特殊函数和方程
常点附近的级数解法另一种常见的解二阶常微分方程的办法是级数解法。对于标准的线性二阶齐次常微分方程：
\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0如果$x_0$是方程的一个常点（解析的点），那么微分方程存在以$x_0$为中心的两个幂级数解。我们可以假设解为：
y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n艾里方程艾里方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：
\frac{d^2y}{dx^2}-xy=0它的解称为艾里函数，通常用$Ai(x)$和$Bi(x)$表示：
y(x)=c_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(2/3)}{9^nn!\Gamma(n+2/3)}x^{3n}+c_1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(4/3)}{9^nn!\Gamma(n+4/3)}x^{3n+1}
Ai(x)=y(x,c_0=\frac{3^{-2/3}}{\Gamma(2/3)},c_1=- ...
偏微分方程的格林函数法
格林函数法的思想格林函数方法是基于格林定理的数学工具。对于任意线性算符的非齐次方程：
\mathcal{L}u(x) = f(x)他将非齐次项$f(x)$表示一个个独立的点源$\delta(x-x_0)$的叠加：
\mathcal{L}G(x, x_0) = \delta(x-x_0)这样原来方程的解$u(x)$就可以表示为：
\begin{aligned}
u(x) &= \int G(x, x_0) [\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi] dx_0\\
&= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0\\
\end{aligned}这有点像是将非齐次项分解为格林函数，里面的$\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi$就是格林函数的系数。考虑边界项，最终的解$u(x)$可以写为：
u(x)= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0+\text{边界项}通过简单的验证可以得到：
\mathcal{L}u(x) = \int \mathcal{L}G(x, x_0) f(x_0) dx_0 = \int \del ...
偏微分方程的积分变换法
积分变换法包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等方法，其中傅里叶变换适合求解无穷定义域上收敛的问题，而拉普拉斯变换适合求解半无穷定义域上的问题。
傅里叶变换对于在无穷区间上定义的分段连续函数$f(x)$，若满足$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx < \infty$，则该函数具有以下傅里叶变换的性质：
傅里叶变换：\mathcal{F}\{f(x)\}(k) = F(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-ik x}dx
逆傅里叶变换：\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}(x) = f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^{ik x}dk
线性性：\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = aF(k) + bG(k)
导数和积分的傅里叶变换：
一阶导数：\mathcal{F}\{f'(x)\} = ikF(k)
二阶导数：\mathcal{F}\{f''(x)\} ...
偏微分方程的分离变量法1
场论初步
正交多项式
傅里叶级数
半区间延拓
傅里叶级数的复数形式
傅里叶-贝塞尔级数
傅里叶-勒让德级数
Sturm-Liouville问题
场论初步想要使用分离变量法求解偏微分方程，不可离开不同坐标系下微分算子的表示。我们首先得了解正交曲线坐标系。
正交曲线坐标系指的是在任意点处，坐标曲线互相正交的坐标系。对于空间中的无穷小线元，由直角坐标系的正交性可知：
ds_i^2=dx_i^2+dy_i^2+dz_i^2,i=1,2,3其中$ds_i$是沿坐标曲线$q_i(q_j=C_1,q_k=C_2)$的线元。由坐标曲线的定义可知：
dx_i=\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}dq_i,dy_i=\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}dq_i,dz_i=\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}dq_i所以线元的表达式为：
ds_i^2=\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partia ...
常微分方程
常微分方程
一阶常微分方程
线性一阶常微分方程
可分离导数的一阶常微分方程
无法分离导数的一阶常微分方程
二阶和高阶常微分方程
降阶法
齐次线性常微分方程
非齐次线性常微分方程
常系数线性常微分方程
齐次常系数线性常微分方程
非齐次常系数线性常微分方程
非常系数线性微分方程
通解
特解
线性常微分方程组
常微分方程含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：
F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0其中常微分方程的阶数为最高阶导数的阶数。此阶数不同于我们之前学习的方程的阶数，对于未知函数及其导数项的幂，只有线性与非线性的区分。线性常微分方程如下：
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)如果$f(x)=0$，则称为齐次线性常微分方程；如果$f(x)\neq 0$，则称为非齐次线性常微分方程。
\begin{cases}
\text{线性} &
\begin{cases}
\text{齐次} &
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=0\\
\text{非 ...
质点动力学
质点动力学基本定律
力学相对性原理
非惯性系与惯性力
质点动力学运动定理
动量定理和动能定理
角动量定理与角动能定理
质点动力学基本定律质点动力学以牛顿三定律为基础：
牛顿第一定律：如果一个物体不受外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态；
牛顿第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与物体的质量成反比；F=ma
牛顿第三定律：物体间的相互作用力是大小相等、方向相反的。
第一定律提出了力和惯性两大重要概念，并且是在“惯性系”下研究物体。所谓惯性系，指的是满足第一定律的参考系。然而并不存在绝对的惯性系，牛顿的绝对空间也是人为假设。马赫对此进行了批判：所谓惯性不是物体本身的属性，而是来源于物体之间的相互作用。
第一定律给出了惯性的定义，进而给出力的定性定义；第二定律给出力的定量定义。除此之外，第二定律的完备性还暗示了决定论的思想，当然这在我们现在看来不那么正确。系统的内禀随机性和非线性性也对告诉我们，实际问题中我们并不能够预测未来（因为世界是高维非线性的）。
由第二定律，加速度为0的时候，合力为0，可以导出静力学这一领域。
第二定律还指出力和加速度是瞬时关联的，第三定律指出相 ...
