$），它在对角化之前就能抓住上述三类错误。

张量积与指数墙

复合系统与积基：设系统 $A$ 处在 $|\psi_A\rangle = a_0|A_0\rangle + a_1|A_1\rangle$，系统 $B$ 处在 $|\psi_B\rangle = b_0|B_0\rangle + b_1|B_1\rangle$。复合系统的基是 $|C_{ij}\rangle = |A_i\rangle|B_j\rangle$（四个基矢），一般复合态：

把四个振幅排成 $2\times2$ 矩阵 $C = \begin{pmatrix}c_{00}&c_{01}\\c_{10}&c_{11}\end{pmatrix}$。积态与纠缠态的区别，就是这个矩阵的秩：

一般的复合态不能写成积态，秩大于 1，这就是纠缠。极端例子是 Bell 态 $\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$，其 $C$ 矩阵是 $\frac1{\sqrt2}\mathrm{diag}(1,1)$、秩为 2——虽然整体是纯态，但任何一边单独看都是最大混合态（各 50%）。这一页的 $c_{ij}$ 矩阵是后面 Schmidt 分解、SVD、MPS/DMRG 的原型：把前 $L$ 个格点的指标当行、其余当列，把态矢量 reshape 成矩阵。

算符的张量积：$(A\otimes B)(|\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle) = (A|\psi_A\rangle)\otimes(B|\psi_B\rangle)$，即”在 $A$ 那一半空间上作用 $A$、在 $B$ 那一半上作用 $B$”，互不干扰。单体算符嵌入多体空间：

（格点 0 在最左边。）两体算符同理，在两个位置放两个非常数矩阵。注意 $A\otimes B$ 与 $B\otimes A$ 不是同一个东西，顺序约定必须统一：格点 0 是最左边的因子。

指数墙（记住量级）：

$N$ $2^N$ 一个复态矢量（16 B/振幅） 稠密哈密顿量
10 $10^3$ 16 KB 16 MB
20 $10^6$ 16 MB 17.6 TB
30 $10^9$ 17 GB $10^{18}$ 个元素
40 $10^{12}$ 17.6 TB 不可能
50 $10^{15}$ 18 PB 不可能

两个结论：①存一个态矢量就已经越界（$N=40$ 是 17.6 TB）；②更不要说哈密顿量矩阵本身（$2^N\times2^N$，元素数随 $N$ 平方增长）。任何方法的第一步都是”永远不要真的构造哈密顿量的矩阵本体”，只保留矩阵-矢量乘法 $v\mapsto\hat Hv$ 的能力——Lanczos 方法就建立在这个能力上。

$2^{30}\approx10^9$ 是”笔记本还能勉强对付”和”必须换方法”的分界线。纯稠密对角化的尽头约在 $N=16$（$(2^{16})^2\approx4.3\times10^9$ 个元素、约 69 GB）；加上 $S^z=0$ 扇区和稀疏矩阵（Lanczos）上限推到 20 个格点以上。最便宜的加速是对称性：限制在 $S^z=0$ 扇区，维度从 $2^N$ 降到 $\binom{N}{N/2}\approx2^N\sqrt{2/(\pi N)}$，收益约 $\sqrt{\pi N/2}$ 倍（$N=40$ 时约 8 倍）——这只是多项式收益，救不了指数墙，但常常正好是你需要的那 5–8 倍。

格点模型

为什么是这三个模型

三个哈密顿量并列（全课程的主角）：

它们分别代表三类”相互作用导致的量子现象”，而且都极其简单、极其丰富，是量子多体物理的”果蝇”：

模型 自由度 相互作用 现象的典型代表
Hubbard 带自旋的费米子（电子） 在位库仑排斥 $U$ Mott 绝缘、金属-绝缘体转变、非常规超导
Heisenberg 局域自旋（量子磁体） 自旋-自旋交换 反铁磁有序、磁振子、自旋液体
横场 Ising 自旋-1/2（Ising 变量） $z$ 方向铁磁耦合 + $x$ 方向横场 量子相变、临界标度、临界淬火

共同前提：相互作用都是”格点上的局域项”——只连接近邻（或至少局域）。正是因为相互作用局域，哈密顿量矩阵才是稀疏的、张量网络才有自然的一维/二维几何结构、QMC 才有局域的更新。如果相互作用是全连接（随机矩阵、无穷维），这些方法全都失效。

