统计力学简史

从这一节开始，我们使用统计的方法看待物理问题。一开始的时候，物理学家倾向于从微观世界导出宏观统计量（比如克劳修斯导出压强公式$P=\frac13 nm \bar{v^2}$，当然，在麦克斯韦公式修正之前，克劳修斯用的是平均速率的平方），这是基于纯力学的原理。接着，麦克斯韦从概率的角度推导出了气体分子速率公式。至此为止，所有的初级统计理论被称为气体分子运动学，以区分后面的统计热力学。

玻尔兹曼在麦克斯韦公式的基础上，进行了推广，得到了麦克斯韦-玻尔兹曼分布（这也是我们即将讨论的内容）。可惜的是，这一分布只适用于近独立子系（该节标题的来源）。吉布斯突破了这一限制，其系综理论后续启发了玻色研究理想光子气体，并得到了爱因斯坦的赞赏（他后续预言了玻色-爱因斯坦凝聚，这或许是玻色-爱因斯坦分布的来源）。泡利提出不相容原理后，费米和狄拉克提出了费米-狄拉克分布。

所以我们的学习大致按照历史的规律，先学习近独立系统中的三大统计分布：

再学习系综理论。在此之前，我们得先对基本的描述语言进行熟悉。

系统微观运动状态的描述

三大统计分布来源于统计中的组合问题，放小球的过程中，前一个小球的状态不会影响后一个小球的状态，这在物理上反映了三大统计分布的第一个假设——几乎无相互作用。当然，可以忽略不代表没有，因为没有相互作用的粒子是不可能弛豫到平衡态的。这样一个系统的能量可以表达为单个粒子的能量之和：

$E=\sum_i \epsilon_i$

我们直接使用量子力学的描述语言，并通过经典极限拓展到经典情况。在量子力学中，系统是由全同粒子（具有完全相同的内禀性质的粒子）组成的。全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，那么交换两个全同粒子，不改变系统的微观状态。这一点与经典系统完全不一样，在经典系统中，粒子可以通过位置来辨认。全同性原理表示，所有的系统理论上都应该使用量子描述。

实际上，有两种系统可以近似认为是玻尔兹曼系统：一是由定域粒子组成的系统，二是当玻色/费米系统满足经典极限条件时，可以处理为玻尔兹曼系统。前者是因为可以通过位置来分辨粒子（这也是“定域”的意思），又或者说，使用全同性原理处理带来的不确定性引入对精度的提升很小；后者单纯是因为在数学上可以近似为$\Omega_{BE/FD}=\frac{\Omega_{MB}}{N!}$，即玻尔兹曼系统的微观状态数除以$N!$，但粒子仍然是不可分辨的。

在此基础上，全同粒子又分为玻色子和费米子。玻色子是具有整数自旋的粒子，不受泡利不相容原理的约束；费米子是具有半整数自旋的粒子，受到泡利不相容原理的约束。

自由粒子的态密度

既然我们讨论的是近独立粒子体系，那么自然可以认为他们是自由的。为避免全文符号歧义，先约定本节的记号：

符号	含义
$N$	粒子数
$\epsilon_l,\ \omega_l,\ a_l$	能级能量、能级简并度、能级上的粒子数
$r$	空间维度，本节取$r=1,2,3$
$V_r$	$r$维体积，$V_1=L$，$V_2=S$，$V_3=V$
$D_r(p),\ D_r(\epsilon)$	动量空间态密度、能量空间态密度

注意$r$是空间维度，不要与粒子数$N$混淆；$\omega_l$是简并度，而玻色统计和费米统计中以频率为自变量时也写作$\omega$，需要按上下文区分。另外本节所有$D_r$都未计入自旋简并度，计入$g_s$后整体乘$g_s$。