质点系动力学
质点系运动定理质点系的物理量满足标量和矢量叠加定理：
m=\sum m_i,\vec{p}=\sum \vec{p_i},\vec{L}=\sum \vec{L_i},T=\sum T_i质心系质心的位置是质点的位置关于质量的加权平均，其质量为各质点质量之和：
m_0=\sum m_i,\vec{r}_0=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m_0}质心的速度和加速度和动量为：
\vec{v}_0=\frac{d\vec{r}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{m_0},\vec{a}_0=\frac{d\vec{v}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{a}_i}{m_0},\vec{p}_0=\sum \vec{p}_i=\sum m_i\vec{v}_i这说明质点系的速度、加速度、动量和质心的速度、加速度、动量是相同的。
质心系具有以下性质：
质心系的质心静止，所以质心系中的质点系动量为0；
既然质心静止，通过下述的质点系动能定理和动量定理，可知质心系中的质点系动能和动量守恒（惯性力不做功）；
质点系的角动量为：
\ ...
质点运动学
固定坐标系下的质点运动学
直角坐标系
极坐标系
柱坐标系
球坐标系
相对运动
任意平动参考系
旋转参考系
固定坐标系下的质点运动学矢量力学通过科学抽象，将研究对象简化为刚体乃至质点。我们通过矢量来描述质点的诸多物理量：
选定参考系的原点，质点的位置由径向矢量 $\vec{r}=r\vec{\tau}$ 表示；
质点的运动通过径向矢量的变化——位移来表示：$\Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$；
质点的平均速度由位移对时间的导数来表示：$\bar{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$；
质点的平均加速度由速度对时间的导数来表示：$\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$。
很多时候，我们更关心质点的瞬时速度和瞬时加速度：
\begin{aligned}
\vec{v}&=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{r}\vec{\ ...
数学物理方法Content
数学物理方法Content数学物理方法（按梁昆淼老师的讲法）包括复变函数和数学物理方程，我这里顺便把概统也加上了。
复变函数复变函数即自变量是复数的映射及其计算与性质。物理中能涉及到复数的部分主要在于电磁学（波动光学）与量子力学。
复变函数
级数与留数定理
数学物理方程数学物理方程聚焦于常微分方程和偏微分方程的解法。常微分方程一般解法较多，且存在许多已知的解析函数解（包括特殊函数）；偏微分方程则有以下三种思路：
分离变量法：将偏微分方程转化为常微分方程，求解常微分方程的本征值问题；
积分变换法：利用傅里叶变换或拉普拉斯变换将偏微分方程转化为常微分方程；
格林函数法：将偏微分方程转化为一个积分方程。
常微分方程
特殊函数和方程
偏微分方程的分离变量法1
偏微分方程的分离变量法2
偏微分方程的积分变换法
偏微分方程的格林函数法
概率与统计如果说随机变量及其分布是概率论的“静力学”部分，那么随机过程对应着“运动学”，随机微分方程对应着“动力学”。随机过程本身是随机微分方程的解，而随机微分方程则是随机过程的动力学方程。
随机变量及其分布
随机过程
随机微分方程
理论力学Content
理论力学Content研究物体机械运动的学科，被称为理论力学。其下的两大分支分别为——经典力学（矢量力学）和分析力学。
矢量力学研究力学，很自然从矢量力学开始，如位移、速度、加速度、力等。用矢量来表征物理量，以力矢量为核心，自然牛顿力学离不开图像的介入，这也与后面的分析力学形成了鲜明的对比。
从运动的定义出发，结合力的作用，可以发展出质点的运动学和（静）动力学，进而扩展为质点系的动力学。
质点运动学
质点动力学
质点系动力学
相对论力学
分析力学分析力学则抛弃了力的核心地位与矢量这一主要工具，转而以能量为核心，采用拉格朗日方程和哈密顿方程来描述物体的运动。
分析力学与经典力学是完全等价的，只不过，经典力学很难推广到其他领域；相反，分析力学则可以推广到电磁学、光学乃至量子力学。其中的根本原因在于，经典力学无法隐藏约束，只能将约束显式作为方程的一部分来减少自由度；如果我们不那么关注约束力的情况，那么分析力学可以简单明了的给出相应的运动规律。
达朗贝尔原理
拉格朗日动力学
哈密顿力学
在相应的理论框架下，分析力学可以在不同的应用场景大显身手：
有心力和散射问题
小振动
刚体力学 ...
