磁性理论催生自旋作为新的自由度，所以本章将介绍磁性材料中的自旋波激发以及自旋相关输运的基本理论。

自旋波

Heisenberg模型

外斯分子场理论虽然能很好地解释铁磁性，但它是一个唯象模型，无法解释原子间相互作用的本质。人们最初以为，磁矩之间的磁相互作用是分子场的来源，但计算表明，磁偶极子之间的相互作用太弱，无法解释铁磁性。量子力学的发展使我们认识到，电子的交换相互作用才是磁性的重要来源：

$\begin{aligned} U&=-2J\vec{S}_i\cdot \vec{S}_j\\ &=-J\left[(\vec{S}_i+ \vec{S}_j)^2-\vec{S}_i^2-\vec{S}_j^2\right]\\ &=\begin{cases} -J(2-\frac{3}{4}-\frac{3}{4})\hbar^2,\quad \uparrow\uparrow\\ -J(0-\frac{3}{4}-\frac{3}{4})\hbar^2,\quad \uparrow\downarrow \end{cases}\\ &=\begin{cases} -\frac12J\hbar^2,\quad \uparrow\uparrow\\ \frac32J\hbar^2,\quad \uparrow\downarrow \end{cases} \end{aligned}$

Heisenberg提出了Heisenberg模型来描述这种相互作用：

$H=-2\sum_{i<j}J_{ij}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j}=-\sum_{i,j}J_{ij}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j}$

一般来说，Heisenberg模型指的是考虑各向同性的最近邻交换相互作用：

$H=-J\sum_{\langle i,j\rangle}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j}$

其具有以下变体：

各向异性的Heisenberg模型： $H=-\sum_{\langle i,j\rangle}\left(J_xS_i^xS_j^x+J_yS_i^yS_j^y+J_zS_i^zS_j^z\right)$
Ising模型（$J_x=J_y=0$）： $H=-J\sum_{\langle i,j\rangle}S_i^zS_j^z$
XY模型（$J_z=0,J_x=J_y=J_\perp$）： $H=-J_\perp\sum_{\langle i,j\rangle}\left(S_i^xS_j^x+S_i^yS_j^y\right)=-\frac{J_\perp}{2}\sum_{\langle i,j\rangle}\left(S_i^+S_j^-+S_i^-S_j^+\right)$

Stoner模型

如何判断一个金属是铁磁性还是顺磁性？我们可以使用Stoner模型。考虑外场下的无自发磁化的系统，由于外场的作用，顺磁态的能量较低，这导致部分逆磁态电子跃迁到顺磁态，系统能量降低为：

$\begin{aligned} \Delta E&=\delta N\times \delta E\\ &=\left[\frac12 N(E_F)\mu_BB\right]\times \delta E\\ &=-\frac12N(E_F)(\delta E)^2<0\\ &(\delta E=-\mu_BB<0) \end{aligned}$

对于没有外场的情况，如果一个系统想要发生自发磁化，那么上述过程是逆过来的，也就是说系统的能量是增加的。为了解释铁磁性，Stoner引入交换相互作用，这样反转的电子会有一个降低的势能。我们引入一个简单的海森堡模型：

$H=U\sum_{i}n_\uparrow n_\downarrow(U>0)$

考虑平均场：

$\begin{aligned} n_\uparrow n_\downarrow&= \langle n_\uparrow\rangle n_\downarrow+n_\uparrow\langle n_\downarrow\rangle-\langle n_\uparrow\rangle\langle n_\downarrow\rangle+\delta_\uparrow\delta_\downarrow\\ &\approx \langle n_\uparrow\rangle n_\downarrow+n_\uparrow\langle n_\downarrow\rangle-\langle n_\uparrow\rangle\langle n_\downarrow\rangle \end{aligned}$

考虑：

$\langle n_\uparrow\rangle -\langle n_\downarrow\rangle=2\delta N$ $\langle n_\uparrow\rangle +\langle n_\downarrow\rangle= N$

解得：

$\langle n_\uparrow\rangle=\frac{N+2\delta N}{2}$ $\langle n_\downarrow\rangle=\frac{N-2\delta N}{2}$

代入海森堡模型：

$\begin{aligned} H&=U\sum_{i}\left[\frac{N+2\delta N}{2}n_\downarrow+n_\uparrow\frac{N-2\delta N}{2}-\frac{(N+2\delta N)(N-2\delta N)}{4}\right]\\ &=U\sum_{i}\left[\frac{N^2}{2}-2(\delta N)^2-\frac{N^2}{4}+(\delta N)^2\right]\\ &=U\sum_{i}\left[\frac{N^2}{4}-(\delta N)^2\right] \end{aligned}$

