有心力

质点所受力的作用线如果始终通过一个定点，那么称这种力为有心力。这个定点称为力心。显然，如果该力是一个保守力，则对应的势场是各向同性的。

两体问题的简化

对于两个质点通过相互作用力约束在一起的问题，通过柯尼希定理，可知：

$T=T_{c}+T_{r}$

其中 $T_{c}$ 是质点的质心动能，$T_{r}$ 是质点相对于质心的动能。

通过质点系动能定理，可知$T_c$是一个常数。展开$T_r$，有：

$\begin{aligned} T_{r} &= \frac{1}{2} m_{1} v_1^2 + \frac{1}{2} m_{2} v_2^2 \\ &= \frac{1}{2} m_{1} \left(\frac{m_2}{m_1+m_2}v\right)^2 + \frac{1}{2} m_{2}\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}v\right)^2 \\ &=\frac12 \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2\\ &=\frac{1}{2} \mu v^2 \end{aligned}$

其中，$v$ 是相对速度，$\mu$ 是约化质量。这样，我们就把两体问题转化为一个单体在有心力作用下运动的问题。下面统一用$m$代替$\mu$。

有心力场下的运动方程

在有心力场中，质点的拉格朗日函数为：

$L = T - V = \frac{1}{2} m \left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)$

通过拉格朗日方程，得到：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0\Rightarrow m\ddot{r} - m r \dot{\theta}^2 + \frac{dV}{dr} = 0$ $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(mr^2\dot{\theta}\right)= 0\Rightarrow mr^2\dot{\theta}= l$

第二个方程正是角动量守恒的结果。代入第一个方程消去 $\dot{\theta}$，得到：

$m\ddot{r} - \frac{l^2}{m r^3} + \frac{dV}{dr} = 0$

这个方程虽然可以给出形式上的结果，却并不美观。一般将第二个方程代入广义能量积分中：

$E = T + V = \frac{1}{2} m \left(\dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}\right) + V(r)$

后两项仅依赖于 $r$，因此可以将其视为一个有效势能：

$V_{eff}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2}$

通过有效势能，可以将有心力场下的运动方程简化为：

$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\frac2m\left[E - V_{eff}(r)\right]}$

积分得到：

$t-t_0=\int_{r_0}^{r}\frac{dr}{\sqrt{\dfrac2m\left[E - V_{eff}(r)\right]}}\Rightarrow r(t)$ $mr^2\dot{\theta}= l\Rightarrow \theta(t) = \int_{t_0}^{t}\frac{l}{mr^2(t)}dt'$

在有效势的表述下，原先“不过美观的方程”可以表述为：
$\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{dV_{eff}}{dr}$
对于一个有心吸引势场，$V_{eff}$的形式为：
$V_{eff}(r) = \begin{cases}-\dfrac{k}{r^n} + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n>0\\k\ln r + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n=0\\\dfrac{k}{r^n} + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n<0\end{cases}$
稳定性讨论：结合上式，不难推断出，当$n<2$时，质点的运动是稳定的（存在$\frac{d^2v_{eff}}{dr^2}>0$的极小值点）。

闭合性讨论：由Bertrand定理可知，只有当$n=1$或$n=-2$时，质点的运动才是闭合的。

散射性讨论：我们将在下面看到，在平方反比力(n=1)中，当$E\geq 0$时，质点的运动是散射的。对于一般情况，令$\dot{r}=0$，此时所有的能量集中在有效势能$V_{eff}(r_0)$上，可以通过其是否大于势垒来判断能否散射。

不用有效势的表述，利用$u=\dfrac{1}{r}$的代换：
$\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt} = -\frac{l}{m}\frac{du}{d\theta}$ $\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(-\frac{l}{m}\frac{du}{d\theta}\right)=-\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}$
代入运动方程，得到：
$\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} + \frac{l^2}{m^2}u^3 =-\frac{F}{m}$
这就是著名的比耐公式。

例题：近圆轨道与Bertrand定理

质量为$m$的粒子在吸引势$V(r)=-Ar^\alpha$中运动（$\alpha$为整数，$A>0$）。若粒子在近圆轨道（$r$在$r_0$附近做小径向振荡）上运动，求：径向振荡一个周期内粒子转过的角度$\Delta\theta$；以及使轨道闭合（$\Delta\theta$与$2\pi$可通约）的$\alpha$值。