在量子力学中，自由粒子在方势阱中的动量满足（记$h=2\pi\hbar$）：

$p_i=\frac{h}{L}n_i$ $\epsilon=\sum_i \frac{p_i^2}{2m}=\frac{h^2}{2mL^2}\sum_i n_i^2$

如果满足能级准连续条件，在动量间隔$p_i\sim p_i+dp_i$内，可能的$p_i$的数目为：

$dn_i=\frac{L}{h}dp_i$

总的量子态数为：

$\prod_{i=1}^rdn_i=\frac{V_r}{h^r}\prod_{i=1}^rdp_i$

同样的道理，如果用动量空间的球坐标系$p,\theta,\varphi$描述：

$\prod_{i=1}^rdn_i=\frac{V_r}{h^r}d^rp^{r-1}\sin\theta\,d\Omega=\frac{V_r}{h^r}S_{r-1}\,p^{r-1}dp$

其中$S_{r-1}=\frac{2\pi^{r/2}}{\Gamma(r/2)}$是$r-1$维球面的面积，$S_0=2,\ S_1=2\pi,\ S_2=4\pi$。据此定义动量空间态密度（壳层$|p|\sim p+dp$内的状态数）：

$D_r(p)dp=\prod_{i=1}^rdn_i=\frac{V_r}{h^r}S_{r-1}p^{r-1}dp$

再由能量和动量的关系做换元：

$\epsilon=\frac{p^2}{2m}\Rightarrow p=\sqrt{2m\epsilon},\quad \frac{dp}{d\epsilon}=\frac{m}{p}=\sqrt{\frac{m}{2\epsilon}}$

这就是能量空间态密度，它与$D_r(p)$由换元关系相连：

$D_r(\epsilon)d\epsilon=D_r(p)dp$ $D_r(\epsilon)=\frac{V_r}{h^r}S_{r-1}p^{r-1}\frac{dp}{d\epsilon}=\frac{V_r}{h^r}S_{r-1}\,m\,p^{r-2}=\frac{V_r}{h^r}S_{r-1}\,m\,(2m)^{\frac{r-2}{2}}\epsilon^{\frac{r-2}{2}}$

可见$p$的幂次因为$d\epsilon\propto pdp$而降低了$1$（由$p^{r-1}$变成$p^{r-2}$），这一点在下面的幂律中会看得更清楚。

对三维气体，$S_2=4\pi$，就回到最熟悉的形式：

$D_3(p)dp=\frac{4\pi Vp^2}{h^3} dp$ $D_3(\epsilon)d\epsilon=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^\frac32\epsilon^\frac12 d\epsilon$

1、2、3 维的态密度

代入$V_1=L,V_2=S,V_3=V$和$S_0=2,S_1=2\pi,S_2=4\pi$，三种维度的结果为：

$r$	$D_r(p)$	$D_r(\epsilon)$
1	$\dfrac{L}{\pi\hbar}$	$\dfrac{L}{2\pi\hbar}\sqrt{\dfrac{2m}{\epsilon}}$
2	$\dfrac{Sp}{2\pi\hbar^2}$	$\dfrac{S}{2\pi} \dfrac{m}{\hbar^2}$
3	$\dfrac{Vp^2}{2\pi^2\hbar^3}$	$\dfrac{V}{4\pi^2}(\dfrac{2m}{\hbar^2})^\frac32\sqrt{\epsilon}$

两个幂律一目了然：

$D_r(p)\propto p^{r-1},\qquad D_r(\epsilon)\propto\epsilon^{\frac{r-2}{2}}$

即$r=1,2,3$时能量空间态密度依次是$\epsilon^{-\frac12},\epsilon^0,\epsilon^{\frac12}$，而动量空间态密度是纯粹的幂级数$p^0,p^1,p^2$。两者的差别只来自$d\epsilon\propto pdp$，也就是相空间体积守恒。

