哈密顿力学

省流

• 哈密顿量： $$\boxed{H(q,p,t)=\sum_{\alpha=1}^sp_\alpha\dot{q}_\alpha-L(q,\dot{q},t)}$$
• 哈密顿正则方程： $$\begin{cases} \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\dot{q}_\alpha \end{cases}$$
• 泊松括号： $$\boxed{\{f,g\}=\sum_{\alpha=1}^s\left(\frac{\partial f}{\partial q_\alpha}\frac{\partial g}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial f}{\partial p_\alpha}\frac{\partial g}{\partial q_\alpha}\right)}$$
• 泊松括号形式的哈密顿正则方程： $$\boxed{\dot{q}_\alpha=\{q_\alpha,H\},\dot{p}_\alpha=\{p_\alpha,H\}}$$

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哈密顿力学比拉格朗日力学更具对称性，其中一方面体现在自变量的量纲上：

$$[q_\alpha\dot{q_\alpha}]=[q_\alpha^2/t]$$ $$[p_\alpha q_\alpha]=[ML^2T^{-1}]$$

显然哈密顿力学的自变量量纲和广义坐标的选取无关，这在接下来的讨论中会体现得更明显。

狄拉克通过对哈密顿力学的量子化，建立起了二者的桥梁，这在 波函数和薛定谔方程 中提到：

$$\{P_i,X_j\}=\delta_{ij},[P_i,X_j]=i\hbar\delta_{ij}$$

哈密顿正则方程

拉格朗日动力学方程为：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}= 0,(\alpha=1,2,\cdots,s)$$

是s个二阶常微分方程。它同时可以改写为2s个一阶微分方程：

$$\begin{cases} \dot{p}_\alpha=\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}\quad (\alpha=1,2,\cdots,s)\\\\ p_\alpha=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\quad (\alpha=1,2,\cdots,s) \end{cases}$$

从第二组式子中可以反解出：

$$\dot{q}_\alpha=\dot{q}_\alpha(q,p,t)$$

得到以广义坐标和广义动量作自变量的拉格朗日函数：

$$\bar{L}(q,p,t)=L[q,\dot{q}(q,p,t),t]$$

由于自变量的改变，偏导需要重新求解。由多元复合函数的偏导数计算规则得到：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}+\sum_{\beta=1}^s\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_\beta}}\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha} \\\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_\alpha}=\sum_{\beta=1}^s\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_\beta}}\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha} \end{cases}$$

代入原先的动力学方程，得到：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_\alpha}=\dot{p}_\alpha+\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha} \\\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_\alpha}=\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha} \end{cases}$$

这就是新的拉格朗日函数的动力学方程了。但作为一个“一般性的规律”，其实它并不对称，依赖于广义坐标的选取。不过，当你观察到：

$$\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial }{\partial q_\alpha}\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta},\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha}=\dfrac{\partial }{\partial p_\alpha}\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}-\dot{q}_\alpha$$

你就知道可以通过移项，将方程改写为：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial q_\alpha}\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial}{\partial p_\alpha}\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)=\dot{q}_\alpha \end{cases}$$

在 拉格朗日动力学 中，我们曾提到$H=\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)$就是广义能量函数，现在我们可以叫他作哈密顿函数了，从而写出哈密顿正则方程：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\dot{q}_\alpha \end{cases}$$

哈密顿力学的优美在分析运动积分（守恒量）的时候立刻体现了出来。当哈密顿函数不显含$q_\beta$的时候，立即可以推出$p_\beta=Const$。同样的道理：

$$\begin{aligned} \frac{dH}{dt}&=\sum_{\alpha=1}^s \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\sum_{\alpha=1}^s \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}\\ &=\sum_{\alpha=1}^s (-\dot{p}_\alpha)\dot{q}_\alpha+\sum_{\alpha=1}^s (\dot{q}_\alpha)\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}\\ &=\frac{\partial H}{\partial t}\\ \end{aligned}$$

