本讲在课程中的位置

第二讲（ED I）把问题变成了矩阵，第三讲（ED II）把矩阵对角化并算出谱函数。两讲合起来，你已经能对一个 $N=16$ 的海森堡环吐出前几十个本征值了。然后呢？

这一串数字你几乎什么都没学到。 它们是什么动量？什么宇称？什么自旋？对应哪一条色散关系？——这就是第四讲（ED III，第 1 章的最后一场）要解决的问题：给本征值贴标签。

三次 ED 课切的是同一张地图（ED 目录页）的不同块：

目录项 第二讲（ED I） 第三讲（ED II） 第四讲（ED III）
main idea 第 2–7 页 复述 复述
matrix representation 第 8–15 页 直接使用 直接使用
implement symmetries $U(1)$ 分块 顺带（$k$ 扇区） 第 3–13 页（本讲主体）
Lanczos method 提及 第 3–16 页 直接使用（作基准）
various applications 各种应用 谱函数与实验 拓扑与 FQHE

别把这一讲当成”第三讲的续集”。 第三讲的主线是 Lanczos（数值算法），第四讲的主线是对称性分块（群论/线性代数）。两讲共享的只有那张目录页。

一句话概括本讲

把哈密顿量按动量分块，让每个本征值带上 $k$ 的标签；用严格可解模型证明标签贴得对；然后把这些带标签的能级送进拓扑物态。

本讲有三条逻辑线，各回答一个不同的问题：

  1. 怎么做：平移对称性 $[T,H]=0$ ⟹ 投影算符 $P_k$ ⟹ 动量分块矩阵元（第 3–13 页）；
  2. 怎么知道做对了：用横场 Ising 模型（JW → Fourier → Bogoliubov）的解析解当”标准砝码”，多体能级逐条对上 ED（第 14–22 页）；
  3. 为什么值得做：带标签的能级（特别是 $E(k)$ 的拓扑）是分数 Chern 绝缘体、2016 年诺贝尔奖物理的核心（第 23–31 页）。

三条线、一张地图

本讲有一条贯穿始终的”隐形主线”：

对称性不是可选项，是必需品。 每实现一种对易的对称性，$H$ 就再碎一块、维度就再降一个量级。

第 3 页那张三栏分块图（$H\to$ 方块对角 $\to$ 更细的方块对角）是本讲唯一、也是最该记住的示意图。它的量化版：

对称性 做了什么 $N=16$，$S^z_{tot}=0$
无 全空间 $2^{16}$ $65536$
$U(1)$（第二讲） 把 $65536$ 降到 $12870$ 约 $1/5$
平移（本讲） 把 $12870$ 降到每个 $k$ 扇区的 $800\sim810$ 再降约 $1/16$
两级合起来 — 约 $1/80$

作业里那条 “$N=16$ 全空间稠密矩阵需要 34 GB“ 的线，就是用来量这个「$1/80$」值多少钱的。后面你会反复看到同一句潜台词：维数每降一个量级，ED 能碰的问题就大一圈。

约定表

承接第二讲、第三讲，本讲新增部分用粗体标出：

量 本讲（第四讲）约定
单位 $\hbar=1$，$k_B=1$，晶格常数 $a=1$；自旋模型取 $J_1=1$
基矢表示 沿用第二讲：格点 $i$ 就是第 $i$ 位，格点 0 是最低位
自旋算符 $S^\alpha_j=\tfrac12\sigma^\alpha_j$；$\sigma^z=\mathrm{diag}(1,-1)$，$\sigma^x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
比特值 自旋比特串 1 ↔ 自旋向上（↑）、0 ↔ 向下；费米子比特串 1 ↔ 占据
平移算符 $\hat T\lvert s\rangle=\lvert\mathrm{rot}(s,+1)\rangle$，循环移位；$\hat T^N=\hat{\mathbb{1}}$
动量 $k=0,1,\ldots,N-1$；格点动量 $K=2\pi k/N$；$T$ 本征值为 $e^{-iK}$
投影算符 $P_k=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}e^{+i\frac{2\pi}{N}kj}\,T^j$
轨道/代表态 $\lvert r\rangle$ 是轨道中整数标号最小的态；轨道长度 $R$（整除 $N$）
动量基归一化 $\lvert r_k\rangle=\sqrt{R_r}\,P_k\lvert r\rangle$
动量分块矩阵元 $\langle r’_k\lvert H\rvert r_k\rangle=\frac{\sqrt{R_{r’}R_r}}{N}\sum_je^{+i\frac{2\pi}{N}kj}\langle T^{-j}r’\lvert H\rvert r\rangle$
横场 Ising 模型 $H=-J\sum_i(g\sigma^x_i+\sigma^z_i\sigma^z_{i+1})$，$J,g\ge0$；$g_c=1$
JW 变换 $\sigma^z_i=-\prod_{j<i}(1-2C_j^\dagger C_j)(C_i+C_i^\dagger)$，$\sigma^x_i=1-2C_i^\dagger C_i$
费米子宇称 $P=\prod_i\sigma^x_i=e^{i\pi M}$，$M=\sum_iC_i^\dagger C_i$
准粒子谱 $\epsilon_k=2J\sqrt{1+g^2-2g\cos k}$；零点能 $\epsilon_{\rm sum}=\tfrac12\sum_k\epsilon_k$
多体谱约定 $g=2$ 与 $g=0.5$ 两组，$N=4$；$P=+1$ → APBC（$n$ 半整数），$P=-1$ → PBC（$n$ 整数）

注意：本讲有「两套动量约定」，不要混。 一是格点动量 $K=2\pi k/N$（第 5、6 页，$k$ 取整数）；二是 TFIM 严格解里的动量 $k=2\pi n/N$（第 16 页，$n$ 取整数或半整数）。读第 19–22 页的表格时，看到 $k_{-1.5}$、$k_{0.5}$ 这种下标不要惊讶——那是”半整数 $n$”，是反周期边界条件的必然结果，不是笔误。

