小径

在经典力学中，我们通过类比动量，我们可以推广得到角动量。然而，更深层次的理解需要结合群论和对称性规律来阐释，这也是为什么起这个标题的原因。 转动和角动量对易 有限转动和无穷小转动 量子力学的无穷小转动 群论和李代数 群的基本概念 二维群 O(2) Group SO(2) Group U(1) Group 三维群 SO(3) Group U(2) Group SU(2) Group 自旋1/2系统与有限转动 基本作用力和对称性 基本作用力 对称性 对称性和简并度 对称性和守恒律 氢原子的四维旋转对称 宇称对称性 宇称算符的本征态 自发对称性破缺 宇称选择定则 时间反演对称性 经典力学的时间反演 量子力学的时间反演 时间反演算符 时间反演算符的性质 内积 算符 波函数 有自旋波函数 转动和角动量对易有限转动和无穷小转动我们在之前的学习就知道有限转动是不对易的，这意味着先进行哪个操作影响最后的结果。 我们可以写出有限转动的转动矩阵： R_x(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ ...

写在前面 题型了解和时间安排 阅读 听力 口语 写作 综合写作 学术写作/独立写作 练习和真题使用 个人经验 硬件软件准备 单词 阅读 听力 口语 写作 考场实地 lz借助源友&小红书&b站的经验，未报班备考一个多月后还算顺利在10/27首考考出了比较满意的成绩，于此记录。 非常有用的回答和网站如下： 水源：非SJTU的同学可能需要其他校友帮助访问； 小红书-不爱酸苦辣：超级厉害的博主，口语照着她练的； 留星网：129买一个真题网站，甚至可以从真题入手练习（100套短期备考做不完）； B站-Vince9120：超级厉害的UP，其阅读听力口语写作都可以看看，尤其是写作； B站-吴奇老师的托口秀：口语真题的简单范例，不难但是很有用； 考拉托福小程序：口语AI评分和修改； Lingoleap：口语和写作AI评分和修改。 以下从题型了解、练习与真题使用、个人经验、考场实地来阐述。 写在前面 本人BG：四级650+，六级597，均有一定准备但是不多。如果是SJTU的同学还可以参考我的大英三四EPT72分，在交大不算很高。词汇停留在高考+六级词汇+一定的托福词汇 ...

阅读注意最后一题不选细节。 听力放松，做笔记以提醒，当作平时听课。 口语万能理由 TimeI prefer to … , because I think … can save a lot of time in my daily life. As we all know, time is so important in these days. We can do more things and learn more skills if we can be efficient, which can be ensured by … . MoneyI prefer to … , because I think … can save a lot of money in mydaily life. As we all know, money is so important in these days. If we can save money, we can do more things and learn more skils with the limited amount of money. ...

Personality 主题 语料 Independence Developing self-reliance fosters a sense of responsibility and resilience. It prepares them for more significant challenges, such as academic pursuits and social interactions.Independent children are more likely to adapt to new environments, like starting school or making new friends. Television PositiveTV documentaries can broaden our horizons by exposing us to different cultures and histories.Television fosters a sense of community and strengthen our soc ...

建Blog有感 预备软件 Node.js Git 注册你的Github账号 Git配置 Hexo的安装 下载Hexo 本地建站 基本命令 清理生成的静态文件 生成静态文件 启动本地服务器预览站点 部署到远程服务器 新建文章 Butterfly美化 不同电脑的同步 hexo的安装和配置教程已经很多了，但在照着安装的过程中仍然遇到了很多困难。笔者基于网络的教程进行更新和补充（顺便教教小学弟）。 建Blog有感笔者经历了从手写笔记、平板笔记一直到电脑本地用$\LaTeX$做笔记的阶段，尽管平板笔记解决了手写笔记不容易更改和整理（并且字不好看）的问题，电脑本地笔记又解决了平板笔记不方便保存和转移的问题，$\LaTeX$本身也是极为繁琐的，而Blog本身托管到Github的同时，解决了分享的问题。 阮一峰在博客中写到： 喜欢写 Blog 的人，会经历三个阶段。 第一阶段，刚接触 Blog，觉得很新鲜，试着选择一个免费空间来写。 第二阶段，发现免费空间限制太多，就自己购买域名和空间，搭建独立博客。 第三阶段，觉得独立博客的管理太麻烦，最好在保留控制权的前提下，让别人来管，自己只负 ...

