超导概论

超导的历史与低温技术的历史密不可分。低温技术以温度降低的顺序排列如下：

液氧： 90 K
液氮： 77 K
液氢： 20 K
液氦： 4.2 K

1911年，荷兰物理学家Kamerlingh Onnes在用液氦冷却汞时，发现汞的电阻在温度降低到4.2 K时突然降为零，这一现象被称为超导现象。一直到1986年，超导停留在BCS理论描述的常规超导，温区也在液氢附近徘徊。

2001年，简单金属化合物$MgB_2$被发现具有高达39K的超导转变温度，并且无法通过施加高压和元素替代的方法进一步超越40K，这也是通常所说的BCS超导体的麦克米兰极限。

1986年，J.G. Bednorz和K. A. Muller发现钙钛矿结构的铜氧化合物$La_{2-x}Ba_xCuO_4$具有35K的超导转变温度。通过替换$Ba$元素，可以将温度提高到40K以上。1987年，吴茂昆与朱经武团队和赵忠贤团队分别独立发现了$YBa_2Cu_3O_{7-\delta}$（简称YBCO）在约93K时发生超导转变。至此，超导温区突破了液氧和液氮温度。

关于铜基超导，可以列表如下：

$La_{2-x}Ba_xCuO_4$（LBCO）：35K

$YBa_2Cu_3O_{7-\delta}$（YBCO）：93K

$HgBa_2Ca_2Cu_3O_9$（HBCCO）：135K，高压下可达164K

高压下的HBCCO也是目前铜基超导体的最高纪录。

铜基超导的瓶颈促使科学家寻找新型的非常规超导体系。2008年，铁基超导材料$La[O_{1-x}F_x]FeAs$被发现，具有26K的超导转变温度。通过替换$La$元素，可以将温度提高到55K，超越麦克米兰极限。虽然铁基超导的转变温度低于铜基超导，但它们相似的特征有助于进一步认识高温超导的微观机制。

超导温度

超导体的基本物理性质

超导电性的普遍性

超导电性普遍存在元素周期表的许多金属元素中，也出现在合金、金属间化合物和掺杂半导体中，且化合物的超导转变温度通常高于纯元素。探索超导电性的困难除了在于极低的温度，还在于从样品中去除外来顺磁性元素。金、银、铜目前尚未发现超导电性，磁性元素也不会超导。

尽管铁是磁性元素，但在高压下转变为无磁性的结构，从而表现出超导电性。

单质超导

超导体的输运性质

对于金属环，诱导出的电流随时间衰减：

$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}$

其中$R$为电阻，$L$为电感。当温度降低到超导转变温度$T_c$以下时，电阻$R$降为零，电流$I(t)$将不再衰减，表现出超导电性的零电阻特性。

零电阻严格意义上是指直流电阻为零，但交流电阻并非完全为零。

此外，当超导电流超过临界电流时，超导电性将被破坏，材料恢复为正常导体状态。

超导体的磁学性质

临界磁场

足够强的磁场会破坏超导电性，但这种过程是一种可逆过程。使超导体失去超导电性的临界磁场$H_c$随温度升高而降低，且在$T_c$时为零。对于I类超导体，临界磁场与温度的关系可表示为：

$H_c(T) = H_c(0)\left[1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^2\right]$

对于第II类超导体，存在两个临界磁场$H_{c1}$和$H_{c2}$，当外加磁场小于$H_{c1}$时，超导体表现出完全抗磁性；当外加磁场大于$H_{c2}$时，超导体恢复为正常导体状态；当外加磁场介于$H_{c1}$和$H_{c2}$之间时，超导体处于混合态，磁场以磁通线的形式进入，且磁通量是量子磁通$\Phi_0=\frac{h}{2e}$的整数倍。

迈斯纳效应

超导体在发现后的很长时间内被视为拥有零电阻的理想导体。如果真是这样的话，那么根据麦克斯韦方程，超导体内部的磁感应强度不随时间变化，这意味着超导态不唯一：

先加磁场$H<H_c(0)$，再降温至超导转变温度之下，超导体内部磁感应强度为$H$；
先降温至超导转变温度之下，后加磁场$H<H_c(0)$，超导体内部磁感应强度为0。

然而，W. Meissner和R. Ochsenfeld在1933年的实验表明，超导体在降温过程中会将内部的磁感应强度排斥出去，这一现象被称为迈斯纳效应。因此，超导体不仅表现出零电阻特性，还表现出完全抗磁性。与麦克斯韦方程的矛盾会在伦敦方程中得到解决。