圆轨道条件。角动量$l=mr^2\dot\theta$守恒，径向运动等效为有效势下的一维运动：

$V_{eff}(r)=\frac{l^2}{2mr^2}-Ar^\alpha$

圆轨道是$V_{eff}$的极值点：

$\frac{dV_{eff}}{dr}\bigg|_{r=r_0}=-\frac{l^2}{mr_0^3}-A\alpha r_0^{\alpha-1}=0\Rightarrow l^2=-A\alpha m r_0^{\alpha+2}$

因$l^2>0$，必须有$\alpha<0$（势方为吸引）。稳定性要求$V_{eff}$在$r_0$处取极小：

$\frac{d^2V_{eff}}{dr^2}\bigg|_{r_0}=\frac{3l^2}{mr_0^4}-A\alpha(\alpha-1)r_0^{\alpha-2}=-A\alpha(\alpha+2)r_0^{\alpha-2}>0$

代入$A>0$、$\alpha<0$，即得稳定区间：

$\boxed{-2<\alpha<0}$

频率比与转角。近圆轨道的角速度近似为圆轨道角速度：

$\omega_\theta\approx\frac{l}{mr_0^2}=\sqrt{\frac{-A\alpha}{mr_0^{2-\alpha}}}$

对径向小扰动$x=r-r_0$，由$\ddot{x}+\omega_r^2x=0$，振荡频率为：

$\omega_r^2=\frac1m\frac{d^2V_{eff}}{dr^2}\bigg|_{r_0}=\frac{-A\alpha(\alpha+2)}{m}r_0^{\alpha-2}$

两频率之比：

$\frac{\omega_r}{\omega_\theta}=\sqrt{\alpha+2}$

径向完成一次全振荡（周期$T_r=2\pi/\omega_r$）期间，粒子转过的总角度：

$\Delta\theta=\omega_\theta T_r=\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha+2}}$

闭合条件。轨道闭合要求$\Delta\theta$与$2\pi$可通约：

$\frac{\Delta\theta}{2\pi}=\frac{1}{\sqrt{\alpha+2}}=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$

即$\sqrt{\alpha+2}=q/p$为有理数，$\alpha=(q/p)^2-2$。结合$\alpha$为整数且$-2<\alpha<0$（即$0<\alpha+2<2$），唯一的可能是$q/p=1$：

$\alpha+2=1\Rightarrow\boxed{\alpha=-1}$

此时$\Delta\theta=2\pi$，每转一圈径向完成一次振荡，轨道严格闭合——即开普勒问题（$V\propto-1/r$）。其余既约分数$q/p$（如$1/2,2/3$）给出的$\alpha$均非整数，舍去。

以上就是Bertrand定理在近圆近似下的验证（特例）：该定理严格证明，只有两种势场使所有有界轨道闭合：

平方反比势$\alpha=-1$：$V=-A/r$（万有引力、库仑力），每转$2\pi$径向完成一次振荡；

谐振子势$\alpha=+2$：$V=+Ar^2$（三维各向同性谐振子），每转$\pi$径向完成一次振荡（$\Delta\theta=2\pi/\sqrt4=\pi$）。频率比$\omega_r/\omega_\theta=2$与能量、偏心率无关，任意有界轨道都严格闭合。

两点辨析：

$\alpha=2$不在稳定区间$(-2,0)$内，为何仍是答案：题设$V=-Ar^\alpha$（$A>0$）本身隐含$\alpha<0$的吸引假设——圆轨道条件$l^2=-a\alpha m r_0^{\alpha+2}>0$要求$\alpha<0$。谐振子$v=+ar^2$需系数变号（相当于$a<0$），此时$v_{eff}$在$r_0=(l^2 2am)^{1 4}$处仍取极小且稳定（$d^2v_{eff} dr^2="8A">0$），且势能无界：随$r\to\infty$趋于$+\infty$，起囚禁作用，粒子必然被束缚。故$\alpha=2$是闭轨道的合法答案，只是被例题”$A>0$吸引势”的假设排除在外。

近圆一阶分析不足以证明定理：仅要求$\sqrt{\alpha+2}$为有理数，稳定区间$(-2,0)$内已有无穷多个非整数$\alpha$——任取互质正整数$q/p$，$\alpha=(q/p)^2-2$（如$-2/9,-7/16,-14/9$），其一阶近圆轨道皆闭合。但这些轨道只在近圆（线性化）近似下闭合：进动角实际依赖能量（偏心率），振幅稍大即不闭合。只有$\alpha=-1,+2$使$\omega_r/\omega_\theta$恒为$1,2$，进动角与能量无关，全部有界轨道闭合。这正是定理比”近圆分析”强的地方。

