质点系运动定理

质点系的物理量满足标量和矢量叠加定理：

$m=\sum m_i,\quad\vec{p}=\sum \vec{p_i},\quad\vec{L}=\sum \vec{L_i},\quad T=\sum T_i$

质心系

质心的位置是质点的位置关于质量的加权平均，其质量为各质点质量之和：

$m_0=\sum m_i,\vec{r}_0=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m_0}$

质心的速度和加速度和动量为：

$\vec{v}_0=\frac{d\vec{r}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{m_0},\vec{a}_0=\frac{d\vec{v}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{a}_i}{m_0},\vec{p}_0=\sum \vec{p}_i=\sum m_i\vec{v}_i$

这说明质点系的速度、加速度、动量和质心的速度、加速度、动量是相同的（注意角动量的不同）。

质点系的角动量为：

$\begin{aligned} \vec{L}&=\sum \vec{L}_i\\ &=\sum \vec{r}_i\times\vec{p}_i\\ &=\sum (\vec{r}_0+\vec{r}'_i)\times\vec{p}_i\\ &=\sum \vec{r}_0\times\vec{p}_i+\sum \vec{r}'_i\times(m_i\vec{v}_0+\vec{p}'_i)\\ &=\vec{r}_0\times\vec{p}_0+\sum m_i\vec{r}'_i\times\vec{v}_0+\sum\vec{r}_i'\times\vec{p}'_i\\ &=\vec{L}_0+\vec{L}'+\sum m_i\vec{r}'_i\times\vec{v}_0\\ &=\vec{L}_0(\text{of mass center})+\vec{L}'(\text{of each mass point}) \end{aligned}$

所以质点系的角动量等于质心相对参考点的角动量$\vec{L}_0$加上各质点相对质心的角动量$\vec{L}’$，其中交叉项$\sum m_i\vec{r}’_i\times\vec{v}_0=0$，因为质心系中质心位置为$\sum m_i\vec{r}’_i=0$。这也是柯尼希定理在角动量上的形式。

质心系具有以下性质：

质心系的质心静止，所以质心系中的质点系动量为0；
既然质心静止，质心系中的质点系总动量恒为零；且惯性力在质心系中不做功（$\sum \vec{F}^*_i\cdot d\vec{r}’_i=0$），故在质心系中列动能定理时无需考虑惯性力；

柯尼希定理

质点系动能的分解满足柯尼希定理：

$\begin{aligned} T&=\sum T_i\\ &=\sum \frac{1}{2}m_i\vec{v}_i^2\\ &=\sum \frac{1}{2}m_i(\vec{v}_0+\vec{v}'_i)^2\\ &=\sum\frac12m_i\vec{v}_0^2+\sum \frac{1}{2}m_i\vec{v'}_i^2+\sum m_i\vec{v}_0\cdot\vec{v}'_i\\ &=\frac12m\vec{v}_0^2+\frac12\sum m_i\vec{v'}_i^2\\ &=T_0(\text{of mass center})+T'(\text{of each mass point}) \end{aligned}$

其中交叉项$\sum m_i\vec{v}_0\cdot\vec{v}’_i=\vec{v}_0\cdot\sum m_i\vec{v}’_i=0$，这是因为质心系中质点系的总动量为零。

柯尼希定理说的就是：质点系的总动能等于质心平动动能与各质点相对质心动能（也即质心系内的转动动能）之和：

$T=\frac12m\vec{v}_0^2+\frac12\sum_i m_i\vec{v'}_i^2$

它与前述角动量的分解（$\vec{L}=\vec{L}_0+\vec{L}’$）互为对应，分别说明质点系的动能和角动量都可以分解为”质心的运动”和”相对质心的运动”两部分。

质点系动量定理

$\begin{aligned} \sum_i m_i\ddot{r}_i&=\sum_i(\sum_{j\neq i}\vec{F}_{ij}^{int}+\vec{F}_i^{ext})\\ &=\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{F}_{ij}^{int}+\sum_i\vec{F}_i^{ext}\\ &=\frac12\sum_i\sum_{j\neq i}(\vec{F}_{ij}^{int}+\vec{F}_{ji}^{int})+\sum_i\vec{F}_i^{ext}\\ &=\sum_i\vec{F}_i^{ext}\\ \end{aligned}$

化简为：

$\frac{d\vec{p}_0}{dt}=\vec{F}^{ext}$

即外力相当于直接作用在质心上。

质点系角动量定理

$\begin{aligned} \sum_i m_i\vec{r}_i\times\ddot{r}_i&=\sum_i(\sum_{j\neq i}\vec{r}_i\times\vec{F}_{ij}^{int}+\vec{r}_i\times\vec{F}_i^{ext})\\ &=\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{r}_i\times\vec{F}_{ij}^{int}+\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i^{ext}\\ &=\frac12\sum_i\sum_{j\neq i}(\vec{r}_i\times\vec{F}_{ij}^{int}+\vec{r}_j\times\vec{F}_{ji}^{int})+\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i^{ext}\\ &=\frac12\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{r}_{ij}\times\vec{F}_{ij}^{int}+\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i^{ext}\\ &=\sum_i\vec{M}_i^{ext}\\ \end{aligned}$