表中$D_1(p)=\frac{L}{\pi\hbar}$而不是$\frac{L}{2\pi\hbar}$，多出来的因子来自$S_0=2$，对应$p$的正负两个方向（$n_i$遍历全体整数时$\pm p$已经包含在$\frac{L}{h}dp$里）。这里如果误写成$\frac{L}{2\pi\hbar}$，那么由$D_1(\epsilon)=D_1(p)\frac{dp}{d\epsilon}$得到的能量态密度就会大一倍。$D_1(\epsilon)$正是 Quantum Dynamics & Quantum Geometry 中朗道能级态密度所需的因子。

用波数$k=p/\hbar$重写同样的结果，计数因子变为$\frac{V_r}{(2\pi)^r}$，即$D_r(k)dk=\frac{V_r}{(2\pi)^r}S_{r-1}k^{r-1}dk$，这一记法被能带论和晶格动力学采用，与上式是同一结果的两种写法。多粒子系统则把$V_r$替换为$V_r^N$。

态密度与热波长

态密度的一次拉普拉斯变换就给出单粒子的配分函数：

$Z_1=\int_0^\infty D_r(\epsilon)e^{-\beta\epsilon}d\epsilon$

把上表逐一代入（三维用$D_3(\epsilon)=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^\frac32\epsilon^\frac12$等），三种维度都给出同一个漂亮的形式：

$Z_1=\frac{V_r}{\lambda^r},\qquad \lambda\equiv\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}$

其中$\lambda$称为德布罗意热波长，物理上就是粒子在温度$T$下的热运动波包大小。这一结果说明”态密度”与”配分函数”其实是同一件事的两种语言：前者按能量数状态，后者把所有状态的玻尔兹曼权重$e^{-\beta\epsilon}$加起来。$r=3$时$Z_1=\frac{V}{\lambda^3}$；$r=2$时$Z_1=\frac{S}{\lambda^2}$，这个二维形式在系综理论的面吸附中会直接用到。

后面玻尔兹曼统计和玻色统计和费米统计中的逸度$z=\frac{N}{Z_1}=n\lambda^r$、非简并判据$\lambda\ll n^{-1/r}$都以$\lambda$为尺度（$n=N/V_r$）。

下面把这一节的两个要点展开说明：$V_r$ 和 $\lambda$ 各从哪来，以及换一种能量关系会得到什么。

相空间因子与势场

$Z_1=\frac{V_r}{\lambda^r}$ 其实就是一个相空间计数——每个量子态恰好占据一个相空间胞元 $h^r$，所以

$\frac{1}{h^r}\int\underbrace{d^dr}_{\text{位置积分}\;\Rightarrow\;V_r}\underbrace{d^dp}_{\text{动量积分}\;\Rightarrow\;\propto\,\lambda^{-r}}=\frac{V_r}{\lambda^r}=Z_1$

动量积分之所以正比于 $\lambda^{-r}$，是因为热动量的尺度就是 $p=h/\lambda$（可直接验证 $h/\lambda=\sqrt{2\pi mkT}$）。用这个读法，逸度的意义就变得很具体：

$z=\frac{N}{Z_1}=\frac{N}{V_r}\lambda^r=n\lambda^r=\text{平均每个粒子能占到的“热态数”}$

$z\ll1$ 表示每个粒子都独占自己的胞元（经典、可分辨）；$z\sim1$ 表示胞元开始重叠，必须改用玻色或费米统计。

但要注意：$V_r$ 之所以能这样单独提出来，是因为盒内势能为常数。 此时 $\epsilon$ 只依赖动量、位置与动量变量可分离，$\int d^dr$ 才等于体积。一旦有非平凡势场，位置积分就不再是 $V_r$，而是构型积分 $Q=\int e^{-\beta U(\mathbf r)}d\tau$（见系综理论的实际气体一节），有时还需要引入额外的量子数。几个典型例子：

