小径

本专栏主要参考Philips的《细胞的生物物理学》。坦诚地说，我不认为这本书的架构对于物理专业的学生是友善的，因为这本书将各个模型打散，进而适应不同阶段的物理水平看上去很散乱。在这个专栏里面，我尽量将上课讲到的模型进行了统一的整理（事实上我们的老师也是这么做的）。 生物物理的主要内容为利用物理知识（尤其是热统的知识）来构建模型，进而解释生物现象。次要知识为生物的实验方法和概念。本专栏聚焦于模型的构建。 生命系统的空间和时间尺度 基础的数理化知识 平衡态模型 动力学模型 生物网络

Classic Scattering Theory Differential Cross Section Rigid Sphere Scattering Rutherford Scattering Quamtum Scattering Theory Scattering Amplitude Green Function Method Operator Form Optical Theorem Example: Square Well Example: Yukawa Potential Classic Scattering TheoryDifferential Cross Section 微分散射截面定义为： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}其中$d\sigma$是单位立体角$d\Omega$内的散射截面。显然，微分散射截面是一个碰撞参数$b$或角度$\theta$的函数。其中： d\sigma =4\pi bdb,d\Omega=4\pi \sin\theta d\theta所以： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Om ...

WKB Approximation From Schrödinger Equation From hbar expansion Tunneling Connection Formulas in Crossing Area Sommerfeld Quantum Condition Example WKB近似是由Wentzel, Kramers和Brillouin三位科学家提出的，用于求解量子力学中的一维定态薛定谔方程（对于三维薛定谔方程的径向部分也是有帮助的）近似解的技术。其基本思想是，如果势能是一个常数，那么波函数可以写为正弦波动形式： \psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\quad k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}事实上，只要是势能变化不剧烈的部分，WKB近似就可以很好地应用。 如何衡量势能的变化程度呢？可以与波长$\lambda=\frac{2\pi}{k}$进行比较。当势能的变化范围远小于波长时，WKB近似是有效的。 对于能量小于势能的解，有类似的形式： \psi(x)=Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa ...

Time-dependent Problem Interaction Picture Example: Nuclear Magnetic Resonance Time-dependet Perturbation Dyson Series Transition Probability Constant Perturbation Zero Order First Order Second Order Harmonic Perturbation Expotential Decay Perturbation-Energy Shift and Decay Width First Order Second Order Lamb Shift Time-dependent Problem从一阶微扰可以知道： |n^1\rangle=\sum_k c_k|k\rangle随时间的演化： |n^1(t)\rangle=\sum_k c_ke^{-\frac{iE_kt}{\hbar}}|k\rangle当我们考虑和哈密顿量和时间相关的时候 |n^1(t)\rangle=\sum_k c ...

相空间和刘维尔定理 系综理论 微正则系综 等概率原理 微正则系综的热力学公式 单原子经典理想气体 爱因斯坦的固体热容理论 正则系综 正则系综的热力学公式 正则系综的便利性 正则系综和微正则系综的联系 实际气体 德拜的固体热容理论 巨正则系综 吸附现象 点吸附（0维吸附） 朗缪尔等温式 两个极限与半覆盖斜率 面吸附（2维吸附） 面吸附为什么不饱和 补上站点约束：二维格子气 多层吸附的接口 巨配分函数的形式与简化条件 表格 两种计算语言 相空间和刘维尔定理最概然分布的方法处理近独立的粒子，但是不能处理有强相互作用的粒子，这时候就要请出平衡态统计物理的普遍理论——系综理论。 在经典力学中，N个全同粒子（每个粒子的自由度为r）的总自由度为$f=Nr$。那么可以通过广义坐标$q_i,i=1,\cdots,f$和广义动量$p_i,i=1,\cdots,f$构成2f维度的相空间。系统的运动状态由哈密顿正砸方程决定，即 \frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partia ...

热力学统计量表达式 弱简并理想玻色气体和费米气体 三种简并度的近似处理 玻色-爱因斯坦凝聚（强简并） 热辐射和光子气体 瑞利-金斯公式 维恩公式 普朗克公式 金属中的自由电子气体（强简并） 为什么“数态”就够：费米能与化学势的区别 强简并体现在哪：能用阶跃代替费米分布的精度 费米能与化学势的区别 简并压 满足定域或非简并条件的粒子系统可以采用玻尔兹曼统计，而不满足非简并条件的系统，需要用玻色-爱因斯坦统计或费米-狄拉克统计处理。 不满足非简并条件的气体叫做简并气体。不同于理想气体，简并气体不满足定域条件。尽管气体之间的距离更大，但是气体粒子本身的波包尺度也更大。同样的道理，固体虽然原子之间间距小，但是波包更小，是定域系统。 粒子的简并情况也有所区别。判据是简并参数——单粒子的热波体积$\lambda^3$与每粒子平均占据体积$1/n$之比： z=e^{-\alpha}=e^{\beta\mu}=n\lambda^3=\frac NV\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)^{\frac32}其中$\lambda=\frac{h}{\sq ...