主线一：贴标签——平移对称性与动量分块

为什么要贴标签：色散关系 E(k) 决定物理

固体物理里，能带 $E(\mathbf k)$ 是几乎所有输运、光学、磁学性质的出发点。对强关联格点模型同样如此：

  • $E_0(k)$ 的最小值位置告诉你基态是什么（平移不变的 $k=0$？还是反铁磁波矢 $k=\pi$？）；
  • 基态动量在参数空间里的移动是相变的信号（本讲作业里 $J_2$ 扫描会亲眼看到）；
  • 低能激发的色散（自旋波）决定了低温比热与自旋动力学。

所以”本征值”不是一个裸的数字，它必须带上动量的标签。这就是本讲的核心任务。

为什么是平移对称性：对称性 = 分块

平移算符把每个格点上的自旋搬到下一个格点，在比特表示里就是循环移位：

def rot(s, N, m=1):
    """把格点 j 上的比特搬到 j+m（模 N）。"""
    t = 0
    for j in range(N):
        if (s >> j) & 1:
            t |= 1 << ((j + m) % N)
    return t

$N=4$ 的例子：$T\lvert0011\rangle=\lvert0110\rangle$、$T^2\lvert0011\rangle=\lvert1100\rangle$、$T^3\lvert0011\rangle=\lvert1001\rangle$。

“对易的算符有共同的本征态” 是整个方法的合法性来源，但我们实际只用到一个弱得多的性质：

$H$ 不把 $T$ 的本征子空间混起来。 证明只要三行：设 $T\lvert\psi\rangle=e^{-iK}\lvert\psi\rangle$，则 $T(H\lvert\psi\rangle)=HT\lvert\psi\rangle=e^{-iK}(H\lvert\psi\rangle)$。所以 $H$ 是分块对角的。这个证明只用 $[T,H]=0$，即使有简并也完全成立。

机器怎么造：T、P_k 与轨道

怎么从任意态 $\lvert r\rangle$ 造出动量本征态？用傅里叶投影：

符号方向极易搞反。 $P_k$ 的相位是 $e^{+i2\pi kj/N}$，而 $T$ 的本征值是 $e^{-iK}$（负号）。这不是笔误——$T$ 作用后把 $j$ 变成 $j-1$，恰好抽出 $e^{-i2\pi k/N}$。把相位写成负号，你会得到 $k$ 与 $N-k$ 互换的结果。 由于 $E(k)=E(-k)$，很多时候你看不出来；但一旦有简并（作业里 $J_2=0.5$ 的基态同时在 $k=0$ 与 $k=\pi$），你报告的基态动量就反了。

$P_k$ 满足三条性质（前两条幻灯片用蓝底高亮，第三条最重要）：

完备性意味着 $\sum_k\dim_k=\dim$：把 $H$ 投影到全部 $N$ 个 $k$ 扇区、再拼起来，必须还原原来的 $H$。 这是本讲最有用的一条自检——“漏态/重态”一抓一个准（它抓不住归一化错误，后面会讲为什么）。

$P_k\lvert r\rangle$ 可能等于零。 设轨道长度 $R$（$T^R\lvert r\rangle=\lvert r\rangle$），则

轨道长度 $R$ 一定整除 $N$（拉格朗日定理）。如果你算出的 $R$ 不整除 $N$，说明 rot 写错了。 对固定的 $k$，允许的 $R$ 必须是 $N/\gcd(k,N)$ 的倍数——这是后面 $800\sim810$ 维度摆动的来源。

N=4 的轨道结构与 P_k 投影模式

读图：

  • 左图：$N=4$ 全空间 16 个态的轨道划分。轨道长度 $R=1$（铁磁/空态）、$R=2$（只有 $\{0101,1010\}$）、$R=4$（一般轨道）。代表态取轨道中整数标号最小的那个：$\{0,1,3,5,7,15\}$。
  • 右图：每个代表态在哪些 $k$ 下满足 $P_k\lvert r\rangle\neq0$。短轨道 $\lvert0101\rangle$ 只在 $k=0,2$ 出现（$kR=2k$ 要整除 $4$）。这就是三栏图里”方块大小不均匀”的具体来源。

不要把”$P_k\lvert r\rangle=0$”理解成”这个态在这个 $k$ 扇区里不存在”。 正确的理解是：这个代表态不能用来生成该 $k$ 扇区的基，但该扇区里仍可能有由别的代表态生成的、能量相同的态。

判据里的 “for spin systems” 是最关键的一句——对费米子它要修正，见「陷阱一」。

预处理一次：每个组态记三件事——是不是代表态、属于哪个代表态、离它几步。这就是 Check 表（与第二讲的 Lin 表是同一类东西：”把昂贵搜索提前算好、做成整数数组”）。方向必须小心：查表时 $i=\mathrm{rot}(\text{rep},j)$，做矩阵元时用的是 $\langle T^{-j}r’\lvert H\rvert r\rangle$，需要 $\mathrm{rot}(r’,-j)$。方向反了等于做 $k\to-k$ 替换，”看起来差不多对”但细节全错。

核心公式：归一化与矩阵元

$P_k\lvert r\rangle$ 不是单位向量。实测（$N=6$ 海森堡环，$S^z_{tot}=0$）：代表态 $r=7$ 的 $R=6$，$\langle r\lvert P_0\rvert r\rangle=1/6$；代表态 $r=21$（$\lvert010101\rangle$）的 $R=2$，$\langle r\lvert P_0\rvert r\rangle=1/2$。所以

本讲要写进代码的矩阵元公式（红框）：

推导只有三步，全部靠投影算符的性质（$P^\dagger=P$、$P^2=P$、$[P,H]=0$）和 $\langle r\lvert P_k\rvert r\rangle=1/R_r$。

“投影算符只需作用一次” 是计算量的关键：如果按定义硬算 $\langle r’\lvert P_k^\dagger HP_k\rvert r\rangle$，要对每一对 $(r’,r)$ 作用两次投影，复杂度 $\mathcal O(n_{\rm rep}^2N)$。优化后（$Y=HB$ 一次稀疏乘 + 一次 tensordot）降到 $\mathcal O(n_{\rm rep}D+n_{\rm rep}^2N)$，因为 $n_{\rm rep}\ll D$，第一步反而是主要开销。