化简为：

$\frac{d\vec{L}_0}{dt}=\vec{M}^{ext}$

即在指定参考系中，所有的外力构成一个扭矩，对总角动量作用。

质点系动能定理

$\begin{aligned} \sum_i m_i\dot{r}_i\cdot\ddot{r}_i&=\sum_i(\sum_{j\neq i}\vec{F}_{ij}^{int}+\vec{F}_i^{ext})\cdot\dot{r}_i\\ &=\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{F}_{ij}^{int}\cdot\dot{r}_i+\sum_i\vec{F}_i^{ext}\cdot\dot{r}_i\\ &=\frac12\sum_i\sum_{j\neq i}(\vec{F}_{ij}^{int}\cdot\dot{r}_i+\vec{F}_{ji}^{int}\cdot\dot{r}_j)+\sum_i\vec{F}_i^{ext}\cdot\dot{r}_i\\ &=\frac12\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{F}_{ij}^{int}\cdot\dot{r}_{ij}+\sum_i\vec{F}_i^{ext}\cdot\dot{r}_i\\ \end{aligned}$

对时间积分得到：

$\Delta T=W^{int}+W^{ext}$

这说明质点系的动能变化等于内力做的功加上外力做的功。

变质量质点动力学

设质点系的总质量为$M$，速度为$\vec{v}$，质量为$dM$的质点以绝对速度$\vec{u}$脱离质点系，质点系的动量变化为：

$[(M-dM)(\vec{v}+d\vec{v})+\vec{u}dM]-M\vec{v}=\vec{F}dt$

化简为：

$M\frac{d\vec{v}}{dt}=(\vec{u}-\vec{v})\frac{dM}{dt}+\vec{F}$

这就是密舍尔斯基方程。

常见的变质量问题为齐奥尔科夫斯基问题：

齐奥尔科夫斯基第一问题：火箭不受外力作用，喷出的相对速率为$v_r$，火箭的初始质量为$M_0$，除去燃料后的质量为$M$，则其速率为： $M\frac{dv}{dt}=-v_r\frac{dM}{dt}\Rightarrow v(M)=v_r\ln{\frac{M_0}{M}}$ 随着剩余质量的减少，火箭速率增加。
齐奥尔科夫斯基第二问题：火箭受外力作用，喷出的相对速率为$v_r$，火箭的初始质量为$M_0$，除去燃料后的质量为$M$，则其速率为： $M\frac{dv}{dt}=-v_r\frac{dM}{dt}-Mg\Rightarrow v(M(t))=v_r\ln{\frac{M_0}{M}}-gt$ 这是一个双变量的函数，不过由于$M_0-M\propto t$，所以最终可以化为时间的函数。

类似的问题还有雨滴滴落的问题。雨滴滴落的过程中，质量的增加率和空气阻力正比于表面积：

$M\frac{dv}{dt}=-\frac{dM}{dt}v-F_{air}+Mg$

代入：

$M=\frac43\pi r^3\rho,\frac{dM}{dt}=k4\pi r^2\Rightarrow\frac{dr}{dt}=\frac{k}{\rho}$ $F_{air}=\mu 4\pi r^2v$

得到：

$\frac{dv}{dt}=-\frac{3(\mu+k)v}{\rho r}+g,r=r_0+\frac{k}{\rho}t$

化简为线性一阶常微分方程：

$\frac{dv}{dt}+\frac{3(\mu+k)v}{\rho r_0+kt}=g\Leftrightarrow y'(x)+p(x)y(x)=g(x)$

代入通解：

$y(x)=e^{-\int p(x)dx}\left[\int g(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$

即：

$v(t)=\exp{\left(-\int \frac{3(\mu+k)}{\rho r_0+kt}dt\right)}\left[\int g\exp{\left(\int \frac{3(\mu+k)}{\rho r_0+kt}dt\right)}dt+C\right]$

代入初始条件$v(0)=0$，得到：

$v(t)=\frac{g\rho}{3\mu+4k}\left[r-r_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^{\frac{3(\mu+k)}{k}}\right],\quad r=r_0+\frac{k}{\rho}t$

这个结果其实不收敛于终端速度：由$\frac{dv}{dt}=g-\frac{3(\mu+k)v}{\rho r}$可知，终态速度$v_\infty=\frac{g\rho r}{3(\mu+k)}$随半径$r$线性增长，而重力$\propto r^3$、阻力$\propto r^2$，质量增长带来的”驱动力”永远跑在阻力前面，故加速度逐渐趋于$g$而不会趋于零。实际上，真实雨滴会因破碎或达到其他阻力机制而停止加速，质量不会无限增加。