超导体的热学性质

超导态相比正常态的有序程度高，熵较低，这意味着其在临界温度的时候存在导数突变，也就意味着比热的突变。实验表明，超导体的比热在$T_c$处存在明显的跳跃，且低温下的比热随温度的降低迅速减小，呈现指数下降，这意味着载流子的激发谱中存在能隙。

超导比热

同位素效应

同种材料的转变温度与材料组元的同位素质量呈现幂律关系：

$T_c \propto M^{-\alpha}$

其中$\alpha$为同位素指数，理论上对于常规超导体，$\alpha=0.5$。同位素效应表明晶格振动参与了超导态的相变，这对于超导机制的研究具有重要意义。

超导电性的物理机制

超导电性的微观机制在1957年由Bardeen、Cooper和Schrieffer提出的BCS理论得到了系统的描述。BCS理论的核心思想是：电子在晶格中移动时会吸引邻近格点上的正电荷，导致格点的局部畸变，形成一个局域的高正电荷区。这个局域的高正电荷区会吸引自旋相反的电子和原来的电子以一定的结合能相结合配对。在很低的温度下，这个结合能可能高于晶格原子振动的能量，从而使自由电子态转变为电子配对的超导态。两个电子形成一个复合的玻色子，因而可以表现出类似玻色-爱因斯坦凝聚的现象，形成超导电性。

库珀对

电子配对态

从这里开始就是瞎写了。

为了简单起见，考虑两个全同费米子在相互作用势下的本征值问题：

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_1^2+\nabla_2^2)+V(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\right]\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=E\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$

引入中心坐标$\mathbf{R}=\frac{\mathbf{r}_1+\mathbf{r}_2}{2}$和相对坐标$\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$，并设$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\Phi(\mathbf{R})\chi(\mathbf{r})$，则上式可分离为：

$-\frac{\hbar^2}{4m}\nabla_R^2\Phi(\mathbf{R})=E_{cm}\Phi(\mathbf{R})$ $\left[-\frac{\hbar^2}{m}\nabla_r^2+V(\mathbf{r})\right]\chi(\mathbf{r})=E_{rel}\chi(\mathbf{r})$

其中$E=E_{cm}+E_{rel}$。

不考虑质心运动，我们只需要求解相对运动方程。在平面波分解下：

$\chi(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{k}}c_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$

得到：

$\left(\frac{\hbar^2k^2}{m}-E_{rel}\right)c_{\mathbf{k}}+\sum_{\mathbf{k}'}V(\mathbf{k}-\mathbf{k}')c_{\mathbf{k}'}=0$

求和变积分：

$\left(\frac{\hbar^2k^2}{m}-E_{rel}\right)c_{\mathbf{k}}+\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3k' V(\mathbf{k}-\mathbf{k}')c_{\mathbf{k}'}=0$

相互作用势是球对称的，所以通过球谐函数分解为径向和角向部分：

$V(\mathbf{k}-\mathbf{k}')=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)V_l(k,k')P_l(\cos\theta)$

化简得到各个角动量下的方程：

$\left(\frac{\hbar^2k^2}{m}-E_{rel}\right)c_{\mathbf{k},l}+\frac{4\pi}{(2\pi)^3}\int k'^2dk' V_l(k,k')c_{\mathbf{k}',l}=0$

在费米海背景中，电子的波矢在费米波矢附近，假设相互作用势为简化的方势：

$V_l(k,k')=\begin{cases}-V_l &k_F-\delta k\leq k,k'\leq k_F+\delta k\\ 0 & \text{else}\end{cases}$

则方程化简为：

$\left(\frac{\hbar^2k^2}{m}-E_{rel}\right)c_{\mathbf{k},l}=+\frac12 V_lN(E_F)\int_0^{\hbar^2k_F\delta k/m}c_{\mathbf{k}',l}dE(k')$

可以得到能量本征值的表达式：

$E_l=-2\hbar^2k_F\delta k/m \exp\left(-\frac{4}{V_lN(E_F)}\right)$

可以看到，当相互作用势$V_l$为吸引势时，能量本征值为负值，说明在费米海背景中，两个电子可以形成束缚态，这就是库珀对的形成机制。

麦克米兰公式

根据BCS理论可以推导出弱耦合情况下的麦克米兰公式：

$T_c = \frac{\Theta_D}{1.45}\exp\left[-\frac{1.04(1+\lambda)}{\lambda-\mu^*(1+0.62\lambda)}\right]$

其中$\Theta_D$为德拜温度，$\lambda$为电子-声子耦合常数，$\mu^*$为有效库伦排斥常数。$\lambda=1.5$是强弱耦合的临界，代入这个数值，可以得到最大超导转变温度：

$T_c^{max} \approx 39K$

约瑟夫森效应

…