验证厄米性是本页最重要的自检。$H_k$ 一般复数，但必须厄米。在 $N=6$ 海森堡环（$\dim=20$）上实测各种写法的症状：

写法 $\lVert H_k-H_k^\dagger\rVert_{\max}$ 与全谱最大偏差 落在全谱内
$\sqrt{R_{r’}R_r}$（正确） $2.4\times10^{-15}$ $2.0\times10^{-15}$ $20/20$
完全不给归一化因子 $4.8\times10^{-16}$ $1.87$ $2/20$
单侧归一化 $\sqrt{R_r}$ $2.6\times10^{-1}$ $1.23$ $2/20$
用 $R_{r’}R_r$ 而非开方 $1.4\times10^{-14}$ $9.35$ $2/20$
漏掉 $1/N$ $1.4\times10^{-14}$ $14.0$ $2/20$

厄米性检查的盲区：错误的整体归一化照样厄米

读图：正确的 $\sqrt{R_{r’}R_r}/N$ 给出的动量块本征值（蓝方块）与全空间 ED（黑圆）逐点重合（偏差 $3\times10^{-15}$）；”漏掉 $1/N$”（红三角）虽然照样厄米，本征值却完全对不上（偏差 $1.87$）。

几个值得咀嚼的事实：

  1. 厄米性检查抓不住”整体少一个归一化因子”——那种错误照样厄米，必须靠与全空间 ED 逐条对比来抓。只有”两侧归一化不对称”才破坏厄米性。这就是”能跑 ≠ 对”的活教材。
  2. “丢弃 $P_k\lvert r\rangle=0$”必须在构造基之前做。先构造后丢弃，会得到带零行零列的奇异矩阵，本征值里多出一堆 0——里面可能混着 $H$ 真正的零本征值，非常难分辨。
  3. 当 $R_{r’}=R_r=N$ 时因子正好是 1，这是”一般位置”下最常见的情形——也是为什么漏掉它时结果”看起来几乎对”。

维度核对：三种数法

$N=4$ 有三种数法，都等于 16：只用 $U(1)$（$1+4+6+4+1$）、$U(1)$+平移（$1+4+6+4+1$ 按 $k$ 重排）、只用平移。它们必须一致，因为都只是”把同一个 16 维空间按不同顺序数了一遍”——完备性关系 $\sum_kP_k=\hat{\mathbb{1}}$ 保证了这一点。这是”某些代表态被漏掉/重复计入”的自检；但它抓不住归一化或相位错误（那两类错误维度是对的，只有能量会错）。

$N=16$ 的实测（$S^z_{tot}=0$，$\Delta=1$，$J_1=1$）：

轨道长度 $R$ 轨道个数 贡献的态数
16 800 12800
8 8 64
4 1 4
2 1 2
合计 810 12870

N=16 各动量扇区维度

读图：各 $k$ 扇区维度 $[810,800,808,800,809,800,808,800,810,\ldots]$ 在 $800\sim810$ 间摆动（不是整齐的 $12870/16=804.375$），由判据 $\mathrm{mod}(kR,16)=0$ 决定：$k=0$ 与 $k=\pi$ 最大（810），$k$ 为奇数时只有那 800 个”一般轨道”。$\sum_k\dim_k=12870$ 必须精确成立。

E(k)：本讲的第一个物理结论

$J_2=0$（纯 Heisenberg 环）时，$E_0(k)$ 的最小值在 $k=0$（$-7.142296360617$），次小在 $k=\pi$（$-6.872106678366$），中间更高。这是典型的自旋波型色散：基态平移不变（$k=0$），最低激发在反铁磁波矢 $k=\pi$。$E_0/N=-0.446393522539$ 向热力学极限 $1/4-\ln2=-0.443147180560$ 收敛。

$J_2=0.5$（Majumdar-Ghosh 点）时，$E_0(k=0)=E_0(k=\pi)=-6.000000000000$ 精确相等——基态二重简并，分属 $k=0$ 与 $k=\pi$。这就是作业要验证的两个二聚体态 $\lvert D_0\rangle$、$\lvert D_1\rangle$ 的来源。

E(k) 色散关系：J2=0 与 J2=0.5（Majumdar-Ghosh 点）

读图：$J_2=0$（蓝）$k=0$ 最低、$k=\pi$ 次低；$J_2=0.5$（红）$k=0$ 与 $k=\pi$ 精确简并在 $-6.0$。

“基态在哪个 $k$”必须看全局最小值，不能只看某一列：$J_2=0.5$ 时 $k=4,12$ 扇区最低能量也是 $-5.0$，但比基态高 1.0。作业选做的 $J_2$ 扫描会看到基态动量从 $k=0$ 跳到 $k=\pi$（约 $J_2=0.6$）——阻挫导致的一级变化，这就是”贴标签”换来的第一个物理。

陷阱一：费米子符号

$T$ 同时平移 $\uparrow$ 与 $\downarrow$ 的组态——对费米子，$T$ 可能引入额外的符号。因为”平移”在费米子语言里不是一个”搬位置”的操作，而是算符恒等式 $TC^\dagger_{i\sigma}T^{-1}=C^\dagger_{i+1,\sigma}$：作用后产生算符顺序被打乱，每交换一次相邻的产生算符就出一个 $-1$。

$N=4$ 的例子（$\uparrow=\{0,2\}$，$\downarrow=\{0,1\}$）：$T^2$ 后需要交换 $C^\dagger_{2\uparrow}$ 与 $C^\dagger_{0\uparrow}$ 一次 ⟹ 一个 $-1$。判据修正为

当 $\sigma_R=-1$ 时，允许的 $k$ 整体平移半个周期。

这个陷阱最阴险的地方：$\sum_k\dim_k$ 仍然正确（总数守恒）；每个 $k$ 扇区里的本征值确实都是 $H$ 的真实本征值；但把能量归属到 $k$ 上时全错了，$E(k)$ 形状错误。它不触发任何”总数不对”的报警。 唯一能抓住它的校检：对小的费米子体系，用「手搓动量基」与「直接对角化 $T$ 再分块」两条独立路线算 $E(k)$，逐条对比。

