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超导的历史 Ginzburg-Landau 理论 U(1) 对称性与规范不变性 U(1) 的自发破缺 电动力学 电磁响应与 London 方程 Meissner 效应 临界磁场：第一类与第二类超导体 超导的历史超导于 1911 年被荷兰物理学家卡末林·昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes）发现：用他发明的液氦低温技术把汞冷却到 4.2 K 以下时，固态汞的电阻骤降到零。这开启了低温物理领域。1933 年发现 Meissner 效应：超导体完全排斥磁场。它随后被伦敦兄弟（Fritz & Heinz London）用超流响应假设（London 方程）解释。1950 年金兹堡和朗道提出了较为系统的超导唯象理论。1957 年，在发现超导近半个世纪后，Bardeen、Cooper 和 Schrieffer 找到了以吸引相互作用的电子为基础的微观理论——BCS 理论。 【配图】图 8.0.1：超导的历史时间线：1911 年 Hg（$T_c=4.2$ K，Onnes）→ 1933/1935 年 London 方程与 Meissner 效应 → 1950 年 Gi ...

对称性的两种含义 场论：Z₂ 对称的 φ⁴ 模型 Ising 模型 平均场理论 序参量与自发对称性破缺 临界点附近的行为 涨落 高斯涨落与关联长度 SSB 的严格定义：长程有序 水与冰、顺磁与铁磁——物态及其相变在生活中无处不在，它们随温度相互转化。20 世纪 30 年代，朗道建议用对称性区分不同物态，并提出了用状态的自发对称性破缺（SSB）描述二级相变的范式。结合 1950 年超导的 Ginzburg-Landau 理论和 1970 年代 Wilson 等人系统发展的重整化群方法，构成了理解二级相变的 Landau-Ginzburg-Wilson 范式。本节按教学顺序（而非历史顺序）介绍，重点关注离散对称性破缺的相变。 对称性的两种含义体系的对称性指它在某种变换下保持不变。要注意区分两种”对称性”： 状态的对称性：例如完美圆盘旋转若干角度后不变； 理论的对称性：例如世界的哈密顿量绕某点旋转所有东西若干角度后不变。 数学上，理论的对称变换可表示为其自由度的变换。若作用量在此变换下不变，则该理论（经典或量子）具有此对称性。在量子理论的算符语言中，对称变换常表示为酉（或 ...

从唯象到微观 电磁响应 密度-密度响应：极化函数 自由极限：Lindhard 函数 介电函数与屏蔽 电流-电流响应：光学电导率 等离子体激元 单粒子性质 Hartree-Fock 近似及其病态 GW 近似 一般准粒子性质 杂质散射 这一讲引入费米液体的微观图像，它是理解凝聚态物理中绝大多数体系（超导、电荷/自旋序、量子霍尔、非费米液体等）的基础，可以说是本课程的中心。虽然推导使用格林函数语言，但大多数定性现象都可以用图像和语言理解。 从唯象到微观电子液体的很多性质可以通过其电荷密度和电流对电磁场的线性响应揭示出来。介电函数、电导率等熟悉量都包含在电磁线性响应张量中。要得到电磁线性响应函数（如密度对外势的响应），只需计算虚时序格林函数 $-\langle T\hat\rho(\tau)\hat\rho(0)\rangle$ 并解析延拓到实频。 与外电磁场耦合的清洁电子液体哈密顿量为： H = \int dr\,\psi^\dagger(r)\left[\frac{1}{2m}\left(\hat p - \frac{e}{c}A\right)^2 - \mu + e\phi ...

