偏微分方程的分离变量法2
偏微分方程的分离变量法1 谈到了正交多项式和场论基础。为了求解偏微分方程，可以在相应坐标系下使用场论结果表示相应算子，使用分离变量法使其转化为多个独立的常微分方程问题，然后使用正交多项式展开。
直角坐标系波动方程以一般的一维波动方程为例：
\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t)&\text{波动方程}\\
a_1u(x=0,t)+a_2u_x(x=0,t)=g(t)&\text{边值条件1}\\
b_1u(x=0,t)+b_2u_x(x=0,t)=h(t)&\text{边值条件2}\\
u(x,t=0)=\varphi(x),u_t(x,t=0)=\psi(x)&\text{初始条件}
\end{cases}该问题可以拆分为两个问题：
齐次方程的非齐次边界问题：$u_1(x,t)$
非齐次方程的齐次边界问题：$u_2(x,t)$
$u_1(x,t)$和$u_2(x,t)$的解都需要用到齐次方程的正交多项式展开，然后分别根据边界条件和外力项决 ...
偏微分方程
偏微分方程
重要的数学物理方程
波动方程
热传导方程
Laplace方程和Poisson方程
Schrödinger方程
偏微分方程常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：
F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0而偏微分方程是指未知函数与多个自变量有关的微分方程：
F[x_i,\frac{\partial y}{\partial x_i},\frac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j},\cdots(i,j=0,1,\cdots,n)]=0偏微分方程有线性和非线性之分，这里以二阶微分方程为例：
\begin{cases}
\text{线性} &
\begin{cases}
\text{齐次} &
\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\dfrac{\partial y}{\partial x_i}+cy=0\\
\text{非齐次} &
\sum_{i,j=1}^{ ...
特殊函数和方程
常点附近的级数解法另一种常见的解二阶常微分方程的办法是级数解法。对于标准的线性二阶齐次常微分方程：
\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0如果$x_0$是方程的一个常点（解析的点），那么微分方程存在以$x_0$为中心的两个幂级数解。我们可以假设解为：
y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n艾里方程艾里方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：
\frac{d^2y}{dx^2}-xy=0它的解称为艾里函数，通常用$Ai(x)$和$Bi(x)$表示：
y(x)=c_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(2/3)}{9^nn!\Gamma(n+2/3)}x^{3n}+c_1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(4/3)}{9^nn!\Gamma(n+4/3)}x^{3n+1}
Ai(x)=y(x,c_0=\frac{3^{-2/3}}{\Gamma(2/3)},c_1=- ...
偏微分方程的格林函数法
格林函数法的思想格林函数方法是基于格林定理的数学工具。对于任意线性算符的非齐次方程：
\mathcal{L}u(x) = f(x)他将非齐次项$f(x)$表示一个个独立的点源$\delta(x-x_0)$的叠加：
\mathcal{L}G(x, x_0) = \delta(x-x_0)这样原来方程的解$u(x)$就可以表示为：
\begin{aligned}
u(x) &= \int G(x, x_0) [\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi] dx_0\\
&= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0\\
\end{aligned}这有点像是将非齐次项分解为格林函数，里面的$\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi$就是格林函数的系数。考虑边界项，最终的解$u(x)$可以写为：
u(x)= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0+\text{边界项}通过简单的验证可以得到：
\mathcal{L}u(x) = \int \mathcal{L}G(x, x_0) f(x_0) dx_0 = \int \del ...
偏微分方程的积分变换法
积分变换法包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等方法，其中傅里叶变换适合求解无穷定义域上收敛的问题，而拉普拉斯变换适合求解半无穷定义域上的问题。
傅里叶变换对于在无穷区间上定义的分段连续函数$f(x)$，若满足$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx < \infty$，则该函数具有以下傅里叶变换的性质：
傅里叶变换：\mathcal{F}\{f(x)\}(k) = F(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-ik x}dx
逆傅里叶变换：\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}(x) = f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^{ik x}dk
线性性：\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = aF(k) + bG(k)
导数和积分的傅里叶变换：
一阶导数：\mathcal{F}\{f'(x)\} = ikF(k)
二阶导数：\mathcal{F}\{f''(x)\} ...
