小径

在 Angular Momentumn and Symmetry 和固体物理中曾谈到了群对于物理描述的帮助，尤其是固体物理的晶体学，要求描述具有平移对称性（周期结构）的晶体结构的对称性。点群就是描述不考虑平移对称性的对称性群（有一个固定点），空间群是考虑平移对称性后（在一个固定点下）描述全部对称操作，其中一些是点群不具备的（如螺旋轴），也舍弃了一些点群中的对称性（如$\frac25\pi$的旋转）。 点群三维实正交群O(3)谈到O(3)群（orthogonal）前，我们不得不谈到矩阵中的正交变换，即保内积变换。保内积变换意味着递进的两个方面： 正交的基组在正交变换后仍然保持正交； 不仅要正交，基矢的长度不变。 总的来说，正交变换其实是空间的转动和反演操作。通过保内积的定义，可以得到： \langle O\vec{r},O\vec{r}'\rangle=\langle \vec{r},\vec{r}'\rangle\Rightarrow O^{T}O=E\quad\text{or}\quad O^{T}=O^{-1} 酉变换对应任意内积空间的保内积变换，而正交变换对应实空间的保内积变 ...

群表示 群表示的例子 不可约表示 等价表示 可约表示 可约与不可约的例子 有限群表示理论·1 群代数和正则表示 群函数的例子 有限群表示理论·2 正交基举例 特征标理论 特征标举例 群表示群是一个抽象的概念，而想要对其进行具体化和应用，就需要将其表示为更为具体的对象。所谓表示论，（在本文）就是确定我们研究的群到线性变换群的同态映射，从而将群元用矩阵表示出来。 所以群表示$(G,V,R)$一共包含了三个结构： R:G\to GL(V)其中，$GL(V)$是$V$的复一般线性变换群（General Linear Group）： GL(V)=\{M|M:V\to V,M\text{可逆}\}=\{M|M\text{是可逆矩阵}\}=GL(n,\mathbb{C})$R$是群$G$到$GL(V)$的同态映射，$V$是一个复线性空间，也就是表示空间。 为什么使用同态映射呢？ 非单射的情况：有时候我们不关心群的部分内部结构，这时候就可以把他们压缩在一起。极端一点，可以构建群$G$到$\{\mathbf{1}\}$，这样一定满足乘法结构，但是是平凡的。在后面，我们会看到每 ...

群的定义 群的例子 子群和陪集 子群和陪集的例子 类与不变子群 类与不变子群的例子 同构和同态 同构和同态的例子 变换群 变换群的例子 直积 群的定义定义：设群（group）$G$是一些元素（操作）的集合，记为$G=\{\cdots,g,\cdots\}$，在$G$中定义了乘法运算，且满足： 封闭性：两个元素的乘积仍然属于这个集合，即： \forall g_1,g_2\in G,\quad g_1g_2\in G 结合律：乘法运算满足结合律，即： \forall g_1,g_2,g_3\in G,\quad (g_1g_2)g_3 = g_1(g_2g_3) 单位元存在：存在单位元$e\in G$，使得： \forall g\in G,\quad eg = ge = g 逆元存在：对于每个元素$g\in G$，存在逆元$g^{-1}\in G$，使得： gg^{-1} = g^{-1}g = e 注意：群的定义中没有包含交换律。这意味着： 对于任意两个元素$g_1,g_2\in G$，由封闭性可知$g_1g_2\in G$且$g_2g_1\in G$ 但一 ...

LS耦合和jj耦合在 原子的精细结构 中，我们谈到了多电子原子的退简并顺序： 电子相互作用导致$l_i,s_i$退化为$L,S$。 自旋轨道耦合导致$L,S$退化为$J$。 这在自旋轨道相互作用远小于电子电子相互作用时，先处理显著项，再处理微扰项是成立的。对于另一种情况，即自旋轨道相互作用远大于电子电子相互作用时，情况就会有所不同： 自旋轨道耦合导致$l_i,s_i$退化为$j_i$。 电子相互作用导致$j_i$退化为$J$。 两种近似方法分别对应了LS耦合和jj耦合： 较轻的原子常常适用LS耦合，而较重的原子则常常适用jj耦合： 后者是这样表示的：先计算$j_1,j_2$，然后从： -|j_1-j_2|,\cdots,j_1+j_2中组合出$J$的可能量子数。 泡利不相容原理泡利不相容原理表述为：对于费米子，不可能有两个或更多的粒子占据量子数完全相同的状态。 对于同科电子（指主量子数$n$和轨道量子数$l$相同的电子），组合的电子态远比非同科电子少得多。以两个p（$l=1$）电子为例： \begin{cases} ^3D_{1,2,3}&L=2,S=1&5\times 3 ...