势场	能量本征值	态密度 / 配分函数
谐振子陷阱	$\epsilon=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2r^2$	$Z_1=\left[2\sinh!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\right]^{-3}\xrightarrow{T\to0}\frac{1}{(\beta\hbar\omega)^3}$
均匀磁场（朗道能级）	$\epsilon_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right)$	离散谱，$D(\epsilon)\propto\sum_n\delta\left(\epsilon-\hbar\omega_c(n+\frac12\right)$），能级准连续条件失效，须逐能级求和，见 Quantum Dynamics & Quantum Geometry
周期势（晶体）	$\epsilon_n(\mathbf{k})$，需引入带指标$n$	须对各条能带分别求和，这是能带论的出发点

谐振子陷阱在 $\epsilon\gg\hbar\omega$ 时给出

$D(\epsilon)=\frac{\epsilon^2}{2(\hbar\omega)^3}$

注意它的幂次 $\epsilon^2$ 与光子气体完全相同——可见 $D$ 的幂次由势场（也就是能量-动量关系）决定，而不取决于粒子是玻色还是费米。

盒子语言与幂次

上面整套推导只用到 $p_i=\frac{h}{L}n_i$ 与 $dn_i=\frac{L}{h}dp_i$，这两步是纯运动学的计数，与 $\epsilon(p)$ 的具体形式无关。所以换一种色散关系，整套推导原封不动，只需重做换元那一步：

$\underbrace{\epsilon=\frac{p^2}{2m}=\frac{h^2n^2}{2mL^2}\;\Rightarrow\;\epsilon\propto L^{-2}=V^{-2/3}}_{\text{非相对}}\qquad \underbrace{\epsilon=cp=\frac{ch\,n}{L}\;\Rightarrow\;\epsilon\propto L^{-1}=V^{-1/3}}_{\text{光子}}$

于是 $\epsilon_F$ 就是一个纯粹的体积幂次。校验一下：两种情形都给出

$N=\int_0^{\epsilon_F}D(\epsilon)d\epsilon=\frac{4\pi}{3}n_F^3$

与 $V$ 完全无关（因为 $V\epsilon^{s+1}\sim L^3\cdot L^{-3}=1$），所以最高量子数 $n_F$ 只由 $N$ 决定。这正是前面表格里 $D_r(\epsilon)\propto\epsilon^{\frac{r-2}{2}}$ 的直接推论。记 $s$ 为 $D(\epsilon)$ 中 $\epsilon$ 的幂次，则

$N\propto V\mu^{s+1}\;\Rightarrow\;\mu\propto V^{-\frac{1}{s+1}},\qquad \frac{U}{N}=\frac{s+1}{s+2}\mu$

最后由 $p=-\frac{\partial U}{\partial V}$ 得通则

$\boxed{p=\frac{1}{s+1}\frac{U}{V}}$

非相对 $s=\frac12\Rightarrow p=\frac23\frac UV$（对应 $U=\frac35N\epsilon_F$）；光子 $s=2\Rightarrow p=\frac13\frac UV$（对应 $U=3PV$）。这正是玻色统计和费米统计里两个系数的同一来源——那里只是换用了配分函数语言。

系统统计状态的描述

分布和微观状态

一个宏观系统有确定的粒子数$N$，能量$E$和体积$V$。约定在$\{\epsilon_l\}$能级系统上粒子数的分布为$\{a_l\}$，能级的简并度为$\omega_l$。同时需要满足条件：

$\sum_l a_l=N,\sum_l a_l\epsilon_l=E$

需要明确分布和微观状态是两个不同的概念。给定一个分布$\{a_l\}$，其下具有若干不同的微观状态。举个粒子，知道该能级上具有3个简并态和2个粒子，三种系统具有不同的微观状态数：

