小径

复数复数是实数的扩展，形式为 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数可以在平面上表示为点 $(x, y)$，也可以用极坐标表示为 $z = re^{i\theta}$，其中 $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是模，$\theta = \arg(z)$ 是幅角。 复数的运算定义用坐标形式表示为： 加法：$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$ 乘法：$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$ 复共轭：$\overline{z} = x - iy$ 模：$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 用极坐标表示时，复数的乘法和除法可以简化为： 乘法：$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ 除法：$z_1 / z_2 = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ 复共轭：$\over ...

质点系运动定理质点系的物理量满足标量和矢量叠加定理： m=\sum m_i,\quad\vec{p}=\sum \vec{p_i},\quad\vec{L}=\sum \vec{L_i},\quad T=\sum T_i质心系质心的位置是质点的位置关于质量的加权平均，其质量为各质点质量之和： m_0=\sum m_i,\vec{r}_0=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m_0}质心的速度和加速度和动量为： \vec{v}_0=\frac{d\vec{r}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{m_0},\vec{a}_0=\frac{d\vec{v}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{a}_i}{m_0},\vec{p}_0=\sum \vec{p}_i=\sum m_i\vec{v}_i这说明质点系的速度、加速度、动量和质心的速度、加速度、动量是相同的（注意角动量的不同）。 质点系的角动量为： \begin{aligned} \vec{L}&=\sum \vec{L}_i\\ &=\sum \vec{r}_i\times\ ...

省流 质点动力学基本定律 力学相对性原理 非惯性系与惯性力 质点动力学运动定理 动量定理和动能定理 角动量定理与角动能定理 常见的力 重力与引力 弹力 摩擦力 常见物体的转动惯量 匀质细杆 匀质圆盘 常见物体的转动惯量汇总 例题 匀质杆掉落瞬间 求解 省流 以牛顿定律$F=ma$和$M=I\beta$为基础推导出的动量定理$p=\int Fdt$和动能定理$E_k=\int Fdx$，以及角动量定理$L=\int Mdt$和角动能定理$E_r=\int Md\theta$，是质点动力学的核心定理。 这些定理本身就是微分形式的积分结果，所以使用牛顿定理进行求解与使用拉格朗日量求解是等价的。 对于转动问题，分别列出质心的平动方程和绕质心（或瞬时转轴）的转动方程联合求解，从而避免对约束力逐个分析（解除转动自由度）；转动与平动相互耦合，转动会反过来影响质心运动。 质点动力学基本定律质点动力学以牛顿三定律为基础： 牛顿第一定律：如果一个物体不受外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态； 牛顿第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与物体的质量成反比；\vec{F}=m ...

省流 固定坐标系下的质点运动学 直角坐标系 极坐标系 柱坐标系 球坐标系 相对运动 任意平动参考系 旋转参考系 省流 运动的描述是求解动力学过程的基础。拉格朗日量和哈密顿量的求解十分依赖坐标的选取。一套好的坐标可能隐含了约束，从而降低求解的难度。 固定坐标系下的质点运动学矢量力学通过科学抽象，将研究对象简化为刚体乃至质点。我们通过矢量来描述质点的诸多物理量： 选定参考系的原点，质点的位置由径向矢量 $\vec{r}=r\hat{\tau}$ 表示； 质点的运动通过径向矢量的变化——位移来表示：$\Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$； 质点的平均速度由位移对时间的导数来表示：$\bar{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$； 质点的平均加速度由速度对时间的导数来表示：$\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$。 很多时候，我们更关心质点的瞬时速度和瞬时加速度： \begin{aligned} \vec{v}&=\lim_{\Delta t ...

数学物理方法数学物理方法（按梁昆淼老师的讲法）包括复变函数和数学物理方程，我这里顺便把概统也加上了。 复变函数复变函数即自变量是复数的映射及其计算与性质。物理中能涉及到复数的部分主要在于电磁学（波动光学）与量子力学。 复变函数 级数与留数定理 数学物理方程数学物理方程聚焦于常微分方程和偏微分方程的解法。常微分方程一般解法较多，且存在许多已知的解析函数解（包括特殊函数）；偏微分方程则有以下三种思路： 分离变量法：将偏微分方程转化为常微分方程，求解常微分方程的本征值问题； 积分变换法：利用傅里叶变换或拉普拉斯变换将偏微分方程转化为常微分方程； 格林函数法：将偏微分方程转化为一个积分方程。 偏微分方程 常微分方程 特殊函数和方程 偏微分方程的分离变量法1 偏微分方程的分离变量法2 偏微分方程的积分变换法 偏微分方程的格林函数法 概率与统计如果说随机变量及其分布是概率论的“静力学”部分，那么随机过程对应着“运动学”，随机微分方程对应着“动力学”。随机过程本身是随机微分方程的解，而随机微分方程则是随机过程的动力学方程。 随机变量及其分布 随机过程 随机微分方程