最大的好消息：自旋模型（本讲与作业的 $J_1$–$J_2$ XXZ）没有这个问题——自旋的”平移”是真正的比特循环移位，$T^R\lvert r\rangle=\lvert r\rangle$ 严格成立。这一页是给以后做 Hubbard、$t$–$J$ 的自己留的警告。

绕开手搓动量基：五条路线与惩罚项

手搓动量基空间最小、能做 Lanczos，但编码烦人。幻灯片给了五条路线：

# 路线 优点 缺点
1 手工构造动量基 空间最小，可做 Lanczos 编码麻烦；归一化/符号是坑
2 傅里叶变换到动量空间 解析，可算 $N\to\infty$ 只对二次型有效
3 对角化 $T$ 概念最直接，一行 eig $T$ 严重简并
4 先对角化 $H$ 再算 $T$ 最省力（$\langle\psi\lvert T\rvert\psi\rangle$ 几乎免费） 简并时要再对角化
5 对角化 $HT$ 一步得到 $Ee^{-iK}$ 非厄米

“对自旋体系傅里叶变换不起作用”是本页最重要的一问，答案是两层：表象层面 $S^\pm$ 不是正则算符；更准确地说——“能不能傅里叶变换”与”体系是不是自旋”无关，而与”哈密顿量是不是二次型”有关。一维 XX 链（$\Delta=0$）能 JW 成自由费米子、就能傅里叶变换；XXZ 链（$\Delta\ne0$）JW 后留下四费米子项，不行。这正是 TFIM 之所以”最简单可严格求解”的原因——也是下一节的伏笔。

惩罚项技巧：不构造动量基，而是把约束变成惩罚——对 $\tilde H(k)=H-\alpha e^{-ik}T$ 取实部最负的本征值。相位匹配的态实部被压到 $\omega-\alpha$（最负），不匹配的态实部更大；从 $\lambda+\alpha$ 读出能量。$N=6$ 海森堡环 $\alpha=50$ 时与动量分块逐条一致（$10^{-6}$）。

不要猜 $\alpha$，要扫描（$\alpha\gtrsim$ 谱宽，量级 $10$–$100$）：看”实部最小的本征值 $+\alpha$”什么时候稳定。也不要忘了最后的残差检查——惩罚项给出的态一般不是 $H$ 的本征矢，要扔到残差大的”人造”态。这个技巧没有”总数守恒”型的自检，残差是唯一的保护。

主线二：怎么知道贴对了——横场 Ising 严格解基准

为什么需要一台”标准砝码”

前三节造了一台复杂的机器（轨道、Check 表、投影、归一化），但机器本身会骗你（厄米性盲区已经演示过）。怎么确定动量标签贴对了？需要一个有解析答案的模型当标准砝码——算出来的每个能级都能逐条对上，任何实现错误都会暴露。

横场 Ising 模型（TFIM）是完美的选择，它同时满足三条：严格可解、有量子相变、可以在 $N=4$ 上完全验证：

  • $g=0$：基态 $\lvert\uparrow\cdots\uparrow\rangle$ 或 $\lvert\downarrow\cdots\downarrow\rangle$（铁磁，二重简并，长程序）；
  • $g\to\infty$：基态 $\lvert\rightarrow\cdots\rightarrow\rangle$（顺磁，$\sigma^x$ 极化）；
  • $g_c=1$：量子相变点，能隙在 $k=0$ 处闭合。

“$g_c=1$”就是”能隙在 $k=0$ 处闭合”——这是量子相变最常见的特征。$g<1$ 时所有 $\epsilon_k>0$；$g>1$ 时也严格为正但最小位置移到 $k=\pi$。注意 $g$ 是无量纲的（相对于 $J$），文献里 $H=-J\sum\sigma^z\sigma^z-h\sum\sigma^x$ 的临界点是 $h_c=J$，两套约定只差一个 $1/J$，混用会得到”$g_c=J$”之类的怪结论。

严格解的四步：JW → Fourier → Bogoliubov → 单粒子谱

Step 1：Jordan–Wigner。自旋 1/2 与无自旋费米子之间的映射（”非常强大”）：

本页最需要理解的一点：边界条件从哪来。 环上最后一条键 $i=N\to1$ 在 JW 后多出一个因子 $-P$，其中 $P=\prod_i\sigma^x_i=e^{i\pi M}$（$M=\sum_iC_i^\dagger C_i$ 是费米子数）。于是：

扇区 $M$ $P=(-1)^M$ 边界条件 动量指标 $n$
I 偶 $+1$ APBC（反周期） 半整数
II 奇 $-1$ PBC（周期） 整数

注意本讲幻灯片把 $\sigma^z$ 与 $\sigma^x$ 的角色换了（$\sigma^z$ 带弦、$\sigma^x$ 是数算符）——这是它自己的约定，让横场对角。读第 16–18 页必须用这个约定，套用自己习惯的约定会全符号反。

Step 2：傅里叶。$C_k=\frac1{\sqrt N}\sum_jC_je^{-ikj}$，$k=2\pi n/N$。按上表选 $n$（整数或半整数），哈密顿量写成

配对项 $i\sin k(\cdots)$ 的存在是”必须做 Bogoliubov 变换”的原因：$k$ 与 $-k$ 成对产生，粒子数不守恒。“$n$ 是半整数”不是笔误——$N=4$ 时 APBC 的动量是 $\{k_{-1.5},k_{-0.5},k_{0.5},k_{1.5}\}$，PBC 的是 $\{k_{-2},k_{-1},k_0,k_1,k_2\}$。

Step 3：Bogoliubov。引入准粒子 $C_k=u_k\gamma_k+iv_k\gamma_{-k}^\dagger$（$u_k^2+v_k^2=1$，$u_{-k}=u_k$，$v_{-k}=-v_k$），非对角项消去条件给出 $\tan\theta_k=\frac{\sin k}{g-\cos k}$。

Step 4：单粒子谱。最终

横场 Ising 模型的单粒子谱与量子临界点

读图：$g=1$（红）在 $k=0$ 处为零（能隙闭合）；$g=0.5$（蓝）与 $g=2$（绿）都严格为正，但最小位置不同（$g<1$ 在 $k="0$，$g">1$ 在 $k=\pi$）。右图 $\min_k\epsilon_k$ 精确地在 $g_c=1$ 处穿过零。