三个容易踩的提醒：

  1. $S^\alpha = \frac12\sigma^\alpha$，所以”用 $\sigma$ 写的 TFIM”和”用 $S$ 写的 Heisenberg”耦合常数相差因子 4；比较不同文献的临界温度/能量时先看用的是哪个算符；
  2. $J<0$ 与 $j>0$ 物理完全不同（铁磁 vs 反铁磁），符号必须写清；
  3. 在二分格点上（一维链、二维方格子），$t>0$ 与 $t<0$ 只差一个规范变换（能带整体平移 $\pi$），对能量无影响；阻挫格子上不成立。跃迁项符号影响费米子代码里的负号，不要随便改。

Hubbard 模型

固体理论中极重要的模型，1963 年由 John Hubbard 提出（同年 Kanamori 和 Gutzwiller 各自独立给出相关结果），用来解释过渡金属氧化物中 $d$ 电子的强关联。

  • 第一项（跃迁项）：$c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma}$ 把一个自旋 $\sigma$ 的电子从格点 $j$ 移到格点 $i$；$t$ 是跃迁振幅，$\langle i,j\rangle$ 表示最近邻对（每对只算一次）。这一项单独存在时对角化即得紧束缚能带：带宽 $W = 4dt$（$d$ 为维度；二维方格 $W = 8t = 2zt$，$z=2d$ 为配位数）。
  • 第二项（在位项）：$n_{i\sigma} = c^\dagger_{i\sigma}c_{i\sigma}$ 是格点 $i$ 上自旋 $\sigma$ 的占据数；$U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}$ 只对同一个格点上同时有上下自旋的组态给能量 $U$——这是双占据的代价。$U>0$ 就是排斥。
  • 严格说还有一项 $-\mu\sum_{i\sigma}n_{i\sigma}$ 控制平均粒子数（化学势），幻灯片常省略。

简单与复杂：只有两个参数 $t$ 与 $U$（再加填充数），取 $t=1$ 为能量单位后整个模型就是一个参数 $U/t$。但一个参数 $U/t$ 就调度出金属、Mott 绝缘体、反铁磁、超导关联、条纹相等一系列相。

严格已知的部分：一维 Bethe ansatz 严格解（Lieb & Wu, 1968）；无穷维动力学平均场（DMFT）在 $d\to\infty$ 下精确；二维半满以外的掺杂区域至今是公认的困难问题，只有数值（QMC、ED、DMRG、DMFT+…）。

两个极限给出整个学科的骨架：

第二条的”$\to$”由二阶微扰给出 $J = 4t^2/U$（下一节展开）。

铜氧化物的数量级：常被引用的估计 $U/t\sim8$–$12$，对应 $J = 4t^2/U\sim0.3$–$0.5t$。取 $t\approx0.35$ eV、$U\approx10t$，得 $J\approx0.14$ eV，与 La$_2$CuO$_4$ 实验上 $J\approx128$ meV 相符。这说明 Hubbard 模型虽简单，却抓住了铜氧化物的低能物理——这也是它至今仍是本领域中心模型的原因。

半满且二分格点（如正方格子）上的排斥 Hubbard 模型不存在费米子符号问题，可以用 QMC 大规模计算；一旦离开半满或破坏二分性，符号问题立刻出现。这两句话是第 4 章的核心内容。

Hubbard 模型的能带结构与 Mott 绝缘体

① $U=0$：能带图像。哈密顿量对动量空间对角，$\varepsilon_k = -2t\sum_\delta\cos(\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta)$。二维方格子半满时，费米面恰好落在 van Hove 奇点上：费米面是（嵌套的）菱形，态密度在费米能处对数发散——金属。这是教科书能带论的结论，也是这一格子上反铁磁涨落特别强的能带层面原因。

② $U\gtrsim W$：关联劈裂。电子”想”跃迁，但每次跃迁的中间态若造成双占据就要付出能量 $U$。结果是谱函数原来的一整条能带分裂成两个哈伯德带：

下哈伯德带 上哈伯德带
物理来源 去掉一个电子（空穴）后的组态 加一个电子（双占据）后的组态
能量中心 $\approx -U/2$ $\approx +U/2$
占据情况（半满） 满 空