理论力学研究物体机械运动的学科，被称为理论力学。其下的两大分支分别为——经典力学（矢量力学）和分析力学。 矢量力学研究力学，很自然从矢量力学开始，如位移、速度、加速度、力等。用矢量来表征物理量，以力矢量为核心，自然牛顿力学离不开图像的介入，这也与后面的分析力学形成了鲜明的对比。 从运动的定义出发，结合力的作用，可以发展出质点的运动学和（静）动力学，进而扩展为质点系的动力学。 质点运动学 质点动力学 质点系动力学 分析力学分析力学则抛弃了力的核心地位与矢量这一主要工具，转而以能量为核心，采用拉格朗日方程和哈密顿方程来描述物体的运动。 分析力学与经典力学是完全等价的，只不过，经典力学很难推广到其他领域；相反，分析力学则可以推广到电磁学、光学乃至量子力学。其中的根本原因在于，经典力学无法隐藏约束，只能将约束显式作为方程的一部分来减少自由度；如果我们不那么关注约束力的情况，那么分析力学可以简单明了的给出相应的运动规律。 达朗贝尔原理 拉格朗日动力学 哈密顿力学 在相应的理论框架下，分析力学可以在不同的应用场景大显身手： 有心力和散射问题 小振动 刚体力学 除此之外，还有以四维 ...

偏振光学 偏振态 马吕斯定律 自然光 部分偏振光 圆偏振光 椭圆偏振光 偏振度 双折射率晶体 晶体的双折射现象 介电常数张量 确定折射的方向 双折射晶体的应用 偏振器 相位延迟片（波晶片） 偏振光学偏振态一般将光的偏振态分为五种： 线偏振光：$\vec{E(t)}=\vec{A}\cos{(\omega t)}$，光矢量的模随时间变化，而方向不变，可以分解为两个正交的线偏振光分量：E_x=A_x\cos{(\omega t)},E_y=\pm A_y\cos{(\omega t)} 自然光：自然光是大量不同且独立的线偏振光的几何，因而具有轴对称性； 部分偏振光：自然光经过反射或折射，部分方向的线偏振光减弱，从而对称性减小； 圆偏振光：$\vec{E(t)}=\vec{A}\cos{(\omega t+\phi)}$，光矢量的模不变，方向随时间变化，可以分解为两个正交的线偏振光分量：E_x=A_x\cos{(\omega t)},E_y=\pm A_y\sin{(\omega t)}依据正负号分别表示右旋圆偏振光和左旋圆偏振光； 椭圆偏振光：分解为两个非正交的线偏振 ...

衍射导论 菲涅尔衍射积分 基尔霍夫衍射积分 基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式 衍射的分类 巴比涅原理 菲涅尔圆孔衍射 半波带法 单缝夫琅禾费衍射 矩孔夫琅禾费衍射 圆孔夫琅禾费衍射 夫琅禾费多缝衍射 正弦光栅 光栅光谱仪 闪耀光栅 \newcommand{\oiint}{\,\bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int}衍射导论当光波遇到障碍物的时候，或多或少偏离几何光学的直线传播，这种现象统称为光的衍射。光的波长和孔径线度相当时，衍射现象尤为明显，且关系满足： \rho \Delta \theta\approx\lambda衍射现象可以使用惠更斯原理来解释，菲涅尔推导了衍射的数学表达式，称为惠更斯-菲涅尔原理： \tilde{U}(P)=\oiint d\tilde{U}(P)菲涅尔衍射积分从物理的角度考虑，可以给出$d\tilde{U}(P)$的决定因素： 面元大小$dS$； 次波源的振幅$\tilde{U_0}$； 次波源发射球面波到场点$\dfrac{e^{ikr}}{r}$； 倾角因子$f(\theta_0,\th ...

干涉理论 干涉的条件 平行光干涉 分波前干涉 杨氏双缝干涉 菲涅尔双面镜 菲涅尔双棱镜 劳埃德镜 对切透镜 分振幅干涉 薄膜干涉 楔形薄膜（等厚干涉） 牛顿环（等厚干涉） 等倾干涉 迈克尔逊干涉仪 多光束干涉 法布里-珀罗干涉仪 非平行单色光 平行非单色光 空间相干性和时间相干性 干涉理论一般用复振幅描述光波： U(P,t) =A(P) \cos{\omega t-\varphi(P)}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = A(P) e^{-i(\omega t-\varphi(P))}复振幅在运算中具有天然的优势。常见的复振幅有： 平面波：$U(P,t) = A \cos{\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = A e^{-i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$ 球面波：$U(P,t) = \frac{A}{r} \cos{\omega t - kr}\Leftrightarrow\tilde{U}(P ...

Introduction and Assumptions矩阵光学指的是通过线性变换矩阵来描述几何光学传播过程的方法。这其中隐含了几个假设： 光线是直线（这也是几何光学的基本假设）； 光线的传播是线性的； 光线满足傍轴近似（即光线的角度很小）。 我们用两个参数来描述光线的传播——光线的位置和方向： \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}光线通过线性变换矩阵$M$传播后，位置和方向变为： \begin{pmatrix} x' \\ \theta' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}显然，矩阵$M$是一个$2 \times 2$的矩阵： M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}如果我们有多个光学元件，每个元件都有一个传播矩阵$M_i$，那么这些元件的传播矩阵的乘积就是整个系统的传播矩阵： M = M_n M_{n-1} \cdots M_2 M_1Sign Convention在矩阵光学中，我们使用以下符号 ...