微扰论要做什么 正则形式（虚时间） Wick 定理 图解微扰 费曼图的基本规则 频率-动量域 玻色子介导的相互作用 连通图与真空图的相消 Dyson 重求和与自能 多点函数 生成泛函 路径积分 实时间路径积分 相干态路径积分与格拉斯曼数 虚时间路径积分 格林函数与生成泛函的路径积分 路径积分语言下的微扰论 微扰论要做什么多费米子/玻色子体系的典型哈密顿量为： H = H_0 + V = \sum_{k\sigma}\xi_{k\sigma}c^\dagger_{k\sigma}c_{k\sigma} + \frac12\sum_{k_1\sigma_1,k_2\sigma_2,q}V_q\,c^\dagger_{k_1-q\sigma_1}c^\dagger_{k_2+q\sigma_2}c_{k_2\sigma_2}c_{k_1\sigma_1}其中 $\xi_{k\sigma} = \varepsilon_{k\sigma}-\mu$ 是相对化学势的单粒子能量。自由体系 $H_0$ 的格林函数很容易求，但有相互作用 $V$ 时格林函数几乎不可能精确计算。常规做法是 ...

为什么要学格林函数 实时间格林函数 六种两点格林函数 自由粒子的格林函数 Lehmann 表示 谱函数 推迟格林函数就是响应函数 虚时间格林函数 Matsubara 格林函数与虚时周期性 解析延拓到推迟格林函数 在凝聚态、统计与高能物理中，格林函数（Green’s function）是计算物理量的常用工具。首先，格林函数——尤其是推迟格林函数——直接与实验可观测量（如电导率）相联系。有经验的科研人员能直接从中读出体系的物理行为，”谱权重”、”自能”等术语已成为研究者交流的标准语言。其次，它为对相互作用和无序做微扰提供了方便的平台。经典教材见 Altland & Simons、Coleman、Mahan。 实时间格林函数典型的两点关联函数形如： C(t_1,t_2) = \langle\hat{A}(t_1)\hat{B}(t_2)\rangle = \mathrm{Tr}\left[\hat{\rho}\hat{A}(t_1)\hat{B}(t_2)\right]其中 $\langle\cdot\rangle = \mathrm{Tr}(\hat{\rho}\,\ ...

相互作用的费米子与费米液体思想 费米海中粒子的寿命 准粒子 绝热对应 准粒子图像何时成立 朗道能量泛函与朗道参数 零温情形 非零温度 相互作用对热力学量的修正 比热 电荷磁化率 自旋磁化率与 Stoner 失稳 一般多极失稳：Pomeranchuk 失稳 有效质量与 F₁ᵈ：伽利略不变性 中性费米液体中的集体模式 无碰撞区：零声 上一讲我们讲了自由费米气体：无相互作用时，基态是填满的费米海，激发是一目了然的粒子、空穴。但真实体系有相互作用。这一讲介绍朗道（Landau）1956 年提出的费米液体理论——一种把强相互作用的费米子系统用费米气体的语言来理解的唯象理论。它描述了 $^3\text{He}$ 和几乎所有已知金属中的电子系统，是量子多体理论的基石之一。 相互作用的费米子与费米液体思想典型的相互作用费米子哈密顿量是： H = H_0 + V_{ee} = \sum_{k\sigma}\varepsilon_{k\sigma}c^\dagger_{k\sigma}c_{k\sigma} + \sum_{k_1\sigma_1,k_2\sigma_2,q} V_q ...

统计物理基础 微正则、正则与巨正则系综 从统计物理到多体物理 自由费米气体 哈密顿量与费米海 费米动量与粒子密度的关系 激发的图像 热力学性质 1. 比热 2. 熵 3. 电荷磁化率 4. 自旋磁化率：泡利顺磁 相互作用会带来什么？ 上一讲我们建立了描述多体系统的语言（第二量子化）。这一讲我们来”练兵”：先用统计物理的框架（系综、密度矩阵）描述宏观体系的平衡性质，然后研究量子多体物理最基本的出发点——自由费米气体（Fermi gas），建立起”费米海 + 激发”的图像，并计算它的热力学性质。 统计物理基础由于多体问题，我们无法对一个大体系的精确微观状态做预测。幸好，我们可以对其统计性质做出预测，即压强、热容、电导率这类热力学量。这一节只是快速回顾，如果哪里不清楚，请翻经典统计物理教材的相应章节。 微正则、正则与巨正则系综微正则系综（孤立体系，固定能量 $E$）：统计物理的基本假设是——如果我们只关心一个处于”平衡”的典型孤立大体系的统计性质，那么它就等价于对所有具有相同能量的微观态求平均。满足这个性质的体系称为遍历的（ergodic）。在量子力学的语言里，平衡孤立体系等 ...