自旋轨道耦合电子轨道的磁矩考虑电子的运动可以看成电流为： I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}的载流线圈，其磁矩为： \mu = I \cdot S = -\frac{ev}{2\pi r} \cdot \pi r^2 = -\frac{evr}{2}= -\frac{eL}{2m}=-\gamma L其中，$L = mvr$ 是角动量，$\gamma = \dfrac{e}{2m}$ 是电子的旋磁比。 记最小角动量单位对应的磁矩为玻尔磁子： \mu_B = \frac{e\hbar}{2m} = \gamma \cdot\hbar根据量子力学的结论，轨道角动量和z分量为： L = \sqrt{l(l+1)}\hbar, \quad L_z = m_l\hbar相应的磁矩为： \mu_l =-\sqrt{l(l+1)}\mu_B, \quad \mu_{l,z} = -m_l\mu_B朗德g因子和自旋轨道相互作用定义朗德g因子为： g = -\frac{\mu_j}{\sqrt{j(j+1)}\mu_B}实 ...

原子的构成电子的发现1897年，汤姆孙通过阴极射线实验发现了电子。汤姆孙实验的成功归功于高真空的实现，从而可以观察到电子的持续偏转。通过测量偏转半径，可以估计电子的比荷比氢离子大千倍左右。 1910年，密里根通过油滴实验测定了电子的电荷： e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}原子的结构卢瑟福模型知道了电子的存在后，汤姆孙提出了“葡萄干布丁模型”，认为原子是一个带正电的球体，电子像葡萄干一样嵌在其中。这时候，科学家们还没有发现原子核，只知道有一种氢离子存在。 卢瑟福在1911年通过金箔实验否定了汤姆孙的模型。这是因为按照汤姆孙模型，α粒子应该会被原子中的电子散射，但实验中发现大部分α粒子都能穿过金箔，只有少数被偏转。卢瑟福推测原子中有一个小而密集的正电荷区域，即原子核。 根据 有心力和散射问题 中的推导，卢瑟福散射实验中的偏转角度 $\theta$ 满足： \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{m}k}{\sqrt{2El^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z e^2}{2Eb}=\frac ...

作为学习量子力学的唯像桥梁，原子物理主打一个从实验中发现规律。不同于力学、电磁学、热学、光学等学科的悠长历史，原子物理学随着近代物理的发展而发展。 原子的结构 原子的精细结构 多电子原子

普物 为什么光子没有自旋为0的态； 估算山的高度； 估算大气水蒸气凝结后有多深； 解释相速度和群速度。 量子力学 描述LS耦合的经典图像； 赝矢量和轴矢量的区别； 量子力学中有哪些势阱或势场； 画出量子谐振子基态和第一激发态的波函数图像； 密度矩阵随时间的变化； 谐振子基态能量为什么不为0； 什么是朗道能级； 氢分子的基态怎么算； 热力学统计 写出热统的三种分布规律，并说明符号的物理意义； 费米狄拉克分布随温度、能量的变化； 固体热容在高温和低温极限时，随温度或能量的变化； 理想气体的定义； 计算电子气体的熵； 玻色爱因斯坦凝聚的条件和性质； 一级相变和二级相变？举例说明。 麦克斯韦速率分布； 吉布斯佯谬。 固体物理 绝缘体和半导体有费米面吗？绝缘体有费米能量吗？ 推导高温时声子热容为定值； 猜测高温时电子热容随温度的关系，并给出解释； 什么是PN结？PN结的伏安特性曲线？ 什么是库珀对？产生条件和基本性质？超导体的两条性质？ 铁原子外围电子排布和能级和磁矩； 解释金属、半金属、半导体、绝缘体、拓扑绝缘体的能带结构和导电性质之间的关系； 为什么电子未填满的能带可以导电，为什么Mg ...

刚体运动学 刚体的自由度 刚体的转动描述 刚体的转动速度描述 刚体的转动惯量 刚体的动能 刚体动力学 欧拉动力学方程 刚体运动学刚体的自由度刚体指的是系统内各质点间距离保持不变的物体。这是一种完整约束，因而可以参与自由度的减少。常见的运动对应的自由度如下： 运动类型 平动自由度 旋转自由度 总自由度 定轴转动 0 1 1 定点转动 0 3 3 平动 3 0 3 平面平行运动 2 1 3 刚体的转动描述描述刚体的平动是简单的，只需要三个质心坐标$(x_c, y_c, z_c)$即可。描述刚体的转动是复杂的，一种被动的观点是描述刚体坐标架的转动矩阵$\mathbf{U}$： \begin{pmatrix} i'\\ j'\\ k' \end{pmatrix} = \mathbf{U} \begin{pmatrix} i\\ j\\ k \end{pmatrix}这是一个实正交矩阵。另一种主动观点为描述转动矢量或张量，而坐标架不动。 显然，刚体的位置和转动的次序是相关的，即矩阵乘法不能交换次序： \mathbf{U}_1 \mathbf{U}_ ...