两个代码层面的坑：$\epsilon_k$ 的因子是 $2J$ 不是 $J$；tan 分母可能为零（$g=1,k=0$），要用 np.arctan2(sin k, g - cos k) 而不是 np.arctan(sin k/(g-cos k))。

多体谱：宇称扇区与四张表格

现在 $H$ 是自由准粒子，所以本征值是 $E_{\{n_k\}}=\sum_k\epsilon_kn_k-\epsilon_{\rm sum}$（每个动量模式最多一个准粒子）。但哪些 $k$ 可以被占据受宇称 $P$ 的限制：$P=+1$ 扇区用 APBC 网格、允许偶数个占据；$P=-1$ 扇区用 PBC 网格。

$N=4$ 的四张表格（每个 8 个能级，与 ED 逐条一致）：

$g$ $P$ 网格 $\epsilon_{\rm sum}$ 最低三个能级（构造值 = ED 值）
2 $+1$ APBC（$n=\pm0.5,\pm1.5$） $8.54312$ $-8.54312,\ -2.64861,\ 0$
2 $-1$ PBC（$n=0,\pm1,\pm2$） $8.47214$ $-6.47214,\ -4,\ -4$
0.5 $+1$ APBC $4.27156$ $-4.27156,\ -1.32431,\ 0$
0.5 $-1$ PBC $4.23607$ $-4.23607,\ -1,\ -1$

N=4 TFIM 的宇称分扇区能谱：JW→Bogoliubov 精确解与 ED 逐条重合

读图：每个宇称扇区有两组点——ED（实心圆）与精确解（十字），四张表格逐条重合。$g=2$（左）$P=+1$ 最低（全局基态在 $P=+1$）；$g=0.5$（右）两个扇区最低态几乎简并（差 $0.0355$）——$g$ 接近临界点时”指数小劈裂”的数值体现（$g^N=0.0625$，同量级）。

四张表格里最容易困惑的一处：为什么 $g=2,P=-1$ 的第一行是”放一个 $k=0$ 准粒子”（$-6.47214$），而 $g=0.5,P=-1$ 的第一行是”全空”（$-4.23607$）？答案在参照系：$P=-1$ 扇区对应的有效二次型（PBC 网格）有自己的 Bogoliubov 真空，真空本身就在 $P=-1$ 扇区里（这正是”PBC ↔ M 奇”自洽条件的含义）。$g=2$ 时真空（0 个占据，偶）属于 $P=+1$，所以 $P=-1$ 的最低态只能”放一个准粒子”。两种标法的能量值都是对的（已用 ED 验证），只是叙述的参照系不同。

数值上这对应一个硬规则：APBC（$P=+1$）允许偶数个准粒子占据；PBC（$P=-1$）的占据数宇称在 $g=1$ 处翻转——因为 $k=0$ 的 Bogoliubov 角从 $\theta=0$（$g>1$）跳到 $\theta=\pi$（$g<1$）。别把这个细节写死成”奇/偶”，它在临界点会背叛你。

g ↔ 1/g 对偶：一台免费的 bug 检测器

$g=0.5$ 的 $\epsilon_{\rm sum}$ 与 $g=2$ 的精确成 2 倍关系（两组都是：$4.27156\times2=8.54312$，$4.23607\times2=8.47214$）。这不是巧合——$\sqrt{1+g^2-2g\cos k}$ 在 $g\to1/g$ 下只差一个整体因子，而 $g=2$ 与 $g=0.5$ 互为倒数。

这是一台免费的 bug 检测器：如果你在 $N=4$ 上算出的两个 $g$ 不成 2 倍关系，那一定有 bug。注意对偶只在 $g$ 与 $1/g$ 之间成立，且需要相同的边界条件/宇称扇区。

主线三：为什么值得算准 E(k)——拓扑物态

前 22 页把机器建好、并用严格解标定。第 23–31 页告诉你这套机器现代真正被用来做什么：拓扑物态。

从能带到陈数：2016 年诺贝尔奖

“for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter”。Thouless（TKNN 公式：霍尔电导的量子化由陈数决定）、Haldane（无朗道能级的量子霍尔效应模型）、Kosterlitz（KT 相变）。

三人的共同点：相变/相的分类不靠对称性破缺，而靠拓扑。朗道范式（相变 = 对称性破缺、序参量非零）在这里失效：拓扑相变没有局域序参量，相的区别在于整体拓扑不变量（陈数、缠绕数）。最著名的例子是量子霍尔效应：$\sigma_{xy}=\nu e^2/h$ 的 $\nu$ 就是 TKNN 陈数，对杂质、无序完全免疫——这就是量子霍尔效应精度极高的原因（现在用于定义电阻标准）。

Haldane 模型的贡献（PRL 61, 2015 (1988)）：一个零磁场下就出现量子霍尔效应的格点模型。机制不是朗道量子化，而是能带的拓扑。“无朗道能级”的关键：模型没有净磁场（整个元胞的净通量为零），但有规范场（次近邻跳跃带相位 $t_2e^{i\phi}$）。相位只在”绕一圈”时显现——这正是拓扑现象的特征。

平带 + 相互作用 = 分数 Chern 绝缘体

从”整数”到”分数”：Haldane 的 $\nu=\pm1$ 是整数量子霍尔效应，由单粒子能带的拓扑决定，不需要相互作用。而 $\nu=1/3,2/5,1/5,\ldots$ 是分数量子霍尔效应（FQHE），必须由相互作用产生——单粒子能带的一个陈数只能给出整数 $\nu$。

核心等式（2011 年三篇 PRL 同时提出）：

非平庸的拓扑指标 + 近平带 = 朗道能级

真实 FQHE 发生在朗道能级上（动能被冻结，相互作用主导）。FCI 的构想：既然”动能冻结”是关键，能否用平的能带来模拟它？——可以：格点模型的平带（带宽 $W\ll U$）物理上等价于一个朗道能级，而且可能在零磁场、较高温度下实现。