系统	微观状态数
玻尔兹曼系统	$3^2=9$
玻色系统	$3+C_3^2=6$
费米系统	$C_3^2=3$

统计分布要做的，就是找到哪一种分布下$\{a_l\}$的概率$P$最大，这个分布被称为最概然分布。这时候需要引入等概率原理。等概率原理是指在一个孤立系统中，所有的微观状态出现的概率是相等的。也就是说，我们可以将问题转化为求解“哪一种分布下$\{a_l\}$的微观状态数$\Omega$最大”。在求解这一极值问题之前，需要先对系统的微观状态进行描述。

玻尔兹曼系统

玻尔兹曼系统是由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。此时，每个简并态都有可能存放一个粒子，在该能级上的微观状态数就是$\omega_l^{a_l}$，总的微观数就是$\prod_l \omega_l^{a_l}$。考虑到N个粒子是可分辨的，所以需要乘以交换数$N!$；这一交换数多考虑了同一能级下的粒子交换，需要除以每个能级的交换数$\prod_l a_l!$。所以玻尔兹曼系统的微观状态数为：

$\Omega_{MB}=\frac{N!}{\prod_la_l!}\prod_l \omega_l^{a_l}$

玻色系统

把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。

$\Omega_{BE}=\prod_l\frac{(\omega_l+a_l-1)!}{a_l!(\omega_l-1)!}$

这个高中学过的不可分辨小球装箱子有异曲同工之妙；如果小球是不可分辨的，那么状态数可以通过隔板法求解，即从$\omega_l+a_l-1$个位置插入$\omega_l-1$个隔板：$\frac{(\omega_l+a_l-1)!}{a_l!(\omega_l-1)!}$。

费米系统

把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。这时候$\omega_l\geq a_l$，所以化为简单的排列组合问题：

$\Omega_{FD}=\prod_l\frac{\omega_l!}{a_l!(\omega_l-a_l)!}$

非简并条件

如果一个系统满足

$\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1,\forall l$

这说明系统的能级分布是非简并的，即每个能级上的粒子数远小于能级的简并度。这个条件是经典极限条件的一部分，另一部分就是能级准连续条件。

$\Omega_{BE}=\prod_l\frac{(\omega_l+a_l-1)!}{a_l!(\omega_l-1)!}=\prod_l\frac{(\omega_l+a_l-1)(\omega_l+a_l-2)\cdots\omega_l}{a_l!}\approx\prod_l\frac{\omega_l^{a_l}}{a_l!}$ $\Omega_{FD}=\prod_l\frac{\omega_l!}{a_l!(\omega_l-a_l)!}=\prod_l\frac{(\omega_l-a_l+1)(\omega_l-a_l+2)\cdots\omega_l}{a_l!}\approx\prod_l\frac{\omega_l^{a_l}}{a_l!}$

所以

$\Omega_{BE}=\Omega_{FD}=\frac{\Omega_{MB}}{N!}$

直观上理解为什么非简并条件会导致以上关系：当每个能级上的粒子数远小于简并态数目的时候，违反泡利不相容原理的情况就很少了，所以$\Omega_{BE}=\Omega_{FD}$；同时，由于粒子数很少，粒子占据非同态的贡献更大，此时全同性原理产生的差异主要就是交换数$N!$，而粒子占据同态的差异很小。

物理上理解，非简并条件可以等效为：

$e^\alpha\gg 1$（在后面会提到），由于$\alpha=-\beta \mu$，说明等效高温低密度。高温让粒子的人热运动效应掩盖了量子效应；低密度使得粒子的间距变大，量子统计关联变得不重要。

$z\ll 1$，这里的$z=e^{-\alpha}$，是逸度的定义。同时德布罗意热波长$\lambda$远小于分子的平均间距。（见玻尔兹曼统计）

三大统计分布

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统的最概然分布。玻尔兹曼分布的特点是：在给定总能量$E$和粒子数$N$的条件下，使得系统的微观状态数$\Omega_{MB}$最大，等价于求$\ln \Omega$的极大值：