相比于$\delta N=0$的情况，能量的变化为：

$\Delta E=-U\sum_{i}(\delta N)^2\to \Delta E=-\frac U4N(E_F)^2(\delta E)^2$

所以发生自发磁化的条件为：

$\Delta E=\left[\frac12N(E_F)-\frac U4N(E_F)^2\right](\delta E)^2<0\Rightarrow UN(E_F)>2$

这就是Stoner判据。其物理意义在于，如果电子交换作用$U$和态密度$N(E_F)$占据主导地位，那么电子跃迁到顺磁态形成的外场导致的势能下降会大于电子跃迁能带上的能量增加。

但是以上理论是基于能带的。对于稀土金属的$4f$电子，其被$5s^2p^6d^{10}6s^2$屏蔽，所以不允许直接交换作用。Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida提出$4f$电子是完全局域的，但$6s$电子是游动的，可以作为传导电子。$4f$电子和$6s$电子可以发生交换作用，使$6s$电子极化，进而对另一个地方的$4f$电子自旋取向产生影响。

铁磁自旋波

尽管外斯的分子平均场理论很好解释了$TT_C$时的顺磁性，但它忽略了自旋涨落的影响，这导致其对低温磁化和临界点附近的行为是预测不准的。更详细地说，如果使用外斯理论计算低温下的磁化强度，会发现：

$M(T)=M(0)B_{1/2}(x)\approx M(0)\tanh x$ $\frac{\Delta M}{M(0)}=1-\tanh x\approx 2e^{-2x}\sim e^{-b/T}$

这说明当温度趋近于0时，磁化强度的变化是指数趋于饱和的。但实验事实表明，磁化强度的变化呈现布洛赫$T^{3/2}$幂律：

$\frac{\Delta M}{M(0)}\sim T^{3/2}$

这不是一个陌生的现象。还记得我们在晶格动力学中讨论的爱因斯坦模型和德拜模型吗？其实分别对应了光学支声子和声学支声子：

爱因斯坦模型将光学支声子的频率视为常数，从而导致了能隙激发——一个声子想要被激发，必须获得一定的能量。这样算出的热容就是指数形式的；

德拜模型考虑了声学支声子，频率随着波矢线性增加，这是一种无能隙激发模式。这样算出的热容就是幂律形式的。

所以我们可以合理猜测，导致外斯理论失败的原因是忽略了自旋波这种无能隙激发模式。如何产生无能隙激发模式呢？依旧回想声子的产生——如果仅是一个粒子的振动，肯定是需要能量的；但声子作为一种集体激发的准粒子，当$\vec{k}=0$的时候对应整体平移，是不需要消耗能量的。同样的道理，单个自旋的翻转需要消耗$8JS^2\hbar^2$的能量，但是如果是集体的自旋波激发，当波矢$\vec{k}\to 0$时，对应整体自旋的转动，是不需要能量的。

这其实隐含了戈德斯通定理：在自发对称性破缺的系统中，总会存在无能隙的激发模式。声子对应的是平移对称性的破缺，自旋波对应的是自旋旋转对称性的破缺。

认识到自旋波之后，下一步就是计算自旋波的色散关系，或者说相邻自旋之间的相互作用。我们写出heisenberg模型的哈密顿量：

$H=-J\sum_{\langle i,j\rangle}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j}$

利用海森堡运动方程：

$\begin{aligned} i\hbar\frac{d\vec{S}_i}{dt}&=[\vec{S}_i,H]\\ &=-J\sum_{\langle i,j\rangle}[\vec{S}_i,\vec{S_i}\cdot\vec{S_j}]\\ \end{aligned}$

