小径

将非相对论性量子力学（NRQM）推广到相对论情形的尝试注定会是失败的，因为量子力学要求的概率守恒在相对论中不再成立，能量会产生新的粒子，因此量子场论（QFT）才是正确的框架。不过，当粒子的能量较小的时候，我们可以认为没有新粒子的产生，进而构建相对论性量子力学（RQM），Klein-Gordon方程和Dirac方程就是那时沿此思路所得的两个产物。 Klein-Gordon方程具有一些神奇的困难，不过Dirac方程却是一个很好的过渡，其以很自然的方式： 导出电子的朗德因子 导出了氢原子光谱精细结构 预言了带正电荷的反粒子——正电子的存在 Dirac方程仍然存在负能解的问题，这就是狄拉克之海的由来。 在此之前，我们先介绍有用的单位制。 自然单位制\hbar=c=1 $c=1$意味着时间和空间的单位是一样的。同时，质能方程$E=mc^2$变为$E=m$，意味着质量和能量的单位也是一样的。 $\hbar=1$意味着长度的量纲是动量的倒数，同时也是能量单位的倒数。 克莱因-戈登方程相对论中，粒子的能量为： E=\frac{p^2}{2m}\Rightarrow E=\sqrt{p^2+m^2 ...

Classic Scattering TheoryDifferential Cross Section 微分散射截面定义为： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}其中$d\sigma$是单位立体角$d\Omega$内的散射截面。显然，微分散射截面是一个碰撞参数$b$或角度$\theta$的函数。其中： d\sigma =4\pi bdb,d\Omega=4\pi \sin\theta d\theta所以： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}|\frac{db}{d\theta}|实验上会写为： D(\theta)=\frac{dN/d\Omega}{J}这样分子分母都是可观测量。 Rigid Sphere Scattering对于刚球，即无限高势垒： b=R\sin{\frac{\theta}{2}}得到： D(\theta)=\frac{R^2}{4}积分得到： \sigma=\pi R^2这和我们的直觉是相符的，即总的散射截面就是球本身截面面积。 Rutherford Scatt ...

主要参考Sarkari书。 Content: Basic Concept Quantum Dynamics & Quantum Geometry Angular Momentumn and Symmetry Approximation Method Scattering-Theory Relativistic-QM

相空间和刘维尔定理 三大系综 微正则系综 正则系综 巨正则系综 表格 系综理论的应用 单原子经典理想气体 实际气体 固体的热容 吸附现象 点吸附（0维吸附） 面吸附（2维吸附） 相空间和刘维尔定理最概然分布的方法处理近独立的粒子，但是不能处理有强相互作用的粒子，这时候就要请出平衡态统计物理的普遍理论——系综理论。 在经典力学中，N个全同粒子（每个粒子的自由度为r）的总自由度为$f=Nr$。那么可以通过广义坐标$q_i,i=1,\cdots,f$和广义动量$p_i,i=1,\cdots,f$构成2f维度的相空间。系统的运动状态由哈密顿正砸方程决定，即 \frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}对于保守系统，哈密顿量就是系统的能量，即 H(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f)=E这说明系统其实是在像空间的2f-1维曲面上运动的。系统在t时刻处于某个点$(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots ...

热力学统计量表达式 弱简并理想玻色气体和费米气体 玻色-爱因斯坦凝聚 光子气体 金属中的自由电子气体 满足定域或非简并条件的粒子系统可以采用玻尔兹曼统计，而不满足非简并条件的气体叫做简并气体，需要用玻色-爱因斯坦统计或费米-狄拉克统计处理。 不同于气体不满足定域条件。尽管气体之间的距离更大，但是气体粒子本身的波包尺度也更大。同样的道理，固体就是定域系统。 粒子的简并情况也有所区别，具体可分为： 非简并 弱简并 强简并 经典极限条件 经典基础上修正 量子统计 在系综上也有所区别，过去我们在微正则系综熵进行推导，现在我们在巨正则系综上进行推导。 微正则系综 正则系综 巨正则系综 系统 孤立系统（无粒子能量交换） 闭合系统（有能量交换） 开放系统（无能量交换） 独立状态变量 $N,E,V$ $N,V,T$ $\mu,V,T$ 分布概率 $\rho=\frac{1}{\Omega}$ $\rho=\frac{1}{Z}e^{-\beta E}$ $\rho=\frac{1}{\Xi}e^{-\alpha N-\beta E}$ 配分 ...