$\ln \Omega=\ln N!-\sum_l \ln a_l!+\sum_l a_l\ln \omega_l$

作第二个假设：$N\gg 1,a_l\gg 1$，有

$\begin{aligned} \ln \Omega&=N(\ln N-1)-\sum_l a_l(\ln a_l-1)+\sum_l a_l\ln \omega_l\\ &=N\ln N-\sum_l a_l\ln a_l+\sum_l a_l\ln \omega_l \end{aligned}$

对其求变分：

$\begin{aligned} \delta\ln \Omega&=(\ln N-1)\delta N-\sum_l (\ln a_l-1)\delta a_l+\sum_l \ln \omega_l \delta a_l\\ &\approx -\sum_l \ln a_l\delta a_l+\sum_l \ln \omega_l \delta a_l\\ &= -\sum_l \ln \frac{a_l}{\omega_l}\delta a_l\\ \end{aligned}$

同时满足

$\sum_l a_l=N,\sum_l a_l\epsilon_l=E$

拉格朗日乘子法：

$\delta(\ln \Omega-\alpha\sum_l a_l-\beta\sum_l a_l\epsilon_l)=-\sum_l[\ln \frac{a_l}{\omega_l}+\alpha+\beta\epsilon_l]\delta a_l=0$

所以

$a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\epsilon_l}$

这里给出了处在某一具有简并度$\omega_l$的能级$\epsilon_l$上的粒子数是多少。稍微变换一下可以得到更有物理意义的表达式：

$f_l=\frac{a_l}{\omega_l}=e^{-\alpha-\beta\epsilon_l}$

这说明处在能级$\epsilon_l$的占据比例与粒子的能量成反比，与简并度无关。

指的讨论的上述只计算了一阶变分$\delta\ln \Omega=0$，实际上可以通过二阶变分来判断是否为极大值。由于：
$\delta^2\ln \Omega=-\delta (\sum_l \ln \frac{a_l}{\omega_l}\delta a_l)=-\sum_l\frac{(\delta a_l)^2}{a_l}<0$
这说明$\ln \Omega$在$\delta\ln \Omega=0$处取得极大值。

此外，这里隐藏了统计分布理论的第三个假设，即统计分布认为只有最概然分布可能出现，而忽视了涨落的影响（即其他不计算其他分布对物理量带来的贡献），这可以从第二个假设推出。以微观状态数为例，设其他分布的偏差$\Delta a_l$对微观状态数的贡献为$\Delta \Omega$，则
$\ln (\Omega+\Delta \Omega)=\ln \Omega+\delta \ln \Omega+\frac12\delta^2 \ln \Omega=\ln \Omega-\frac12\sum_l \frac{(\delta a_l)^2}{a_l}$
相对偏离误差为：
$\ln\frac{\Omega+\Delta \Omega}{\Omega}=-\frac12\sum_l \frac{(\delta a_l)^2}{a_l}\Rightarrow \frac{\Delta \Omega}{\Omega}=-\frac12\sum_l \frac{(\delta a_l)^2}{a_l}\ll 1$

玻色-爱因斯坦分布

玻色-爱因斯坦分布是玻色系统的最概然分布。

$\begin{aligned} \ln\Omega&=\sum_l[\ln(\omega_l+a_l-1)!-\ln a_l!-\ln(\omega_l-1)!]\\&\approx \sum_l[(\omega_l+a_l)\ln(\omega_l+a_l)-a_l\ln a_l-\omega_l\ln\omega_l]\end{aligned}$ $\begin{aligned} \delta\ln\Omega &=\sum_l[\ln(\omega_l+a_l)-a_l-\ln a_l+a_l]\delta a_l\\ &=\sum_l\ln\frac{\omega_l+a_l}{a_l}\delta a_l \end{aligned}$

所以

$\frac{\omega_l+a_l}{a_l}=e^{\alpha+\beta\epsilon_l}\Rightarrow a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\epsilon_l}-1}$

