小径

在经典力学中，我们通过类比动量，我们可以推广得到角动量。然而，更深层次的理解需要结合群论和对称性规律来阐释，这也是为什么起这个标题的原因。 转动和角动量对易 有限转动和无穷小转动 量子力学的无穷小转动 群论和李代数 群的基本概念 二维群 O(2) Group SO(2) Group U(1) Group 三维群 SO(3) Group U(2) Group SU(2) Group 自旋1/2系统与有限转动 基本作用力和对称性 基本作用力 对称性 对称性和简并度 对称性和守恒律 氢原子的四维旋转对称 宇称对称性 宇称算符的本征态 自发对称性破缺 宇称选择定则 时间反演对称性 经典力学的时间反演 量子力学的时间反演 时间反演算符 时间反演算符的性质 内积 算符 波函数 有自旋波函数 转动和角动量对易有限转动和无穷小转动我们在之前的学习就知道有限转动是不对易的，这意味着先进行哪个操作影响最后的结果。 我们可以写出有限转动的转动矩阵： R_x(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ ...

写在前面 题型了解和时间安排 阅读 听力 口语 写作 综合写作 学术写作/独立写作 练习和真题使用 个人经验 硬件软件准备 单词 阅读 听力 口语 写作 考场实地 lz借助源友&小红书&b站的经验，未报班备考一个多月后还算顺利在10/27首考考出了比较满意的成绩，于此记录。 非常有用的回答和网站如下： 水源：非SJTU的同学可能需要其他校友帮助访问； 小红书-不爱酸苦辣：超级厉害的博主，口语照着她练的； 留星网：129买一个真题网站，甚至可以从真题入手练习（100套短期备考做不完）； B站-Vince9120：超级厉害的UP，其阅读听力口语写作都可以看看，尤其是写作； B站-吴奇老师的托口秀：口语真题的简单范例，不难但是很有用； 考拉托福小程序：口语AI评分和修改； Lingoleap：口语和写作AI评分和修改。 以下从题型了解、练习与真题使用、个人经验、考场实地来阐述。 写在前面 本人BG：四级650+，六级597，均有一定准备但是不多。如果是SJTU的同学还可以参考我的大英三四EPT72分，在交大不算很高。词汇停留在高考+六级词汇+一定的托福词汇 ...

阅读注意最后一题不选细节。 听力放松，做笔记以提醒，当作平时听课。 口语万能理由 TimeI prefer to … , because I think … can save a lot of time in my daily life. As we all know, time is so important in these days. We can do more things and learn more skills if we can be efficient, which can be ensured by … . MoneyI prefer to … , because I think … can save a lot of money in mydaily life. As we all know, money is so important in these days. If we can save money, we can do more things and learn more skils with the limited amount of money. ...

Personality 主题 语料 Independence Developing self-reliance fosters a sense of responsibility and resilience. It prepares them for more significant challenges, such as academic pursuits and social interactions.Independent children are more likely to adapt to new environments, like starting school or making new friends. Television PositiveTV documentaries can broaden our horizons by exposing us to different cultures and histories.Television fosters a sense of community and strengthen our soc ...

建Blog有感 预备软件 Node.js Git 注册你的Github账号 Git配置 Hexo的安装 下载Hexo 本地建站 基本命令 清理生成的静态文件 生成静态文件 启动本地服务器预览站点 部署到远程服务器 新建文章 Butterfly美化 不同电脑的同步 hexo的安装和配置教程已经很多了，但在照着安装的过程中仍然遇到了很多困难。笔者基于网络的教程进行更新和补充（顺便教教小学弟）。 建Blog有感笔者经历了从手写笔记、平板笔记一直到电脑本地用$\LaTeX$做笔记的阶段，尽管平板笔记解决了手写笔记不容易更改和整理（并且字不好看）的问题，电脑本地笔记又解决了平板笔记不方便保存和转移的问题，$\LaTeX$本身也是极为繁琐的，而Blog本身托管到Github的同时，解决了分享的问题。 阮一峰在博客中写到： 喜欢写 Blog 的人，会经历三个阶段。 第一阶段，刚接触 Blog，觉得很新鲜，试着选择一个免费空间来写。 第二阶段，发现免费空间限制太多，就自己购买域名和空间，搭建独立博客。 第三阶段，觉得独立博客的管理太麻烦，最好在保留控制权的前提下，让别人来管，自己只负 ...