两个带之间的间隙约为 $U-W$，费米能落在带隙里 → 绝缘体。

③ 为什么叫”Mott 绝缘体”而不是”能带绝缘体”：能带绝缘体的机制是”能带被填满、有能隙”（如金刚石、硅）。而半满 Hubbard 模型按能带论应该是金属：能带有 $N$ 个电子、$2N$ 个态，费米面正好落在能带内。绝缘性完全来自电子-电子相互作用，这一机制由 Mott（1949）系统论述，历史线索可追到 1937 年 de Boer 与 Verwey 对 NiO 的讨论（NiO 实验有约 4 eV 能隙，单粒子能带计算给出零能隙）。Mott 因此分享了 1977 年诺贝尔物理学奖（与 P. W. Anderson、J. H. Van Vleck）。

④ 怎么在数值上”看见”它：两个标准诊断——单粒子谱函数 $A(\omega)$ 由单峰变成两个峰（上下哈伯德带）；双占据数 $D = \frac1N\sum_i\langle n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}\rangle$ 随 $U$ 增加按 $\sim(t/U)^2$ 下降。后者是”关联有多强”的最直接度量，可以在两格点模型上精确算。

易错：不要说”Mott 绝缘体是因为 $U$ 把能带劈开了”——劈开的是谱函数，劈裂幅度由 $U$ 与带宽 $W$ 共同决定；$U\gg W$ 时才有清晰带隙。中间地带 $U\sim W$ 才是最难的（也正是铜氧化物所在的地带）。

Heisenberg 模型

找到它的基态出人意料地困难，非常丰富、至今没有被完全理解的物理从中产生。

$J = 4t^2/U$ 怎么来（Schrieffer–Wolff / 二阶微扰）：取 $U\gg t$、每个格点恰好一个电子。单独的跃迁项会创建双占据（代价 $U$），不能出现在低能有效理论的一阶项里；二阶微扰给出

其中 $\hat{\mathcal P}$ 是投影到”每个格点恰好一个电子”的子空间。两格点复核给出 $\hat H_{eff} = \frac{4t^2}{U}(\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2 - \frac14)$，所以单态（$S=0$，$\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2 = -3/4$）比三重态（$S=1$，$+1/4$）低 $4t^2/U$——这就是反铁磁交换的来源：”跃迁省下的动能”使得反平行的两个自旋能虚跃迁，平行的不能。（若两个格点是不同子格此符号成立；同子格时交换积分可变号，Hund 耦合给出铁磁 $J<0$。）

三个算符表示的关系：

第一项对角的（经典能量），第二项翻转一对自旋（量子涨落）。

$J<0$（铁磁）：完全极化态 $|FM\rangle = |!\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\rangle$ 是 $\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j$ 每一项的本征态（每对 $+1/4$），所以是精确本征态，基态能量 $E_0 = \frac J4N_{bond}$。更一般的结论由Lieb–Mattis 定理给出：铁磁基态是一个完全对称化的最高权重态。所以”铁磁好算、反铁磁难算“。

$J>0$（反铁磁）：经典图像为什么失败：

  • 经典 Néel 态 $|\psi_{N\acute{e}el}\rangle = |!\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\cdots\rangle$ 不是本征态：$S^+_iS^-_j$ 项会把它变成别的组态；它也不是近似基态——用它算能量（归一化后作变分态）得每键 $-J/4$，而真实基态更低；
  • 一维链的严格量化对比：经典估计 $E/N = -0.25J$，Bethe ansatz 严格结果是

量子涨落把能量降低了 77%！二维方格子的 QMC 结果是 $E_0/N\approx-0.6694J$（经典 Néel 估计 $-0.5J$）。

  • Marshall 定理：在二分格子上，反铁磁 Heisenberg 模型的基态总自旋 $S_{tot} = 0$（推广：$S_{tot} = |S_A - S_B|$）。这给数值计算提供免费检验：$N$ 为偶数时基态应该是单态；
  • 为什么难：基态是 $2^N$ 维空间里大量 Néel 型组态（外加”翻转对”）的复杂叠加，不是任何一个简单组态。它同时是量子磁体、铜氧化物母体、量子自旋液体的出发点——这就是”出人意料地困难”的含义。

两格点是最小练习：$\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2$ 本征值只有 $-3/4$（单态）和 $+1/4$（三重态）。三格点的谱是 $\{-1,0,+\frac12\}$（含简并），见本讲附录。

更一般的 Heisenberg 模型与磁阻挫

如果更远的邻居之间 $J’$ 不可忽略，或者格点几何本身导致磁阻挫（magnetic frustration），就会产生更复杂的磁结构（自旋螺旋、非共线结构等）。一般哈密顿量：