当哈密顿函数不显含时间，则能量守恒。

刘维尔定理和泊松括号

哈密顿力学的美观体现在广义坐标和广义动量的对称性，从而不需要区分二者，统一称为正则坐标。在正则坐标的$2s$维相空间中，不同点对应了不同的初始条件，每个点都有唯一的轨道，且两两不相交。相空间上的态密度满足刘维尔定理：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\rho}{\partial p_\alpha}\dot{p}_{\alpha}+\frac{\partial\rho}{\partial q_\alpha}\dot{q}_{\alpha}\right)$$

代入哈密顿正则方程，得到：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\rho}{\partial q_\alpha}\dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial\rho}{\partial p_\alpha}\dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}\right)$$

定义泊松括号：

$$\{\varphi,\psi\}=\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\varphi}{\partial q_\alpha}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial\varphi}{\partial p_\alpha}\dfrac{\partial \psi}{\partial q_\alpha}\right)$$

上述方程可以写为：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\{\rho,H\}$$

事实上，对于一般的物理量，其演化方程同样满足：

$$\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\{\varphi,H\}$$

连哈密顿正则方程也可以写为：

$$\dot{p}_\alpha=\{p_\alpha,H\},\dot{q}_\alpha=\{q_\alpha,H\}$$

你肯定也发现了，将上述物理量演化方程量子化后，即可得到：

$$\frac{d\langle A\rangle}{d t}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{\mathrm{i}}{\boldsymbol{\hbar}}\langle[H,A]\rangle$$

这正是量子力学中的Ehrenfest定理，或海森堡绘景。

分析力学的等价表述和量子力学的等价表述的对应关系如下：

分析力学	量子力学
刘维尔定理	海森堡方程
哈密顿-雅可比方程	薛定谔方程
拉格朗日力学	路径积分

哈密顿-雅可比方程

哈密顿力学的另一种求解思路是寻找特殊的正则变换，使新的哈密顿量恒为零：此时新的正则坐标全是常数（就是初值），运动方程直接”解完”。考虑第二类生成函数$S(q,P,t)$，满足$p=\dfrac{\partial S}{\partial q}$，变换后的哈密顿量为：

$$H'=H+\frac{\partial S}{\partial t}$$

令$H’=0$，即得哈密顿-雅可比方程：

$$\boxed{H\left(q_\alpha,\frac{\partial S}{\partial q_\alpha},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}$$

这是一个对$S$的一阶偏微分方程，其未知函数$S$称为哈密顿主函数，物理意义正是作用量$S=\int L\,dt$（可以验证$\frac{\partial S}{\partial q_\alpha}=p_\alpha$与$\frac{dS}{dt}=L$）。

分离变量法：若$H$不显含时间，可令$S=W(q_\alpha)-Et$，$E$为能量，则方程化为：

$$H\left(q_\alpha,\frac{\partial W}{\partial q_\alpha}\right)=E$$

不含时哈密顿-雅可比方程。解出$W$（含$s$个积分常数$\alpha_j$，其中一个取能量$E$）后，运动由：

$$\frac{\partial S}{\partial \alpha_j}=\beta_j\quad(\beta_j\text{为新的常数坐标})$$

解出$q_\alpha=q_\alpha(t,\alpha,\beta)$。

例：一维谐振子。$H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac12kq^2=E$，$S=W-Et$，其中$W$满足：

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dq}\right)^2+\frac12kq^2=E\Rightarrow \frac{dW}{dq}=\sqrt{2m\left(E-\frac12kq^2\right)}$$

于是$S=W-Et$，由$\dfrac{\partial S}{\partial E}=\beta$：

$$t=\frac{\partial W}{\partial E}-\beta=\frac{1}{\omega}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{k}{2E}}\right)-\beta,\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

反解即得：

$$q(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}\sin\big(\omega(t+\beta)\big)$$

这正是一维谐振子的完整解——哈密顿-雅可比方法把二阶常微分方程化为一阶偏微分方程的求解，在某些问题（如作用量-角变量、多体问题分离变量）中威力巨大。

哈密顿-雅可比方程与量子力学的联系直观而深刻：若把主函数$S$乘以因子$\exp(iS/\hbar)$并代入薛定谔方程，在$\hbar\to0$的极限下就回到哈密顿-雅可比方程（WKB近似）。这解释了上表中”哈密顿-雅可比方程对应薛定谔方程”的深层原因：经典力学是量子力学的$\hbar\to0$极限。