热力学量的统计表达 配分函数 两种等价的算法 热力学宏观量 粒子数 内能 广义作用力 热量和熵 自由能 能均分定理 对理想气体的应用与讨论 理想气体的热力学量 理想气体物态方程 理想气体的内能 理想气体的熵 理想气体的化学势 麦克斯韦速度分布 压强公式 双原子气体的内能和热容 平动能 振动能 转动能 经典和量子对比 多原子气体的内能和热容 线形三原子分子：CO2 非线形三原子分子：H2O 固体热容的爱因斯坦理论 顺磁性固体 对于量子系统，满足定域条件（可分辨）或经典极限条件（$e^{\alpha}\gg1,\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1$）时，可以用玻尔兹曼统计处理。 热力学量的统计表达配分函数对于一个系统，其单原子配分函数定义为（这里的下标1表示单原子）： Z_1=\sum_{l}\omega_le^{-\beta \epsilon_l}我们将在 系综理论 中看到，单原子配分函数其实和正则系综的系统配分函数有着密切的联系，正是因为三大统计分布研究的是几乎无相互作用的体系，我们才能从单原子配分函数开始研究。 两种等价的算法在往下走之前，先 ...

统计力学简史 系统微观运动状态的描述 自由粒子的态密度 1、2、3 维的态密度 态密度与热波长 相空间因子与势场 盒子语言与幂次 系统统计状态的描述 分布和微观状态 玻尔兹曼系统 玻色系统 费米系统 非简并条件 三大统计分布 玻尔兹曼分布 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克分布 统计力学简史从这一节开始，我们使用统计的方法看待物理问题。一开始的时候，物理学家倾向于从微观世界导出宏观统计量（比如克劳修斯导出压强公式$P=\frac13 nm \bar{v^2}$，当然，在麦克斯韦公式修正之前，克劳修斯用的是平均速率的平方），这是基于纯力学的原理。接着，麦克斯韦从概率的角度推导出了气体分子速率公式。至此为止，所有的初级统计理论被称为气体分子运动学，以区分后面的统计热力学。 玻尔兹曼在麦克斯韦公式的基础上，进行了推广，得到了麦克斯韦-玻尔兹曼分布（这也是我们即将讨论的内容）。可惜的是，这一分布只适用于近独立子系（该节标题的来源）。吉布斯突破了这一限制，其系综理论后续启发了玻色研究理想光子气体，并得到了爱因斯坦的赞赏（他后续预言了玻色-爱因斯坦凝聚，这或许是玻色-爱因斯坦分布 ...

Time-independet Perturbation Non-degenerate Perturbation First Order Theory Second Order Theory Degenerate Perturbation Two-fold Degenerate Problem 对角化 非简并微扰 简并微扰 Example Stark Effect Quadratic Stark Effect Linear Stark Effect Fine Structure Relative Movement Correction Spin-Orbit Coupling Zeeman Effect Normal Zeeman Effect Weak-Field Zeeman Effect Strong-Field Zeeman Effect Quadradic Zeeman Effect Van der Waals Interaction Variantional Method Helium Atom Hydrogen Molecular Ion ...

多元系的热力学函数和热力学方程 多元复相系的热力学函数和热力学方程 多元系的复相平衡条件 单相化学平衡条件 混合理想气体的性质 理想气体的化学平衡 均匀配比的平衡常量 电离度 热力学第三定律 多元复相系指的是拥有多种组元且至少有一个组元存在多种相的系统。在这样一个系统里面，组元之间会发生化学反应，不同相间会存在复相平衡。我们要研究的就是多元系中的复相平衡和化学平衡。 多元系的热力学函数和热力学方程广延量是一些广延量的一次齐函数，而强度量则是广延量的另次齐函数。选取多元系的$T,p,n_1,\cdots,n_k$为状态参量我们可以写出： \begin{cases}V&=V(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\U&=U(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\S&=S(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\\end{cases}由欧拉定理可知： \begin{cases}V=\sum_i{n_i(\frac{\partial V}{\partial n_i})_{T,p,n_i}}=\sum_i{n_iv_i}\\U=\sum_i{n_i(\frac{\partial ...