  • $J_{ij}$ 从哪来：Hubbard 二阶微扰里 $J_{ij} = 4t^2_{ij}/U$，所以”更远的邻居有不可忽略的 $J’$”等价于”有不可忽略的次近邻跃迁 $t’$”。铜氧化物里 $t’$ 正是解释各种实验（自旋激发色散、赝能隙）的关键参数。更高阶微扰还会产生环形交换（ring exchange）等多体项。
  • 什么是阻挫：如果格子上存在奇数个顶点的闭环（如三角形），或竞争的 $J_1$（近邻）与 $J_2$（次近邻）符号相反/量级相当，那么”每条键都反平行”这个要求无法同时满足——即几何阻挫与交换阻挫。阻挫的代价很实在：经典基态巨简并，量子涨落把简并劈开，基态变成许多相互竞争组态的微妙叠加。

【配图】图 1.1：一系列磁结构示意。自旋链从左到右：铁磁（全同向）、Néel 反铁磁（相邻反向）、自旋螺旋（箭头沿链逐渐旋转）；以及人字形 canted（非共线）结构、层状螺旋序、螺旋传播轴示意。一句话：一旦 $J_{ij}$ 出现长程项、或格点几何阻挫，”共线的铁磁/反铁磁”就不再是全部可能，自旋可以在空间里以任意角度逐点旋转。

  • 经典螺旋的一个具体计算（三角格子，各向同性反铁磁）：设 $\mathbf{S}_i = (\cos\theta_i,\sin\theta_i,0)$、$\theta_i = \mathbf q\cdot\mathbf r_i$，键能量为 $J\cos(\mathbf q\cdot\boldsymbol\delta)$。对每个三角形求和得能量 $J(2\cos\varphi + \cos2\varphi)$，在 $\varphi = 2\pi/3$ 处取极小，每三角形能量 $-3J/2$，即 120° 非共线结构。注意三角格子上的 Néel 态（$\varphi=\pi$）连经典极小都不是。
  • 三个著名的阻挫模型：
    1. 三角格子反铁磁：经典 120° 序；量子版本有争议的”自旋液体/有序”竞争；
    2. Kagome 反铁磁：经典基态巨简并（每个格点有无穷多自由度），量子基态是量子自旋液体的最有力候选之一（ZnCu$_3$(OH)$_6$Cl$_2$ 等材料）；
    3. $J_1$–$J_2$ 方格子模型：$J_2/J_1\approx0.4$–$0.6$ 附近长期被讨论为自旋液体窗口，近年的高精度结果显示中间可能存在部分子化的 Dirac 自旋液体——当前仍活跃的争论。

谱学的实验语言：螺旋与非共线结构不会被 $\mathbf q = 0$ 的磁化探测到，而是通过中子散射在非共线波矢（$\mathbf q\neq0$ 或 $\mathbf q\neq(\pi,\pi)$）处的磁峰看到。”数值算出来、实验测出来”的对应，正是这门课强调的”理论与实验零距离”。

易错：阻挫经常直接造成 QMC 符号问题——阻挫不只是物理上更复杂，计算上也更难，甚至可能出现”经典能算、量子算不动”的局面。

横场 Ising 模型与量子相变

它是最简单的、又是严格可解的、具有量子相变的模型。相变点在 $g_c = 1$。

两个极限，一眼看懂竞争关系：

  • $g\to0$（弱横场）：$\hat H\to-J\sum_i\sigma^z_i\sigma^z_{i+1}$，两个简并基态 $|!\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\rangle$ 与 $|!\downarrow\downarrow\cdots\downarrow\rangle$，$Z_2$ 对称性自发破缺，序参量 $\langle\sigma^z\rangle = m_z\neq0$（有序相）；
  • $g\to\infty$（强横场）：$\hat H\to-Jg\sum_i\sigma^x_i$，唯一基态是所有自旋沿 $x$ 的 $|!\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\rangle$，$\langle\sigma^z\rangle = 0$（顺磁相）。

两股力量——横向场想沿 $x$ 极化，纵向耦合想保持 $z$ 方向有序——在 $g_c=1$ 处打平。

量子相变与严格解：量子相变是 $T=0$ 时改变哈密顿量参数所导致的相变。它与经典相变的区别：驱动相变的是量子涨落（而非热涨落），参数是被”调”出来的（压力、磁场、化学压力……）而非被”加热”出来的。有限温度下相变点展开成量子临界扇（quantum critical fan），扇形之外的物理由经典临界指数描述。严格解沿一维链做 Jordan–Wigner 变换把自旋变费米子，再经 Bogoliubov 变换对角化，得到：