与上文”闭合性讨论”（$n=1$或$n=-2$）一致：两种写法对应$V=-k/r^n=-Ar^\alpha$，即$n=-\alpha$。

平方反比力下的运动

平方反比力是指作用在质点上的力与质点到力心的距离的平方成反比的力。平方反比力的势能形式为：

$V(r) = -\frac{k}{r}$

在平方反比力下，质点的有效势能为：

$V_{eff}(r) = -\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2 m r^2}$

代入方程：

$\frac{dr}{\sqrt{\dfrac2m\left[E +\dfrac{k}{r} - \dfrac{l^2}{2 m r^2}\right]}}=dt$

利用角动量守恒，对根式内进行升阶：

$\frac{ldr}{r\sqrt{2m\left[Er^2 +kr- \dfrac{l^2}{2 m }\right]}}=d\theta$

这个积分可以通过凑二次形式查阅三角积分，这里不给出过程。最终结果为：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2-mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$ $r=\frac{l^2}{mk+\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}\cos(\theta + C)}$

这个结果表明，平方反比力下的质点运动是一个椭圆运动。对比椭圆的极坐标方程：

$r = \frac{p}{1 + e\cos(\theta)}$

可以看出，$p=\dfrac{l^2}{mk}$，$e=\dfrac{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}{mk}$。

根据圆锥曲线知识，按照能量的大小和离心率，可以分为：

$E<0$，椭圆轨道，$e<1$；
$E=0$，抛物线轨道，$e=1$；
$E>0$，双曲线轨道，$e>1$。

当$E=-\dfrac{mk^2}{2l^2}$时，轨道为圆形轨道。此时，$e=0$。注意到，这正是有效势的极小值点：
$\frac{dV_{eff}}{dr} = \frac{k}{r^2} - \frac{l^2}{m r^3} = 0\Rightarrow r_0 = \frac{l^2}{mk}\Rightarrow E=\frac12V(r_0) = -\frac{mk^2}{2l^2}$
此时，质点的动能和势能分别为：
$T=-\frac12V(r_0),V=V(r_0)$

对焦半径讨论：

$p=\frac{b^2}{a}=a(1-e^2)=\frac{l^2}{mk}\Rightarrow a=\frac{k}{2|E|}=-\frac{k}{2E}$

即质点的能量只和椭圆的长轴有关。

使用比耐方程可以避免复杂的积分计算：
$\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} + \frac{l^2}{m^2}u^3 =\frac{ku^2}{m}$ $\frac{d^2u}{d\theta^2} + u =\frac{km}{l^2}$ $u=\frac{km}{l^2} + A\cos(\theta)$
不难看出，这也是一个椭圆方程。

开普勒三定律

牛顿力学建立之前，开普勒依据第谷的观测数据总结出行星运动三大定律（1609–1619），如今它们都可以从平方反比力下的解直接导出。三定律的”含金量”不同：第二定律对任意有心力都成立，第一、三定律才是平方反比力的特征。

开普勒第一定律（椭圆轨道定律）：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点。这正是上节轨道方程的直接结论：

$r=\frac{p}{1+e\cos(\theta+C)},\qquad p=\frac{l^2}{mk},\qquad e=\frac{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}{mk}$

开普勒第二定律（等面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。面积微元$dA=\frac12r^2d\theta$，由角动量守恒$mr^2\dot\theta=l$得面积速度为常数：

$\frac{dA}{dt}=\frac12r^2\dot\theta=\frac{l}{2m}=\text{const}$

它是角动量守恒的几何表述，故对任意有心力（不限平方反比）都成立。

开普勒第三定律（周期定律）：公转周期$T$的平方与半长轴$a$的立方成正比，$T^2\propto a^3$。把第二定律对整个轨道积分即可导出：一个周期内扫过的总面积恰为椭圆面积$\pi ab$，故

$T=\frac{A}{dA/dt}=\frac{\pi ab}{l/(2m)}=\frac{2\pi mab}{l}$

平方并利用$p=\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{l^2}{mk}$（即$l^2=\dfrac{mkb^2}{a}$）：

$T^2=\frac{4\pi^2m^2a^2b^2}{l^2}=\frac{4\pi^2m^2a^2b^2}{mkb^2/a}=\frac{4\pi^2m}{k}a^3$

对万有引力$V=-GMm/r$（$k=GMm$）：

$\boxed{T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3}\quad \text{or} \quad\boxed{\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}}$