玻色分布和费米分布的计算，由于涉及到$\omega_l!$，所以第二个假设需要额外加上$\omega_l\gg 1$，即能级简并度远大于1。

费米-狄拉克分布

费米-狄拉克分布是费米系统的最概然分布。

$\begin{aligned} \ln\Omega&=\sum_l[\ln\omega_l!-\ln a_l!-\ln(\omega_l-a_l)!]\\ &\approx \sum_l[\omega_l\ln\omega_l-a_l\ln a_l-(\omega_l-a_l)\ln(\omega_l-a_l)]\end{aligned}$ $\begin{aligned} \delta\ln\Omega &=\sum_l[-\ln a_l+a_l+\ln(\omega_l-a_l)-a_l]\delta a_l\\ &=\sum_l\ln\frac{\omega_l-a_l}{a_l}\delta a_l \end{aligned}$

所以

$\frac{\omega_l-a_l}{a_l}=e^{\alpha+\beta\epsilon_l}\Rightarrow a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\epsilon_l}+1}$

显然，由
$-\sum_l[\ln \frac{a_l}{\omega_l}+\alpha+\beta\epsilon_l]\delta a_l=0$
可以推出
$\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1 \Leftrightarrow\alpha \gg 1$
这意味着当经典极限条件下，三种分布趋同。当然，我们在讨论三种系统的微观状态数的时候也得到了同样的结论。
$\begin{matrix} \boxed{\begin{aligned} \Omega_{MB}&=\frac{N!}{\prod_la_l!}\prod_l \omega_l^{a_l}\\ \Omega_{BE}&=\prod_l\frac{(\omega_l+a_l-1)!}{a_l!(\omega_l-1)!}\\ \Omega_{FD}&=\prod_l\frac{\omega_l!}{a_l!(\omega_l-a_l)!}\\ \end{aligned}}&\stackrel{\dfrac{a_l}{\omega_l}\ll 1 }{\longrightarrow} &\dfrac{\Omega_{MB}}{N!}=\Omega_{BE}=\Omega_{FD}\\ \downarrow& &\downarrow\\ \boxed{\begin{aligned} a_{MB}=\dfrac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\epsilon_l}}\\ a_{BE}=\dfrac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\epsilon_l}-1}\\ a_{FD}=\dfrac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\epsilon_l}+1}\\ \end{aligned}}&\stackrel{\alpha \gg 1}{\longrightarrow}& a_{MB}=a_{BE}=a_{FD} \end{matrix}$
我们对三大统计分布做个总结。总的来说，三大统计分布在三个假设下：

第一个假设：粒子之间几乎无相互作用；

第二个假设：粒子数$N\gg 1$，能级简并度$\omega_l\gg 1$，能级上的粒子数$a_l\gg 1$；

第三个假设：统计分布认为只有最概然分布可能出现，而忽视了涨落的影响。

这里面最值得Argue的是第二个假设，因为能级简并度和其上的粒子数往往不满足$\omega_l\gg 1$和$a_l\gg 1$的条件。在系综理论中，我们会通过正则系综推导出玻尔兹曼分布，用巨正则系综的推导出玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布。

此外，第一个假设限制了三大统计分布的适用范围，所以在下面两节中，只会讨论无相互作用的理想气体、金属电子气体、光子气体和爱因斯坦的固体热容理论。而在系综理论中，我们会讨论实际气体和德拜的固体热容理论。

最后交代一个贯穿后续章节的约定。本节得到的态密度 $D_r(\epsilon)$ 与分布函数，往后有两条等价的使用方式：既可以直接对每个物理量做积分 $\int D(\epsilon)(\cdots)d\epsilon$（态密度语言），也可以把它塞进配分函数 $Z_1=\int D(\epsilon)e^{-\beta\epsilon}d\epsilon$，之后所有量改由对 $\ln Z_1$ 求导得到（配分函数语言）。二者由这条桥梁相连，详见玻尔兹曼统计的「两种等价的算法」。