在 $g=1$ 处 $k=0$ 的模变成零能（无能隙），此时基态能量：

$g=1$ 处 $k=0$ 模临界且 $1+1$ 维 Ising 普适类——这是量子相变的标尺模型。

格点模型的补充知识

下面补充几块讲义之外但常用的格点模型知识：

① 格点模型的”三兄弟”地位。Hubbard / Heisenberg / 横场 Ising 分别是”带电的费米子 + 在位库仑”、”局域自旋 + 交换”、”自旋 + 横场”的最小模型。它们的严格解（Lieb–Wu、Bethe ansatz、Jordan–Wigner）为数值方法提供了检验基准；它们的困难区域（二维、掺杂、阻挫）则是数值方法的主战场。

② $t$–$J$ 模型：$U\gg t$ 时 Hubbard 模型在”禁双占据”约束下化为

其中 $\tilde c_{i\sigma} = c_{i\sigma}(1-n_{i\bar\sigma})$ 是禁双占据的投影费米子。它是描述铜氧化物低能物理（掺杂反铁磁母体）的常用模型。

③ 二分格点、磁序与磁振子。方格子和一维链是二分格点（可分成 A/B 两个子格），其反铁磁 Heisenberg 模型的经典基态是 Néel 序。量子涨落之上产生磁振子（自旋波）：线性自旋波近似给出反铁磁磁振子色散 $\omega_k \propto |\sin k|$（一维）、$\omega_k\propto\sqrt{1-\gamma_k^2}$（方格子，$\gamma_k = \frac12(\cos k_x+\cos k_y)$），在 $k\to0$ 时线性（Goldstone 模）。Mermin–Wagner 定理说二维以下各向同性连续对称性不能自发破缺（非零温度），但 $T=0$ 的二维反铁磁 Heisenberg 模型有长程序（$S_A\propto L^2\ln L$ 面积律带对数修正）。

④ 量子自旋液体：阻挫可以完全抑制磁有序，基态没有局域序参量、没有对称性破缺，却可能具有拓扑序（拓扑纠缠熵 $\gamma$ 的普适常数修正）与分数化激发（自旋子/任意子）。这是本课程第 3 章张量网络与拓扑序的主题，也是 Kagome 与 $J_1$–$J_2$ 模型争论的核心。

⑤ 阻挫与符号问题：第 7 页的挑战清单里就写着——阻挫往往直接造成 QMC 符号问题。所以”无符号”是具体模型 + 具体算法的性质：玻色子通常无符号；半满、二分的格点上的排斥 Hubbard（如二维方格半满）无符号；离开这些条件立即出现符号问题。

⑥ 为什么”局域”如此重要。格点模型的全部方法都建立在”格点 + 局域相互作用”两个前提上：ED 依赖哈密顿量的稀疏性（Lanczos 只做矩阵-矢量乘法）、DMRG/MPS 依赖一维链的局域几何、QMC 依赖局域更新。全连接相互作用会让它们全部失效——这一点在选择模型与解释结果时值得时刻记住。

附：三格点 Heisenberg 自旋链的精确对角化

以下内容压缩自《三格点海森堡模型对角化.md》，保留全部推导要点与最终结果，删去了数值代码输出与对话记录。

模型：三个 $s=1/2$ 自旋构成的开链，仅相邻格点间有交换耦合：

约定：$\hbar=1$，$S^z|!\uparrow\rangle = +\frac12$，$S^z|!\downarrow\rangle = -\frac12$；$\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j = \frac12(S^+_iS^-_j + S^-_iS^+_j) + S^z_iS^z_j$；取 $J$ 为能量单位。

① 希尔伯特空间与基：$2^3 = 8$ 维。自然计算基（按 $|$第1格点$\rangle\otimes|$第2格点$\rangle\otimes|$第3格点$\rangle$）：

用矩阵直积构造单格点算符：$S^z_1 = S^z\otimes\mathbb{1}\otimes\mathbb{1}$，$S^-_2 = \mathbb{1}\otimes S^-\otimes\mathbb{1}$，$S^+_3 = \mathbb{1}\otimes\mathbb{1}\otimes S^+$。在此基下 $H/J$ 的 $8\times8$ 矩阵：