Preview Ehrenfest定理 对称变换 幺正变换 对称性和守恒律 对称变换与幺正变换 无穷小变换 常见的对称性和守恒律 空间平移对称和动量守恒 空间反射对称和宇称守恒 空间旋转对称和角动量守恒 矢量和标量的分类 选择定则 宇称选择定则（Laporte’s rule） 旋转选择定则（Wigner–Eckart Theorem） 时间反演对称和能量守恒 绘景 薛定谔绘景 海森堡绘景 Preview在谈及对称性和守恒律之前，我们需要知道以下定理： Ehrenfest定理\frac{d\langle A\rangle}{d t}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{\mathrm{i}}{\boldsymbol{\hbar}}\langle[H,A]\rangle从这个定理可以知道，如果一个算符是不依赖时间的，且$\langle[H,A]\rangle=0$，那么该算符就是守恒的。 对称变换满足 (Ax,y)=(x,Ay)的变换叫做对称变换。 幺正变换满足 (x,y)=(Ax ...

Where is the particle? EPR佯谬 Bell不等式 Where is the particle?对量子力学中的粒子到底处于何处，长久以来有以下多种看法： Realist Position：现实主义学派认为粒子有一个确定的位置，而测量给出了这个位置的结果。这说明量子力学并不是一个完备的学说，因为他没有办法精确地给出粒子的真实位置，而只是给出了在该位置的几率。 Orthodox Position：正统学派认为，粒子哪里也不在，是测量使得波函数坍缩。 Agnonstic Position：要讨论粒子测量前在哪里，首先就需要测量。不可知学派认为讨论“测量前”的状态是没有意义的。 EPR佯谬一个$\pi$介子会衰变为一个正电子和负电子： \pi^0\Rightarrow e^++e^-当我测量其中一个粒子的自旋时，我可以立即知道另一个粒子的自旋——这是因为$\pi$介子的自旋是0。 对于现实主义学派，这是没有问题的，发射的粒子的自旋已经被确定好。但是对于正统学派却不然——如果两个粒子相距足够远，那么“从该粒子自旋确定另一粒子的自旋”的信息的传递就就会超过光速，这也成 ...

单元系的单相平衡条件（热动平衡判据） 单元复相系的热力学基本方程 单元系的复相平衡条件 复相平衡的性质 相变平衡曲线 超临界点和等温线 相变的分类 临界现象和朗道连续相变理论 单元系的单相平衡条件（热动平衡判据）热力学第二定律指出，孤立系统的熵朝着增加的方向进行，如果孤立系统处于稳定平衡态，其熵一定是极大值： \delta S=0, \delta^2 S0,(\dfrac{\partial p}{\partial V})_{T}0,(\dfrac{\partial p}{\partial V})_{T}

量子力学的基本假设规定基本粒子是不可区分的，不可区分的粒子即为全同粒子。当研究两个相同粒子体系的时候，不可避免涉及到相互作用的问题，为了简单起见，我们假设两个粒子没有相互作用。 波函数的交换对称性 交换力 费米子，玻色子和泡利不相容原理 双电子自旋 多电子组态 波函数的交换对称性既然两个粒子是不可区分的，他们的波函数满足： |\psi_{1,2}|^2=|\psi_{2,1}|^2这必然要求$\psi_{1,2}=e^{i\theta}\psi_{2,1}=e^{2i\theta}\psi_{1,2}$，也即： \psi_{1,2}=\pm\psi_{2,1}这样似乎可以写出体系的波函数了： \psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)这里似乎有几个小问题： 如果这两个态是相同的，也就是$\psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_a(x_2)$，那么显然是交换对称的，不可能出现交换反对称的情况——这似乎是泡利不相容原理的反命题。 如果这两个态不相同，那为什么不写成$\psi(x_1,x_2)=\psi_b(x_1)\psi_a(x_2 ...

偏微分关系 热力学基本函数与方程 麦克斯韦关系 图示 一阶关系 二阶关系 一阶导处理方法 二阶导处理 所有结果一览 常数 $S$ $U$ $H$ 偏微分关系 倒易关系：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z(\dfrac{\partial y}{\partial x})_z=1$ 循环关系：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z(\dfrac{\partial y}{\partial z})_x(\dfrac{\partial z}{\partial x})_y=-1$ 复合关系1：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_w(\dfrac{\partial y}{\partial z})_w=(\dfrac{\partial x}{\partial z})_w$ 复合关系2：$(\dfrac{\partial x}{\partial y})_w=(\dfrac{\partial x}{\partial y})_z+(\dfrac{\partial x}{\partial z})_y( ...