我们曾在 多电子原子 中讨论过类似的定性问题。现在我们用更加定量的语言描述角动量耦合。 角动量耦合角动量之和两个电子自旋的状态可以描述为角动量相加$\hat J=\hat j_1+\hat j_2$，简单验证可知其也是角动量： [\hat J_x,\hat J_y]=[\hat j_{1x}+\hat j_{2x},\hat j_{1y}+\hat j_{2y}]=i\hbar \hat J_z角动量的描述描述角动量之和有两种方式（两种基底）： $|j_1,j_2,m_1,m_2\rangle=|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle$ 即为非耦合基底； $|j_1,j_2,J,m\rangle$ 即为耦合基底。 我们先来验证这两种表示方式的合理性（即这四个物理量是否守恒且互相对易，构成一组CSCO）： 对于非耦合基底，显然：$[\hat{j}^2_1,\hat{j}^2_2]=0,[\hat{j}^2_1,\hat{j}_{1z}]=0,[\hat{j}^2_1,\hat{j}_{2z}]=0,[\hat{j}^2_2,\hat{j}_{1z}]=0,[\h ...

薛定谔绘景 定态和叠加态 自旋的进动 中微子振荡 海森堡绘景 海森堡运动方程 自由运动的粒子 Ehrenfest定理 简谐振子和相干态 谐振子 简谐振子动力学 相干态 位置表象 粒子数算符 幅值算符和相位算符 朗道能级 经典理论 半经典量子理论 简并 态密度 量子化霍尔电导 规范变换 标势的规范变换 矢势的规范变换 更一般的情况 态矢量的幺正变换 薛定谔方程的规范不变性 概率和概率流密度的规范不变性 AB效应 几何相位 绝热近似 例子：无限深势阱边界的移动 例子：自旋1/2的磁矩 量子几何 经典度规 量子度规 薛定谔绘景薛定谔方程描述了量子态随时间的演化： \mathrm{i}\hbar\frac\partial{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle或者使用时间演化算符$\hat{U}(t)=\exp[-\dfrac{it}{\hbar}\hat{H}]$表示为： |\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle代入时间演化算符，可以获得简洁一般（不要求哈密顿 ...

单元系的单相平衡条件（热动平衡判据） 单元复相系的热力学基本方程 单元系的复相平衡条件 复相平衡的性质 相变平衡曲线 超临界点和等温线 相变的分类 临界现象和朗道连续相变理论 单元系的单相平衡条件（热动平衡判据）热力学第二定律指出，孤立系统的熵朝着增加的方向进行，如果孤立系统处于稳定平衡态，其熵一定是极大值： \delta S=0, \delta^2 S0,(\dfrac{\partial p}{\partial V})_{T}0,(\dfrac{\partial p}{\partial V})_{T}

s=1/2自旋 磁场中自旋的演化 拉莫尔进动 拉比振荡 Stern-Gerlach 实验发现过去的三个量子数并不能完全的描述氢原子的状态，促使物理学家引入了新的物理量——自旋角动量。 自旋依赖于粒子的种类。由于自旋角动量也是角动量，其取值满足角动量的规则。其中半整数$s=\frac12,\frac32,\cdots$的粒子为费米子，整数$s=0,1,\cdots$的粒子为玻色子。 承接之前角动量一节的内容，这里给出$\hat{S_\pm}$的矩阵表示： $s=0$，$\hat{S_\pm}=0$； $s=\frac12$，$\hat{S_+}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\hbar$，$\hat{S_-}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\hbar$； $s=1$，$\hat{S_+}=\begin{pmatrix}0&\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{2}\\0&0&0\end{pmatrix}\hba ...

必要的数学知识偏微分关系 倒易关系：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z(\dfrac{\partial y}{\partial x})_z=1$ 循环关系：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z(\dfrac{\partial y}{\partial z})_x(\dfrac{\partial z}{\partial x})_y=-1$ 复合关系1：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_w(\dfrac{\partial y}{\partial z})_w=(\dfrac{\partial x}{\partial z})_w$ 复合关系2：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_w=(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z+(\dfrac{\partial x}{\partial z})_y(\dfrac{\partial z}{\partial y})_w$ Proof:设$f(x,y,z)=0$，则 (\dfrac{\parti ...