热力学量的统计表达 配分函数 热力学宏观量 粒子数 内能 广义作用力 热量和熵 自由能 理想气体的物态方程 麦克斯韦速度分布 能均分定理 理想气体的内能和热容 平动能 振动能 转动能 经典和量子对比 理想气体的熵 理想气体的化学势 固体热容的爱因斯坦理论 顺磁性固体 对于量子系统，满足定域条件（可分辨）或经典极限条件（$e^{\alpha}\gg1,\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1$）时，可以用玻尔兹曼统计处理。 热力学量的统计表达配分函数很难解释什么是配分函数：从数学处理的角度，似乎只是做了一个变量替换；从能级和状态数的角度，可以理解为系统粒子总数除以基态粒子总数的比例（如果固定基态能量$E_0=0$，我们将在下面看到），所以是一个无量纲量；从测量的角度，他又是个不可观测量。 对于一个系统，其配分函数定义为： Z_1=\sum_{l}\omega_le^{-\beta \epsilon_l}热力学宏观量粒子数粒子数的统计表达为： N=\sum_{l}a_l=\sum_{l}\omega_l e^{-\alpha-\beta \epsilon_l}=e ...

粒子运动状态的经典描述 自由粒子 线性谐振子 转子 粒子运动状态的量子描述 线性谐振子 转子 自旋角动量 自由粒子 系统微观运动状态的描述 等概率原理 分布和微观状态 玻尔兹曼系统 玻色系统 费米系统 非简并条件 玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布的推导 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克分布 粒子运动状态的经典描述统计物理学从微观粒子的行为研究物质的宏观特性。我们知道粒子的能量由其广义坐标和广义动量表示： \epsilon=\epsilon(q_1,\cdots,q_r;p_1,\cdots,p_r)粒子的相空间是一个2r维空间，称为$\mu$空间。 以下是常见的模型： 自由粒子\epsilon=\sum_i \frac{p_i^2}{2m}线性谐振子\epsilon=\frac{p^2}{2m}+\frac12 m\omega^2x^2转子\epsilon=\frac{1}{2l}(p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2{\theta}}p^2_\varphi)粒子运动状态的量子描述线性谐振子\epsilon=\hbar \omega(n+\frac12)转 ...

Time-independet Perturbation Non-degenerate Perturbation First Order Theory Second Order Theory Degenerate Perturbation Two-fold Degenerate Example Stark Effect Quadratic Stark Effect Linear Stark Effect Fine Structure Relative Correction Spin-Orbit Coupling Zeeman Effect Linear Zeeman Effect Quadradic Zeeman Effect Van der Waals Interaction Time-dependet Perturbation Interaction Picture Example: Nuclear Magnetic Resonance Time-dependet Perturbation Dyson Series Transition Proba ...

多元系的热力学函数和热力学方程 多元复相系的热力学函数和热力学方程 多元系的复相平衡条件 单相化学平衡条件 混合理想气体的性质 理想气体的化学平衡 均匀配比的平衡常量 电离度 热力学第三定律 多元复相系指的是拥有多种组元且至少有一个组元存在多种相的系统。在这样一个系统里面，组元之间会发生化学反应，不同相间会存在复相平衡。我们要研究的就是多元系中的复相平衡和化学平衡。 多元系的热力学函数和热力学方程广延量是一些广延量的一次齐函数，而强度量则是广延量的另次齐函数。选取多元系的$T,p,n_1,\cdots,n_k$为状态参量我们可以写出： \begin{cases}V&=V(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\U&=U(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\S&=S(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\\end{cases}由欧拉定理可知： \begin{cases}V=\sum_i{n_i(\frac{\partial V}{\partial n_i})_{T,p,n_i}}=\sum_i{n_iv_i}\\U=\sum_i{n_i(\frac{\partial ...