比例系数只依赖中心天体质量$M$，与行星自身无关。

牛顿恰恰是”反着用”这条定律：对近似圆轨道，向心加速度$a_c=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{4\pi^2r}{T^2}$，代入$T^2=Ka^3\approx Kr^3$，得$a_c=\dfrac{4\pi^2}{Kr^2}\propto\dfrac1{r^2}$——平方反比引力定律由此而来。另外，对两体问题（$k=Gm_1m_2$，$m=\mu$），上式化为$T^2=\dfrac{4\pi^2a^3}{G(m_1+m_2)}$，比例系数还依赖于两体总质量。

散射问题

在排斥力中，肯定会发生散射（这是因为排斥势没有势垒束缚，粒子总能逃逸到无穷远）。在吸引力中，如果初始能量较大，也会发生散射。

散射角的确定

对于一般性问题：

$\frac{ldr}{r^2\sqrt{2m\left[E-V_{eff}\right]}}=d\theta$

通过积分可以得到：

$\theta_s = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{l}{r^2\sqrt{2m\left[E-V_{eff}(r)\right]}}dr$

在这个积分中，角动量的大小由初始速度的大小和方向决定。

在刚刚讨论过的平方反比吸引力中，我们得到：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2-mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

通过极限情况的讨论，可以得到散射角的表达式：

$\theta_s = -2\arcsin\left(\frac{mk}{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

对于平方反比排斥力，我们得到：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2+mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

通过极限情况的讨论，可以得到散射角的表达式：

$\theta_s = 2\arcsin\left(\frac{mk}{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

可以看到，不管是吸引力还是排斥力，其他参数相同时，散射角的绝对大小是相同的。一般用正三角函数表示：

$\tan\frac{\theta_s}{2} = \frac{\sqrt{m}k}{\sqrt{2El^2}}$

散射截面

前面只解决了”单个粒子以给定瞄准距离散射到哪个角度”，但实验中入射的是大量瞄准距离不同的粒子束，需要统计语言。微分散射截面定义为单位立体角内散射粒子的份额：

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\text{散射到方向}\Omega\text{的粒子数}}{I_0\,d\Omega}$

其中$I_0$为入射粒子流强（单位时间穿过单位面积的粒子数）。对中心力场，瞄准距离$b$与散射角$\theta_s$一一对应，入射参数落在$b\sim b+db$环形带内的粒子恰好散射到$\theta_s\sim\theta_s+d\theta_s$的锥壳内：

$d\sigma=2\pi b\,db,\quad d\Omega=2\pi\sin\theta_s\,d\theta_s$

因此：

$\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta_s}\left|\frac{db}{d\theta_s}\right|}$

卢瑟福公式：对平方反比排斥势$V=k/r$（$k>0$），前面已得散射角：

$\tan\frac{\theta_s}{2}=\frac{mk}{\sqrt{2mEl^2}}=\frac{k}{2Eb}\Rightarrow b=\frac{k}{2E}\cot\frac{\theta_s}{2}$

其中用到$l=mv_\infty b=\sqrt{2mE}\,b$。代入微分截面公式，利用$\sin\theta_s=2\sin(\theta_s/2)\cos(\theta_s/2)$：

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k^2}{16E^2}\frac{1}{\sin^4(\theta_s/2)}=\left(\frac{k}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4(\theta_s/2)}$ $\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{k}{4E}\right)^2\csc^4\frac{\theta_s}{2}}$

这就是著名的卢瑟福公式。其特点为：

与$\csc^4(\theta/2)$成正比，小角散射概率极大、大角散射概率极小；
与入射能量平方成反比，能量越高越容易”穿透”势垒；
对库仑势$V=\dfrac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$，只需把$k$换成$\dfrac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0}$即可。

卢瑟福公式是物理学史上的关键判据：1911年卢瑟福用$\alpha$粒子轰击金箔，观测到符合$\csc^4(\theta/2)$的角分布，从而推断原子内部存在原子核——正电荷与质量高度集中于极小的尺度。该公式由经典力学推出，却与量子力学（非相对论玻恩近似）得到完全一致的结果，是少数”经典预言与量子结果重合”的例子。

注意$\theta_s\to0$时$\dfrac{d\sigma}{d\Omega}\to\infty$，总截面$\sigma=\int\frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega$发散。这不是矛盾：库仑力是长程力，任意大的瞄准距离都会产生微小角度的散射，小角截面发散是必然的。只有被屏蔽的短程势（如汤川势）才具有有限的截面。