仅考虑一维的最近邻相互作用：

$\begin{aligned} i\hbar\frac{d\vec{S}_i}{dt}&=-J\left([\vec{S}_i,\vec{S}_i\cdot\vec{S}_{i+1}]+[\vec{S}_i,\vec{S}_i\cdot\vec{S}_{i-1}]\right)\\ \end{aligned}$ $\Rightarrow\begin{cases} i\hbar\dfrac{dS^x_i}{dt}=-J\left([S^x_i,S^y_iS^y_{i-1}]+[S^x_i,S^y_iS^y_{i+1}]+[S^x_i,S^z_iS^z_{i-1}]+[S^x_i,S^z_iS^z_{i+1}]\right)\\\\ i\hbar\dfrac{dS^y_i}{dt}=-J\left([S^y_i,S^x_iS^x_{i-1}]+[S^y_i,S^x_iS^x_{i+1}]+[S^y_i,S^z_iS^z_{i-1}]+[S^y_i,S^z_iS^z_{i+1}]\right)\\\\ i\hbar\dfrac{dS^z_i}{dt}=-J\left([S^z_i,S^x_iS^x_{i-1}]+[S^z_i,S^x_iS^x_{i+1}]+[S^z_i,S^y_iS^y_{i-1}]+[S^z_i,S^y_iS^y_{i+1}]\right) \end{cases}$ $\Rightarrow\begin{cases} \dfrac{dS^x_i}{dt}=-J\left[S^z_i\left(S^y_{i-1}+S^y_{i+1}\right)-S^y_i\left(S^z_{i-1}+S^z_{i+1}\right)\right]\\\\ \dfrac{dS^y_i}{dt}=-J\left[S^x_i\left(S^z_{i-1}+S^z_{i+1}\right)-S^z_i\left(S^x_{i-1}+S^x_{i+1}\right)\right]\\\\ \dfrac{dS^z_i}{dt}=-J\left[S^y_i\left(S^x_{i-1}+S^x_{i+1}\right)-S^x_i\left(S^y_{i-1}+S^y_{i+1}\right)\right] \end{cases}$

在低温条件下，假设自旋主要沿$z$方向取向，即$S^z_i\approx \hbar S,\quad S^x_i,S^y_i\ll S$，则可以将上述方程线性化：

$\Rightarrow\begin{cases} \dfrac{dS^x_i}{dt}=J\hbar S\left(2S^y_i-S^y_{i-1}-S^y_{i+1}\right)\\\\ \dfrac{dS^y_i}{dt}=-J\hbar S\left(2S^x_i-S^x_{i-1}-S^x_{i+1}\right)\\\\ \dfrac{dS^z_i}{dt}=0 \end{cases}$

可以发现这个方程组和声子格波的方程$m\ddot{u}_l=\beta(u_{l+1}+u_{l-1}-2u_l)$很接近了，我们假设自旋波的解也是格波：

$\begin{cases} S^x_i=u e^{i(qla-\omega t)}\\ S^y_i=v e^{i(qla-\omega t)} \end{cases}$

代入得到：

$\begin{cases} -i\omega u=2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right]v\\ -i\omega v=-2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right]u \end{cases}$

方程有解的条件是行列式为0：

$\begin{vmatrix} -i\omega & -2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right]\\ 2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right] & -i\omega \end{vmatrix}=0$

解得：

$\omega=2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right]$

与晶格动力学中声子的色散关系相比，可以发现：

一维声子色散关系： $\omega^2=\frac{2\beta}{m}\left[1-\cos(qa)\right]$

一维自旋波色散关系： $\omega=2J\hbar S\left[1-\cos(qa)\right]$ 可以看到两者形式非常相似，区别在于声子是经典牛顿方程，位移对时间二阶导；而自旋波源于薛定谔方程，角动量对时间一阶导。此事在反常扩散中亦有记载。

反铁磁自旋波

同样需要分两种原子讨论$S^z_i\approx \hbar S,\quad S^x_i,S^y_i\ll S$，结合前面得到的$v=ue^{-i\pi/2}=-iu$：

$\begin{cases} -i\omega u_A=2J\hbar S\left[v_A-\cos(qa)v_B\right]=-2iJ\hbar S\left[u_A-\cos(qa)u_B\right]\\ -i\omega u_B=-2J\hbar S\left[v_B-\cos(qa)v_A\right]=2iJ\hbar S\left[u_B-\cos(qa)u_A\right] \end{cases}$

解行列式：

$\begin{vmatrix} -i\omega+2iJ\hbar S & -2iJ\hbar S\cos(qa)\\ 2iJ\hbar S\cos(qa) & -i\omega-2iJ\hbar S \end{vmatrix}=0$

解得：

$\omega=2J\hbar S\sqrt{1-\cos^2(qa)}=2J\hbar S|\sin(qa)|$

自旋相关输运

电子是电荷的载体，同时也是自旋的载体。至今为止，我们讨论电子的输运问题的时候，都只考虑电荷的输运，而忽略了自旋的输运。此时，我们认为电子是非自旋极化的，即自旋向上和自旋向下的电子数目相等。近些年发展的磁性材料让我们意识到，由于磁性金属是自旋极化的，电子的自旋输运会对整体的输运性质产生重要影响。自旋相关输运是自旋电子学的基础内容之一。