具体的平带模型（Sun–Gu–Katsura–DasSarma, PRL 106, 236803）：方格格子、两个子晶格 $A/B$、三个跳跃项（$t=1$，$t’_1=-t’_2=\frac1{2+\sqrt2}$，$t’’=\frac1{2+2\sqrt2}$）。动量空间是 $2\times2$ 矩阵：

其中 $d_x=4t\cos\phi\cos\frac{k_x}{2}\cos\frac{k_y}{2}$，$d_y=4t\sin\phi\sin\frac{k_x}{2}\sin\frac{k_y}{2}$，$d_z=(t’_1-t’_2)(\cos k_x-\cos k_y)$。“平带”意味着 $E_-$ 几乎与 $\mathbf k$ 无关——需要 $d_0$ 与 $\lvert\mathbf d\rvert$ 的依赖几乎相消，$t’’$ 就是为此精确调节的。

SGKDS 平带模型：最低带几乎平坦，陈数 C=-1

读图：左图为最低带 $E_-(\mathbf k)$ 的三维曲面——几乎是一个平面（带宽 $W$ 很小）。右图为最低带能量分布。

陈数：$C=\frac1{4\pi}\int_{BZ}d^2k\ \hat{\mathbf d}\cdot(\partial_x\hat{\mathbf d}\times\partial_y\hat{\mathbf d})$ 是 $\hat{\mathbf d}:\ T^2\to S^2$ 的缠绕数，必须为整数。$\phi\ne0$ 是必要的：$\phi=0$ 时 $\mathbf d$ 只在 $xz$ 平面、不可能缠绕球面，且两条能带在 $(\pi,\pi)$ 处狄拉克点相交（$\lvert\mathbf d\rvert=0$），陈数无定义。数值验证：$\phi=1$ 时 $C=-1$（精确）。

数值计算的坑：本模型含 $\cos(k_x/2)$ 这样的半角项（子晶格相差半个元胞），$\mathbf d$ 在 $k_x\to k_x+2\pi$ 下反周期。直接在朴素 BZ 网格上做 Wilson 环会得到趋零的错误结果；正确做法是把 B 分量乘上 $e^{i(k_x+k_y)/2}$ 做周期规范变换再算陈数。把半角写成整数角 $k_x$ 会得到完全错误的能带。 这个”反周期性”与 TFIM 里”半整数动量”是同一个物理的两个版本——子晶格/费米子绕一圈带回一个 $-1$。

多体陈数：ED 的现代用武之地

加上分数填充与相互作用（$H=-H_0+U\sum n_in_j+V\sum n_in_j$），ED 的输出是”能量谱”图 $E_0(k_x,k_y)$（基态能量平移到零后按动量扇区画）。FQH 态的两个特征：

特征 图像上的样子 物理
简并基态流形（GSM） 一批几乎在 0 处重合的点 拓扑简并
大能隙 第一批激发态明显高于 0 有限能隙

$U=0$ 时谱”杂乱无章”；$U=1$ 时出现简并基态流形与大能隙。“相互作用开启 FQH 态”表现为”谱从杂乱变成有序”。

多体陈数是决定性的判据（比看能隙强得多）：

$\theta_x,\theta_y$ 是边界相位（扭曲边界条件）。单粒子陈数在布里渊区上积分，多体陈数在边界相空间上积分——为什么用边界相位？因为多体陈数的定义需要”绝热循环”，而 $\theta_x,\theta_y$ 天然构成一个环面。这与第 26 页判据”基态流动”是同一件事。

一个看似矛盾的说法：幻灯片说”fractional Chern number”，但多体陈数 $C$ 本身是整数。”分数”指的是”陈数/填充数”这个比值（$\sigma_{xy}=\nu e^2/h$ 的 $\nu$ 是分数，对 $1/3$ 填充 $C=1$）。不要把”分数陈数”理解成”$C$ 是分数”。

数值实现（Fukui–Hatsugai–Suzuki）：只算相邻 $\theta$ 点的重叠积分的 Wilson 环相位，不需要求导。FQH 相的”累积 Berry 相位”曲线线性上升（总相位 $2\pi C$），FL 相大范围波动（非普适）——斜率的整数化 = 拓扑量子化。

更高陈数（Yang–Gu–Sun–Das Sarma, PRB 86, 241112(R) (2012)，第一作者是本课程授课教师）：$C=2$ 的平带对应 $1/3$ 玻色子 FQHE。为什么有意义：不同陈数给出不同的 FQH 态、更丰富的拓扑激发（非阿贝尔统计等）。三幅数据图的关键是 (e)能隙标度——把能隙对 $1/N_s$ 作图外推，区分”真能隙”与”有限尺寸假象”，这是 ED 研究里必须做的一步。

2023：理论与实验的闭环

第 25 页的三篇理论论文发表于 2011 年。12 年后，实验终于在摩尔超晶格中观测到分数 Chern 绝缘体的信号：

论文 体系 测量 结论
Cai et al., Nature 622, 63 (2023) 扭转 MoTe$_2$ 输运 分数化的霍尔电导、零磁场下 FQAH 信号
Zeng et al., Nature 622, 69 (2023) 摩尔 MoTe$_2$ 热力学 分数 Chern 绝缘体的热力学证据
Han et al., Science 384 (2024) 菱面体石墨烯 输运 大量子反常霍尔效应，$\hbar/5e^2$ 量子化

“零磁场”为什么重要：传统 FQHE 需要 $10$–$30$ T、$\sim10$ mK、高纯异质结；FQAH/FCI 在 $0$ T、数十 mK 到几 K、二维材料/摩尔超晶格上实现，可集成做器件。

这三篇实验论文的理论解释全部依赖 ED：构造模型 → ED 求基态 → 算多体陈数 → 检查简并/能隙/基态流动 → 与实验对照。本讲那套”对称性 + 动量分块”的机器，在 2023 年的实验论文背后仍然是核心工具。 这就是”给本征值贴标签”的终极回报——贴对了标签的 $E(k)$，是别人实验数据的理论对接口。

