小径

积分变换法包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等方法，其中傅里叶变换适合求解无穷定义域上收敛的问题，而拉普拉斯变换适合求解半无穷定义域上的问题。 傅里叶变换对于在无穷区间上定义的分段连续函数$f(x)$，若满足$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx < \infty$，则该函数具有以下傅里叶变换的性质： 傅里叶变换：\mathcal{F}\{f(x)\}(k) = F(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-ik x}dx 逆傅里叶变换：\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}(x) = f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^{ik x}dk 线性性：\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = aF(k) + bG(k) 导数和积分的傅里叶变换： 一阶导数：\mathcal{F}\{f'(x)\} = ikF(k) 二阶导数：\mathcal{F}\{f''(x)\} ...

场论初步 正交多项式 傅里叶级数 半区间延拓 傅里叶级数的复数形式 傅里叶-贝塞尔级数 傅里叶-勒让德级数 Sturm-Liouville问题 场论初步想要使用分离变量法求解偏微分方程，不可离开不同坐标系下微分算子的表示。我们首先得了解正交曲线坐标系。 正交曲线坐标系指的是在任意点处，坐标曲线互相正交的坐标系。对于空间中的无穷小线元，由直角坐标系的正交性可知： ds_i^2=dx_i^2+dy_i^2+dz_i^2,i=1,2,3其中$ds_i$是沿坐标曲线$q_i(q_j=C_1,q_k=C_2)$的线元。由坐标曲线的定义可知： dx_i=\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}dq_i,dy_i=\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}dq_i,dz_i=\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}dq_i所以线元的表达式为： ds_i^2=\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partia ...

常微分方程 一阶常微分方程 线性一阶常微分方程 可分离导数的一阶常微分方程 无法分离导数的一阶常微分方程 二阶和高阶常微分方程 降阶法 齐次线性常微分方程 非齐次线性常微分方程 常系数线性常微分方程 齐次常系数线性常微分方程 非齐次常系数线性常微分方程 非常系数线性微分方程 通解 特解 线性常微分方程组 常微分方程含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程： F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0其中常微分方程的阶数为最高阶导数的阶数。此阶数不同于我们之前学习的方程的阶数，对于未知函数及其导数项的幂，只有线性与非线性的区分。线性常微分方程如下： \sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)如果$f(x)=0$，则称为齐次线性常微分方程；如果$f(x)\neq 0$，则称为非齐次线性常微分方程。 \begin{cases} \text{线性} & \begin{cases} \text{齐次} & \sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=0\\ \text{非 ...

质点动力学基本定律 力学相对性原理 非惯性系与惯性力 质点动力学运动定理 动量定理和动能定理 角动量定理与角动能定理 质点动力学基本定律质点动力学以牛顿三定律为基础： 牛顿第一定律：如果一个物体不受外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态； 牛顿第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与物体的质量成反比；F=ma 牛顿第三定律：物体间的相互作用力是大小相等、方向相反的。 第一定律提出了力和惯性两大重要概念，并且是在“惯性系”下研究物体。所谓惯性系，指的是满足第一定律的参考系。然而并不存在绝对的惯性系，牛顿的绝对空间也是人为假设。马赫对此进行了批判：所谓惯性不是物体本身的属性，而是来源于物体之间的相互作用。 第一定律给出了惯性的定义，进而给出力的定性定义；第二定律给出力的定量定义。除此之外，第二定律的完备性还暗示了决定论的思想，当然这在我们现在看来不那么正确。系统的内禀随机性和非线性性也对告诉我们，实际问题中我们并不能够预测未来（因为世界是高维非线性的）。 由第二定律，加速度为0的时候，合力为0，可以导出静力学这一领域。 第二定律还指出力和加速度是瞬时关联的，第三定律指出相 ...

质点系运动定理质点系的物理量满足标量和矢量叠加定理： m=\sum m_i,\vec{p}=\sum \vec{p_i},\vec{L}=\sum \vec{L_i},T=\sum T_i质心系质心的位置是质点的位置关于质量的加权平均，其质量为各质点质量之和： m_0=\sum m_i,\vec{r}_0=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m_0}质心的速度和加速度和动量为： \vec{v}_0=\frac{d\vec{r}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{m_0},\vec{a}_0=\frac{d\vec{v}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{a}_i}{m_0},\vec{p}_0=\sum \vec{p}_i=\sum m_i\vec{v}_i这说明质点系的速度、加速度、动量和质心的速度、加速度、动量是相同的。 质心系具有以下性质： 质心系的质心静止，所以质心系中的质点系动量为0； 既然质心静止，通过下述的质点系动能定理和动量定理，可知质心系中的质点系动能和动量守恒（惯性力不做功）； 质点系的角动量为： \ ...