偏微分方程的分离变量法1
场论初步
正交多项式
傅里叶级数
半区间延拓
傅里叶级数的复数形式
傅里叶-贝塞尔级数
傅里叶-勒让德级数
Sturm-Liouville问题
场论初步想要使用分离变量法求解偏微分方程，不可离开不同坐标系下微分算子的表示。我们首先得了解正交曲线坐标系。
正交曲线坐标系指的是在任意点处，坐标曲线互相正交的坐标系。对于空间中的无穷小线元，由直角坐标系的正交性可知：
ds_i^2=dx_i^2+dy_i^2+dz_i^2,i=1,2,3其中$ds_i$是沿坐标曲线$q_i(q_j=C_1,q_k=C_2)$的线元。由坐标曲线的定义可知：
dx_i=\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}dq_i,dy_i=\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}dq_i,dz_i=\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}dq_i所以线元的表达式为：
ds_i^2=\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partia ...
常微分方程
常微分方程
一阶常微分方程
线性一阶常微分方程
可分离导数的一阶常微分方程
无法分离导数的一阶常微分方程
二阶和高阶常微分方程
降阶法
齐次线性常微分方程
非齐次线性常微分方程
常系数线性常微分方程
齐次常系数线性常微分方程
非齐次常系数线性常微分方程
非常系数线性微分方程
通解
特解
线性常微分方程组
常微分方程含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：
F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0其中常微分方程的阶数为最高阶导数的阶数。此阶数不同于我们之前学习的方程的阶数，对于未知函数及其导数项的幂，只有线性与非线性的区分。线性常微分方程如下：
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)如果$f(x)=0$，则称为齐次线性常微分方程；如果$f(x)\neq 0$，则称为非齐次线性常微分方程。
\begin{cases}
\text{线性} &
\begin{cases}
\text{齐次} &
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=0\\
\text{非 ...
质点动力学
质点动力学基本定律质点动力学以牛顿三定律为基础：
牛顿第一定律：如果一个物体不受外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态；
牛顿第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与物体的质量成反比；F=ma
牛顿第三定律：物体间的相互作用力是大小相等、方向相反的。
第一定律提出了力和惯性两大重要概念，并且是在“惯性系”下研究物体。所谓惯性系，指的是满足第一定律的参考系。然而并不存在绝对的惯性系，牛顿的绝对空间也是人为假设。马赫对此进行了批判：所谓惯性不是物体本身的属性，而是来源于物体之间的相互作用。
第一定律给出了惯性的定义，进而给出力的定性定义；第二定律给出力的定量定义。除此之外，第二定律的完备性还暗示了决定论的思想，当然这在我们现在看来不那么正确。系统的内禀随机性和非线性性也对告诉我们，实际问题中我们并不能够预测未来（因为世界是高维非线性的）。
由第二定律，加速度为0的时候，合力为0，可以导出静力学这一领域。
第二定律还指出力和加速度是瞬时关联的，第三定律指出相互作用也是瞬时的。不过，我们知道相互作用的传播是光速有限的，因而第三定律其实并不成立。
力学相对性原理经验表面，惯性系不止一 ...
质点系动力学
质点系运动定理质点系的物理量满足标量和矢量叠加定理：
m=\sum m_i,\vec{p}=\sum \vec{p_i},\vec{L}=\sum \vec{L_i},T=\sum T_i质心系质心的位置是质点的位置关于质量的加权平均，其质量为各质点质量之和：
m_0=\sum m_i,\vec{r}_0=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m_0}质心的速度和加速度和动量为：
\vec{v}_0=\frac{d\vec{r}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{m_0},\vec{a}_0=\frac{d\vec{v}_0}{dt}=\frac{\sum m_i\vec{a}_i}{m_0},\vec{p}_0=\sum \vec{p}_i=\sum m_i\vec{v}_i这说明质点系的速度、加速度、动量和质心的速度、加速度、动量是相同的。
质心系具有以下性质：
质心系的质心静止，所以质心系中的质点系动量为0；
既然质心静止，通过下述的质点系动能定理和动量定理，可知质心系中的质点系动能和动量守恒（惯性力不做功）；
质点系的角动量为：
\ ...
质点运动学
固定坐标系下的质点运动学矢量力学通过科学抽象，将研究对象简化为刚体乃至质点。我们通过矢量来描述质点的诸多物理量：
选定参考系的原点，质点的位置由径向矢量 $\vec{r}=r\vec{\tau}$ 表示；
质点的运动通过径向矢量的变化——位移来表示：$\Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$；
质点的平均速度由位移对时间的导数来表示：$\bar{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$；
质点的平均加速度由速度对时间的导数来表示：$\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$。
很多时候，我们更关心质点的瞬时速度和瞬时加速度：
\begin{aligned}
\vec{v}&=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{r}\vec{\tau}+r\dot{\vec{\tau}}\\
\vec{a}&=\lim_{\Delta t \to 0} \fr ...