作业要点与评分

作业（Lecture04_Homework）：$J_1$–$J_2$ XXZ 环的对称性、动量分块与 $E(k)$，与第 5–10 页一一对应。

评分（100 分）：哈密顿量与对称性 15、$U(1)$ 与动量扇区 20、动量分块哈密顿量 25（最高）、$E(k)$ 与物理 20、必做校检 20。最高分给了第 9 页的核心公式，20 分给了”验证”——说明本课程最看重的是”验证”而不是”算出结果”，与用严格解标定机器的精神一致。

四条必做校检（先做 $\lVert\hat T^N-\hat{\mathbb{1}}\rVert$——它是唯一不需要构造 $H$ 就能做的，抓住”$T$ 定义错”这类最根本错误）：

校检 在查什么
$N=4$ 直接对角化 分块或归一化错误
$\lVert\hat T^N-\hat{\mathbb{1}}\rVert$ rot 写错、不是循环移位
$H_k$ 的厄米性 相位/归一化一致
$\sum_k\dim_k=\dim$ 漏态/重态

参考实现的关键数字（作业里应当逐条核对）：$\dim=12870$、$n_{\rm rep}=810$、各 $k$ 维度平均 $804.375$；$E_0(J_2=0)=-7.142296360617$、$E_0(\pi)-E_0(0)=0.270189682250$；$E_0(J_2=0.5)=-6.0=-3N/8$ 二重简并；二聚体态 $\langle D_0\lvert D_1\rangle=7.8125\times10^{-3}$、$\langle T\rangle$ 对 $\lvert D_0\rangle$ 是 $0.00781250$（不是相位）、对对称组合是 $\pm1.00000000$。

最后一个漂亮点：$J_2=0$ 时 $\Delta_s$（自旋能隙）与 $E_1-E_0$ 相等（第一激发是 $SU(2)$ 三重态）；$J_2=0.5$ 时 $E_1-E_0=0$（MG 简并）但 $\Delta_s\ne0$。“能隙”的定义必须明确是”能量差”还是”自旋能隙”。

校检清单

# 校检什么 期望 实测
1 $\dim(S^z_{tot}=0,\ N=16)$ $12870$ $12870$
2 代表态数 / 轨道长度分布 810 / $\{16:800,8:8,4:1,2:1\}$ 一致
3 $\sum_k\dim_k=\dim$ $12870$ $12870$
4 $H_k$ 厄米 0 $\le2\times10^{-15}$
5 动量块并集 = 全空间 ED（$N=6$） 逐条 $3\times10^{-15}$
6 $E_0(k=0),\ E_0(\pi)$（$J_2=0$） $-7.1423,\ -6.8721$ 一致
7 $E_0(k=0)=E_0(\pi)=-6.0$（$J_2=0.5$） MG 简并 一致
8 TFIM 四组多体谱 vs ED 逐条 $32/32$
9 $\epsilon_k$ 最小值的闭合点 $g=1,\ k=0$ 一致
10 $g\leftrightarrow1/g$ 对偶（$N=4$） 能量差 2 倍 一致
11 惩罚项 vs 动量分块（$\alpha=50$） 逐条 $\le10^{-6}$
12 SGKDS 平带陈数（$\phi\ne0$） $\lvert C\rvert=1$ $-1$（精确）

附：复现用的代码工具箱

本讲所有图都可以用下面这个工具箱复现（只需 numpy + scipy）。放到 ed4.py：

"""ED4 toolbox: spin-ring momentum blocks + TFIM exact.

Conventions (Lecture 04):
  bit j = site j, 1 = spin up;  T|s> = |rot(s,+1)> (cyclic shift)
  P_k = (1/N) sum_j e^{+i 2pi k j / N} T^j   (NOTE the + sign)
  <r'_k|H|r_k> = sqrt(R_r' R_r)/N * sum_j e^{+i2pi kj/N} <T^{-j} r'|H|r>
"""
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
from scipy.sparse.linalg import eigsh


def popcount(x):
    return bin(int(x)).count('1')


def rot(s, N, m=1):
    """Cyclic shift: site j moves to (j+m) mod N.  Must wrap, not s>>1."""
    t = 0
    for j in range(N):
        if (s >> j) & 1:
            t |= 1 << ((j + m) % N)
    return t


def xxz_ring_matrix(N, J1, J2, Delta, states=None):
    """Sparse J1-J2 XXZ ring (bit basis, 1 = up)."""
    if states is None:
        states = list(range(1 << N))
    idx = {s: i for i, s in enumerate(states)}
    D = len(states)
    rows, cols, vals = [], [], []
    for i, s in enumerate(states):
        e = 0.0
        for (J, d) in ((J1, 1), (J2, 2)):
            for j in range(N):
                b1 = (s >> j) & 1
                b2 = (s >> ((j + d) % N)) & 1
                e += J * Delta * (b1 - 0.5) * (b2 - 0.5)
        rows.append(i); cols.append(i); vals.append(e)
        for (J, d) in ((J1, 1), (J2, 2)):
            for j in range(N):
                k = (j + d) % N
                if ((s >> j) & 1) != ((s >> k) & 1):
                    t = s ^ (1 << j) ^ (1 << k)
                    if t in idx:
                        rows.append(idx[t]); cols.append(i); vals.append(J / 2)
    return sp.csr_matrix((vals, (rows, cols)), shape=(D, D))


def orbit_data(states, N):
    """rep[s] = min integer in orbit, period[s] = orbit length, reps sorted."""
    period = {s: len({rot(s, N, m) for m in range(N)}) for s in states}
    rep = {s: min(rot(s, N, m) for m in range(N)) for s in states}
    reps = sorted({rep[s] for s in states})
    return rep, period, reps