经典多体问题 相空间与运动方程 混沌：计算上的绝路 量子多体问题 希尔伯特空间之爆炸 为什么量子问题是线性的 全同粒子与第二量子化 三种”量子化” 从置换对称到 Fock 空间 玻色子的产生湮灭算符 费米子的产生湮灭算符 单体算符的第二量子化 两体算符的第二量子化 宏观物体由数目极其庞大的粒子构成，比如一杯水里有 $N\sim 10^{23}$ 个相互作用的分子。要描述这样的体系，我们面临的第一个困难就是”多”——自由度太多了，我们根本不可能（也没有必要）跟踪每一个粒子的运动。这一讲我们先看清楚多体问题到底难在哪里，然后介绍描述多体系统最趁手的语言：第二量子化。 经典多体问题相空间与运动方程在经典力学的哈密顿体系中，我们用每个粒子的坐标和动量 $(q_i, p_i),\ i=1,2,\cdots,N$ 来描述运动，这些量称为体系的自由度。一个 $N \sim 10^{23}$ 粒子体系的状态，就是 $2N$ 维相空间中的一个点。 【配图】图 1.1.1：经典相空间示意图。横轴为坐标 $q$、纵轴为动量 $p$，画出一维（或二维）情形的相空间，体系中每个粒子的状态是其中 ...

本课程为研究生课程”量子多体物理”（Quantum Many-Body Physics）。这门课的目标是建立起费米液体（Fermi liquid）以及与之紧密相关的物态（包括常规超导）的基本图像。参考讲义为课程提供的 Lecture Notes，部分章节可参考经典教材（如 Altland & Simons 的 Condensed Matter Field Theory）。 学完这门课你不会立刻成为专家，但应当具备凝聚态物理思考者的基本能力，以及阅读相关经典专著的能力。学习物理最有效的方式是思考那些微妙的问题，而不是死记硬背形式主义或术语。可以多问 AI，但不要轻信它的答案，要独立思考、敢于挑战。 量子多体物理01 多体问题（The Many-Body Problem） 01 多体问题 经典/量子多体问题的困难（相空间与希尔伯特空间的指数墙、混沌），全同粒子与第二量子化（Fock 空间、玻色/费米产生湮灭算符、单体/两体算符）。 02 统计物理与费米气体（Statistical Physics and The Fermi Gas） 02 统计物理与费米气体 统计物理三个系 ...

符号约定 引言：被遗忘的设计轴 一阶优化器：从SGD到动量 自适应时代：AdaGrad、RMSProp、Adam与AdamW Lion：程序搜出来的极简主义 看图说话：为什么需要预条件 矩阵优化器：Shampoo、SOAP与Muon 代码实验：病态峡谷里的五强争霸 统一视角：预条件的阶梯 冷静一下：独立基准的真实账 成绩单：水与CDP的正面对决 稀疏监督下的分水岭 结语 参考 符号约定本章公式密集，符号统一约定如下，供随时查阅。 基本量 符号 含义 $w$ 参数向量 $\nabla\mathcal{L}(w)$ 梯度（不另设简写） $\eta$ 学习率 $\mathcal{L}$ 损失函数 $H$ Hessian 矩阵 $\nabla^2\mathcal{L}$ $\lambda_i$ $H$ 的第 $i$ 个特征值（下标区分于权重衰减 $\lambda$） $\kappa=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ 条件数 $\mu$ 动量系数（heavy-ball） $d$ 参数空间维度 $\sigma$ 梯 ...