固定坐标系下的质点运动学 直角坐标系 极坐标系 柱坐标系 球坐标系 相对运动 任意平动参考系 旋转参考系 固定坐标系下的质点运动学矢量力学通过科学抽象，将研究对象简化为刚体乃至质点。我们通过矢量来描述质点的诸多物理量： 选定参考系的原点，质点的位置由径向矢量 $\vec{r}=r\vec{\tau}$ 表示； 质点的运动通过径向矢量的变化——位移来表示：$\Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$； 质点的平均速度由位移对时间的导数来表示：$\bar{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$； 质点的平均加速度由速度对时间的导数来表示：$\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$。 很多时候，我们更关心质点的瞬时速度和瞬时加速度： \begin{aligned} \vec{v}&=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{r}\vec{\ ...

数学物理方法Content数学物理方法（按梁昆淼老师的讲法）包括复变函数和数学物理方程，我这里顺便把概统也加上了。 复变函数复变函数即自变量是复数的映射及其计算与性质。物理中能涉及到复数的部分主要在于电磁学（波动光学）与量子力学。 复变函数 级数与留数定理 数学物理方程数学物理方程聚焦于常微分方程和偏微分方程的解法。常微分方程一般解法较多，且存在许多已知的解析函数解（包括特殊函数）；偏微分方程则有以下三种思路： 分离变量法：将偏微分方程转化为常微分方程，求解常微分方程的本征值问题； 积分变换法：利用傅里叶变换或拉普拉斯变换将偏微分方程转化为常微分方程； 格林函数法：将偏微分方程转化为一个积分方程。 常微分方程 特殊函数和方程 偏微分方程的分离变量法1 偏微分方程的分离变量法2 偏微分方程的积分变换法 偏微分方程的格林函数法 概率与统计如果说随机变量及其分布是概率论的“静力学”部分，那么随机过程对应着“运动学”，随机微分方程对应着“动力学”。随机过程本身是随机微分方程的解，而随机微分方程则是随机过程的动力学方程。 随机变量及其分布 随机过程 随机微分方程

理论力学Content研究物体机械运动的学科，被称为理论力学。其下的两大分支分别为——经典力学（矢量力学）和分析力学。 矢量力学研究力学，很自然从矢量力学开始，如位移、速度、加速度、力等。用矢量来表征物理量，以力矢量为核心，自然牛顿力学离不开图像的介入，这也与后面的分析力学形成了鲜明的对比。 从运动的定义出发，结合力的作用，可以发展出质点的运动学和（静）动力学，进而扩展为质点系的动力学。 质点运动学 质点动力学 质点系动力学 相对论力学 分析力学分析力学则抛弃了力的核心地位与矢量这一主要工具，转而以能量为核心，采用拉格朗日方程和哈密顿方程来描述物体的运动。 分析力学与经典力学是完全等价的，只不过，经典力学很难推广到其他领域；相反，分析力学则可以推广到电磁学、光学乃至量子力学。其中的根本原因在于，经典力学无法隐藏约束，只能将约束显式作为方程的一部分来减少自由度；如果我们不那么关注约束力的情况，那么分析力学可以简单明了的给出相应的运动规律。 达朗贝尔原理 拉格朗日动力学 哈密顿力学 在相应的理论框架下，分析力学可以在不同的应用场景大显身手： 有心力和散射问题 小振动 刚体力学 ...

衍射导论 菲涅尔衍射积分 基尔霍夫衍射积分 基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式 衍射的分类 巴比涅原理 菲涅尔圆孔衍射 半波带法 单缝夫琅禾费衍射 矩孔夫琅禾费衍射 圆孔夫琅禾费衍射 夫琅禾费多缝衍射 正弦光栅 光栅光谱仪 闪耀光栅 \newcommand{\oiint}{\,\bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int}衍射导论当光波遇到障碍物的时候，或多或少偏离几何光学的直线传播，这种现象统称为光的衍射。光的波长和孔径线度相当时，衍射现象尤为明显，且关系满足： \rho \Delta \theta\approx\lambda衍射现象可以使用惠更斯原理来解释，菲涅尔推导了衍射的数学表达式，称为惠更斯-菲涅尔原理： \tilde{U}(P)=\oiint d\tilde{U}(P)菲涅尔衍射积分从物理的角度考虑，可以给出$d\tilde{U}(P)$的决定因素： 面元大小$dS$； 次波源的振幅$\tilde{U_0}$； 次波源发射球面波到场点$\dfrac{e^{ikr}}{r}$； 倾角因子$f(\theta_0,\th ...

电磁场边值关系 菲涅尔公式 反射率和折射率（振幅关系） 相位关系 电磁场边值关系介质分界面两侧的电磁场有突变，遵循麦克斯韦方程组： \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &= \nabla \times \mathbf{H} + \mathbf{J} \\ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &= -\nabla \times \mathbf{E} \\ \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \end{aligned}四个方程取积分极限，可得无电荷电流介质表面的边值关系： \begin{aligned} H_{1t}=H_{2t} \\ E_{1t}=E_{2t} \\ D_{1n}=D_{2n} \\ B_{1n}=B_{2n} \\ \end{aligned}写为电场和磁感应强度的分量形式： \begin{cases} H_{1t} &= H_{2t} \\ E_{ ...