def momentum_blocks(N, J1, J2, Delta, states=None, Sztot=None):
    """Return (Hk_dict, meta) with Hk[k] the n_rep x n_rep momentum block."""
    if states is None:
        states = ([s for s in range(1 << N) if popcount(s) == Sztot]
                  if Sztot is not None else list(range(1 << N)))
    idx = {s: i for i, s in enumerate(states)}
    D = len(states)
    H = xxz_ring_matrix(N, J1, J2, Delta, states)
    rep, period, reps = orbit_data(states, N)
    B = np.zeros((D, len(reps)))
    for a, r in enumerate(reps):
        B[idx[r], a] = 1.0
    Y = H @ B                                    # (D, n_rep) -- H applied ONCE
    A = np.array([[idx[rot(r, N, -j)] for j in range(N)] for r in reps], dtype=int)
    R = np.array([period[r] for r in reps], float)
    Hk = {}
    for k in range(N):
        keep = [a for a in range(len(reps)) if (k * period[reps[a]]) % N == 0]
        if not keep:
            Hk[k] = np.zeros((0, 0), complex); continue
        YA = Y[A[keep]]                          # (n_keep, N, n_rep)
        ph = np.exp(2j * np.pi * k * np.arange(N) / N)
        Z = np.tensordot(YA, ph, axes=(1, 0))[:, keep]
        M = np.sqrt(np.outer(R[keep], R[keep])) / N * Z
        Hk[k] = 0.5 * (M + M.conj().T)           # project to Hermitian
    meta = dict(D=D, n_rep=len(reps), R=R, reps=reps, period=period,
                dims=[Hk[k].shape[0] for k in range(N)])
    return Hk, meta


def ek_from_blocks(Hk, klist, nev=1):
    """Lowest `nev` eigenvalues of each momentum block."""
    out = {}
    for k in klist:
        M = Hk[k]
        if M.shape[0] == 0:
            out[k] = np.array([]); continue
        if M.shape[0] <= nev * 4:
            w = np.linalg.eigvalsh(M)
        else:
            w, _ = eigsh(M, k=nev, which='SA')
        out[k] = np.sort(np.real(w))[:nev]
    return out


# ---------------- TFIM exact solution  H = -sum_i (g sigma^x + sigma^z sigma^z) ----------------
def tfim_sp(N, g):
    """Single-particle spectrum.  P=-1 (M odd) -> PBC, n integer;
    P=+1 (M even) -> APBC, n half-integer.  Returns dict sector -> (ks, eps, eps_sum)."""
    out = {}
    for label, half in (("P=-1", False), ("P=+1", True)):
        ks = 2 * np.pi * (np.arange(N) + (0.5 if half else 0)) / N
        eps = 2.0 * np.sqrt(1 + g * g - 2 * g * np.cos(ks))
        out[label] = (ks, eps, 0.5 * eps.sum())
    return out


def tfim_manybody(N, g, sector):
    """Enumerate the free-fermion many-body spectrum in a parity sector.
    Occupancy parity rule: APBC (P=+1) -> even gamma-count;  PBC (P=-1) ->
    odd count for g>1, even count for g<1 (the k=0 Bogoliubov branch flips at g=1)."""
    ks, eps, eps_sum = tfim_sp(N, g)[sector]
    even = (sector == "P=+1") or (sector == "P=-1" and g < 1.0)
    E = []
    for mask in range(1 << N):
        M = popcount(mask)
        if (M % 2 == 0) != even:
            continue
        idx = np.where(np.array([(mask >> i) & 1 for i in range(N)]))[0]
        E.append(np.sum(eps[idx]) - eps_sum)
    return np.sort(np.array(E))


def tfim_matrix(N, g):
    """Full 2^N x 2^N TFIM matrix (ring) and parity P = prod sigma^x."""
    D = 1 << N
    H = np.zeros((D, D))
    for i in range(D):
        e = 0.0
        for j in range(N):
            b1 = (i >> j) & 1
            b2 = (i >> ((j + 1) % N)) & 1
            e -= (2 * b1 - 1) * (2 * b2 - 1)
        H[i, i] = e
        for j in range(N):
            H[i, i ^ (1 << j)] += -g
    P = np.zeros((D, D))
    for i in range(D):
        P[i, D - 1 - i] = 1.0                     # bitwise NOT = flip all spins
    return H, P


def tfim_ed_by_parity(N, g):
    """ED spectrum split by parity P=+-1."""
    H, P = tfim_matrix(N, g)
    w, V = np.linalg.eigh(H)
    pvals = np.diag(V.conj().T @ P @ V).real      # must be +-1 (use matmul, not einsum!)
    out = {"P=+1": [], "P=-1": []}
    for e, p in zip(w, pvals):
        out["P=+1" if p > 0 else "P=-1"].append(e.real)
    for lab in out:
        out[lab] = np.sort(np.array(out[lab]))
    return out

注：动量分块的核心是一次 $H$ 作用（$Y=HB$）再加一次 tensordot（$\sum_je^{i2\pi kj/N}Y[A[a,j],\cdot]$），严格对应第 9 页公式。tfim_manybody 里的宇称规则见”多体谱”一节：APBC（$P=+1$）允许偶数个准粒子占据；PBC（$P=-1$）的占据数宇称在 $g=1$ 处翻转（$k=0$ 的 Bogoliubov 角从 $\theta=0$ 跳到 $\theta=\pi$）。用 np.diag(V^T P V) 而不是 np.einsum('in,nm,im->i', ...) 取宇称（后者对实正交 $V$ 会算错——这是个真实踩过的坑）。

延伸阅读与作业

  • 讲义：第四讲幻灯片（33 页）与配套逐页中文讲义 Lecture04_Notes.pdf。
  • 作业：Lecture04_Homework.md——$J_1$–$J_2$ XXZ 环的对称性、动量分块与 $E(k)$，100 分含必做校检。
  • 严格解：S. Sachdev, Quantum Phase Transitions（第 4.2 章，TFIM 标准参考）；P. Jordan & E. Wigner, Z. Phys. 47, 631 (1928)；Bogoliubov (1947)。
  • 拓扑：Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs (TKNN), PRL 49, 405 (1982)；Haldane, PRL 61, 2015 (1988)；Sun, Gu, Katsura, Das Sarma, PRL 106, 236803 (2011)；Sheng, Gu, Sun, Sheng, Nat. Commun. 2, 389 (2011)；Yang, Gu, Sun, Das Sarma, PRB 86, 241112(R) (2012)。
  • 实验：Cai et al., Nature 622, 63 (2023)；Zeng et al., Nature 622, 69 (2023)；Han et al., Science 384, 6696 (2024)。