电子自旋隧穿电导与MRAM

电子隧穿电导

考虑一个金属隧道结，即两个金属电极中间被很薄的绝缘层分开的三明治结构：

在一维定态问题中，我们曾解出有限高方势垒的隧穿概率：

$T=|\dfrac{E}{A}|^2=\dfrac{1}{\frac14(\frac{k_1}{k_2}+ \frac{k_2}{k_1})^2\sinh^2{k_2d}+1}$

考虑厚势垒$k_2d\gg 1$的情况，有$\sinh^2{k_2d}\approx \frac{1}{4}e^{2k_2d}$：

$T\approx 16\frac{k_1^2k_2^2}{(k_1^2+k_2^2)^2}e^{-2k_2d}$

代入$k_1^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2},\quad k_2^2=\dfrac{2m(\phi-E)}{\hbar^2}$，得到：

$T\approx 16\frac{E(\phi-E)}{\phi^2}\exp{\left[-\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2m(\phi-E)}\right]}$

此时如果不加偏压，两个电极的费米面相等，电子从M1隧穿到M2的概率和从M2隧穿到M1的概率相等，净电流为0。

如果加上一个偏压$V$，则电子在两侧的能量分别为$E$和$E-eV$，此时可以直接写出隧穿电流的积分表达式：

$\begin{aligned} I(V)&=(-e)\int N_1(E)f(E)N_2(E-eV)[1-f(E-eV)]T(E)dE \\ &-(-e)\int N_2(E-eV)f(E-eV)N_1(E)[1-f(E)]T(E)dE\\ &=(-e)\int N_1(E)N_2(E-eV)[f(E)-f(E-eV)]T(E)dE \\ \end{aligned}$

在低偏压条件$eV \ll E_F$下，费米分布函数的差分近似为：

$f(E)-f(E-eV)\approx eV\left(-\dfrac{\partial f}{\partial E}\right)\approx -eV\delta(E-E_F)$ $I(V)=e^2VN_1(E_F)N_2(E_F)T(E_F)$

显然，在低偏压条件下，隧穿电流与偏压成正比，符合欧姆定律。

电子自旋隧穿电导

对于磁性金属电极，由于自旋向上和自旋向下的电子数目不相等，隧穿电流也会受到自旋极化的影响。我们定义自旋极化为：

$P=\dfrac{N_\uparrow(E_F)-N_\downarrow(E_F)}{N_\uparrow(E_F)+N_\downarrow(E_F)}$

在低偏压下，由无自旋电子隧穿电导的计算方法，我们可以得到自旋极化金属隧道结的隧穿电导，根据磁性金属的磁化方向分为平行磁化和反平行磁化：

$\begin{cases} I_P(V)=e^2VT(E_F)\left[N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)\right]\\ I_A(V)=e^2VT(E_F)\left[N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)\right] \end{cases}$

进而定义电阻：

$\begin{cases} R_P=\dfrac{V}{I_P}=\dfrac{1}{e^2T(E_F)\left[N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)\right]}\\ R_A=\dfrac{V}{I_A}=\dfrac{1}{e^2T(E_F)\left[N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)\right]} \end{cases}$

通过示意图可以很直观的了解到，反磁化平行的电阻$R_A$要大于平行的电阻$R_P$，这是因为反磁化平行（以图中为例）自旋向下的电子在M1中占多数，但在M2中只有少数空态能让其占据，所以隧穿的电子更少。

磁性隧道结这种依赖磁化状态的电阻变化称为隧道磁电阻（Tunneling Magnetoresistance, TMR）：

$\begin{aligned} \mathrm{TMR}&=\dfrac{R_A - R_P}{R_P}=\dfrac{I_P - I_A}{I_A}\\ &=\dfrac{N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)-N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)-N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)}{N_{1\uparrow}(E_F)N_{2\downarrow}(E_F)+N_{1\downarrow}(E_F)N_{2\uparrow}(E_F)}\\ &=\frac{2P_1P_2}{1-P_1P_2} \end{aligned}$

自旋阀结构

利用磁性隧道结的磁电阻依赖磁电机的磁化状态这一性质，可以设计出电阻对外场敏感的自旋阀结构（Spin Valve），用于磁存储器件中。最简单的自旋阀是由两种矫顽力不同（$H_1<H_2$）的磁电极构成的，由于矫顽力不同，当外场$H_1<H<H_2$时，产生的反平行磁化大于通常的平行磁化电阻，进而表现为电阻的突变。这种性能是随机存储器件MRAM（Magnetoresistive Random Access Memory）的基础。

实际应用中，通常会在矫顽力较大的部分下沉积一层反铁磁层，来固定其磁化方向，从而提高自旋阀的稳定性。