群论Content
群的基本概念
群表示论
点群与空间群
群论与量子力学
转动群
置换群
转动群
SO(3)群的描述在 刚体力学 中曾谈到了欧拉转动角表述。现在我们用同样的办法（但是不同的约定）来描述SO(3)群的元素：
\begin{aligned}
\mathbf{R} &= \mathbf{R}_{z''}(\gamma) \mathbf{R}_{y'}(\beta) \mathbf{R}_{z}(\alpha) \\
&=\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\
\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\beta & 0 & \sin\beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\beta & 0 & \cos\beta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\
\sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\cos\ ...
点群与空间群
在 Angular Momentumn and Symmetry 和固体物理中曾谈到了群对于物理描述的帮助，尤其是固体物理的晶体学，要求描述具有平移对称性（周期结构）的晶体结构的对称性。点群就是描述不考虑平移对称性的对称性群（有一个固定点），空间群是考虑平移对称性后（在一个固定点下）描述全部对称操作，其中一些是点群不具备的（如螺旋轴），也舍弃了一些点群中的对称性（如$\frac25\pi$的旋转）。
点群三维实正交群O(3)谈到O(3)群（orthogonal）前，我们不得不谈到矩阵中的正交变换，即保内积变换。保内积变换意味着递进的两个方面：
正交的基组在正交变换后仍然保持正交；
不仅要正交，基矢的长度不变。
总的来说，正交变换其实是空间的转动和反演操作。通过保内积的定义，可以得到：
\langle O\vec{r},O\vec{r}'\rangle=\langle \vec{r},\vec{r}'\rangle\Rightarrow O^{T}O=E\quad\text{or}\quad O^{T}=O^{-1}
酉变换对应任意内积空间的保内积变换，而正交变换对应实空间的保内积变 ...
群表示论
群表示
群表示的例子
不可约表示
等价表示
可约表示
可约与不可约的例子
有限群表示理论·1
群代数和正则表示
群函数的例子
有限群表示理论·2
正交基举例
特征标理论
特征标举例
群表示群是一个抽象的概念，而想要对其进行具体化和应用，就需要将其表示为更为具体的对象。所谓表示论，（在本文）就是确定我们研究的群到线性变换群的同态映射，从而将群元用矩阵表示出来。
所以群表示$(G,V,R)$一共包含了三个结构：
R:G\to GL(V)其中，$GL(V)$是$V$的复一般线性变换群（General Linear Group）：
GL(V)=\{M|M:V\to V,M\text{可逆}\}=\{M|M\text{是可逆矩阵}\}=GL(n,\mathbb{C})$R$是群$G$到$GL(V)$的同态映射，$V$是一个复线性空间，也就是表示空间。
为什么使用同态映射呢？
非单射的情况：有时候我们不关心群的部分内部结构，这时候就可以把他们压缩在一起。极端一点，可以构建群$G$到$\{\mathbf{1}\}$，这样一定满足乘法结构，但是是平凡的。在后面，我们会看到每 ...
群的基本概念
群的定义
群的例子
子群和陪集
子群和陪集的例子
类与不变子群
类与不变子群的例子
同构和同态
同构和同态的例子
变换群
变换群的例子
直积
群的定义定义：设群（group）$G$是一些元素（操作）的集合，记为$G=\{\cdots,g,\cdots\}$，在$G$中定义了乘法运算，且满足：
封闭性：两个元素的乘积仍然属于这个集合，即：
\forall g_1,g_2\in G,\quad g_1g_2\in G
结合律：乘法运算满足结合律，即：
\forall g_1,g_2,g_3\in G,\quad (g_1g_2)g_3 = g_1(g_2g_3)
单位元存在：存在单位元$e\in G$，使得：
\forall g\in G,\quad eg = ge = g
逆元存在：对于每个元素$g\in G$，存在逆元$g^{-1}\in G$，使得：
gg^{-1} = g^{-1}g = e
注意：群的定义中没有包含交换律。这意味着：
对于任意两个元素$g_1,g_2\in G$，由封闭性可知$g_1g_2\in G$且$g_2g_1\in G$
但一 ...
多电子原子
LS耦合和jj耦合在 原子的精细结构 中，我们谈到了多电子原子的退简并顺序：
电子相互作用导致$l_i,s_i$退化为$L,S$。
自旋轨道耦合导致$L,S$退化为$J$。
这在自旋轨道相互作用远小于电子电子相互作用时，先处理显著项，再处理微扰项是成立的。对于另一种情况，即自旋轨道相互作用远大于电子电子相互作用时，情况就会有所不同：
自旋轨道耦合导致$l_i,s_i$退化为$j_i$。
电子相互作用导致$j_i$退化为$J$。
两种近似方法分别对应了LS耦合和jj耦合：
较轻的原子常常适用LS耦合，而较重的原子则常常适用jj耦合：
后者是这样表示的：先计算$j_1,j_2$，然后从：
-|j_1-j_2|,\cdots,j_1+j_2中组合出$J$的可能量子数。
泡利不相容原理泡利不相容原理表述为：对于费米子，不可能有两个或更多的粒子占据量子数完全相同的状态。
对于同科电子（指主量子数$n$和轨道量子数$l$相同的电子），组合的电子态远比非同科电子少得多。以两个p（$l=1$）电子为例：
\begin{cases}
^3D_{1,2,3}&L=2,S=1&5\times 3 ...
原子的精细结构
自旋轨道耦合电子轨道的磁矩考虑电子的运动可以看成电流为：
I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}的载流线圈，其磁矩为：
\mu = I \cdot S = -\frac{ev}{2\pi r} \cdot \pi r^2 = -\frac{evr}{2}= -\frac{eL}{2m}=-\gamma L其中，$L = mvr$ 是角动量，$\gamma = \dfrac{e}{2m}$ 是电子的旋磁比。
记最小角动量单位对应的磁矩为玻尔磁子：
\mu_B = \frac{e\hbar}{2m} = \gamma \cdot\hbar根据量子力学的结论，轨道角动量和z分量为：
L = \sqrt{l(l+1)}\hbar, \quad L_z = m_l\hbar相应的磁矩为：
\mu_l =-\sqrt{l(l+1)}\mu_B, \quad \mu_{l,z} = -m_l\mu_B朗德g因子和自旋轨道相互作用定义朗德g因子为：
g = -\frac{\mu_j}{\sqrt{j(j+1)}\mu_B}实 ...
原子的结构
原子的构成电子的发现1897年，汤姆孙通过阴极射线实验发现了电子。汤姆孙实验的成功归功于高真空的实现，从而可以观察到电子的持续偏转。通过测量偏转半径，可以估计电子的比荷比氢离子大千倍左右。
1910年，密里根通过油滴实验测定了电子的电荷：
e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}原子的结构卢瑟福模型知道了电子的存在后，汤姆孙提出了“葡萄干布丁模型”，认为原子是一个带正电的球体，电子像葡萄干一样嵌在其中。这时候，科学家们还没有发现原子核，只知道有一种氢离子存在。
卢瑟福在1911年通过金箔实验否定了汤姆孙的模型。这是因为按照汤姆孙模型，α粒子应该会被原子中的电子散射，但实验中发现大部分α粒子都能穿过金箔，只有少数被偏转。卢瑟福推测原子中有一个小而密集的正电荷区域，即原子核。
根据 有心力和散射问题 中的推导，卢瑟福散射实验中的偏转角度 $\theta$ 满足：
\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{m}k}{\sqrt{2El^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z e^2}{2Eb}=\frac ...