② 按 $S_z$ 分块：$[H,S^z_{tot}]=0$，分成四块：$S_z = \pm\frac32$（各 $1\times1$：$H|!\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = \frac J2|!\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$，$|!\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ 同理）；$S_z = \pm\frac12$（各 $3\times3$，互为镜像）。关键的 $3\times3$ 块：

③ 本征值与简并度：完整谱只有三个能级：

能量 简并度 所属总自旋多重态
$E = -J$ 2 $S=\frac12$ 双重态
$E = 0$ 2 $S=\frac12$ 双重态
$E = +\frac J2$ 4 $S=\frac32$ 四重态

$2+2+4 = 8$ ✓（维数守恒）。显式本征态：

  • $E=+\frac J2$、$S=\frac32$ 四重态（全对称）：$\frac1{\sqrt3}(|!\uparrow\uparrow\downarrow\rangle+|!\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|!\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)$、$\frac1{\sqrt3}(|!\uparrow\downarrow\downarrow\rangle+|!\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|!\downarrow\downarrow\uparrow\rangle)$、$|!\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$、$|!\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$；
  • $E=0$、$S=\frac12$ 双重态（两端自旋反对称结合，$\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_3 = -\frac34$）：$\frac1{\sqrt2}(|!\uparrow\uparrow\downarrow\rangle-|!\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)$、$\frac1{\sqrt2}(|!\uparrow\downarrow\downarrow\rangle-|!\downarrow\downarrow\uparrow\rangle)$；
  • $E=-J$、$S=\frac12$ 双重态（基态）：

④ 基态能量与简并度：

对反铁磁 $J>0$，基态是最低能级 $E=-J$，为 $S=\frac12$ 双重态（$S_z=\pm\frac12$）。（对铁磁 $J<0$ 基态翻转为 $S=\frac32$ 四重态，$E_0 = +\frac{|J|}2$。）

物理图像：中间自旋 $S_2$ 同时与 $S_1$、$S_3$ 成键，两个键”争夺”同一个自旋、不能同时饱和 → 几何阻挫。因此 $E=-J$（单键饱和能）小于两键平均的组合，基态不是 $S=0$ 而是 $S=\frac12$，且双重简并。

⑤ 基态的 $\langle\hat S^2_{tot}\rangle$：

解析论证：$\hat S^2_{tot} = 3\cdot\frac34 + 2(\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_3+\mathbf{S}_2\cdot\mathbf{S}_3)$。由于 $[H,\mathbf{S}_{tot}]=0$，本征态可按总自旋 $S$ 标记；$E=-J$ 能级简并度为 2，恰是 $S=\frac12$ 双重态的两个 $S_z$ 分量，其中 $\hat S^2_{tot} = S(S+1)\mathbb{1} = \frac34\mathbb{1}$，因此基态子空间内任意归一化态都有 $\langle\hat S^2_{tot}\rangle = \frac34$。

直接验算（以 $|\psi_0^+\rangle$ 为例）：$\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2$ 对基态三个组态的作用给出 $\langle\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2\rangle = \frac16(\frac14\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-\frac54)\cdot1) = -\frac12$；同理 $\langle\mathbf{S}_2\cdot\mathbf{S}_3\rangle = -\frac12$（注意两端 $S_1,S_3$ 无直接耦合，$\langle\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_3\rangle = +\frac14$ 来自态自身的纠缠结构）。三者之和 $-\frac34$，于是 $\langle\hat S^2_{tot}\rangle = \frac94 + 2(-\frac34) = \frac34$。交叉验证：$\langle H\rangle/J = \langle\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2\rangle + \langle\mathbf{S}_2\cdot\mathbf{S}_3\rangle = -1$，正是基态能 $E_0 = -J$。

总结：最小非平凡自旋链的谱由 $\{-J, 0, +\frac J2\}$ 三能级构成（简并度 $\{2,2,4\}$），基态 $E_0=-J$ 双重简并（$S=\frac12$），$\langle\hat S^2_{tot}\rangle_{gs} = \frac34$。阻挫导致基态自旋 $S=\frac12$ 而非 $S=0$。这一结果同时可作为 Heisenberg 模型数值代码的最小检验基准（两格点谱 $\{-\frac34, +\frac14\}$、三格点谱 $\{-1,0,+\frac12\}$）。