随机变量及其分布
概率论基础随机试验满足以下三个条件的实验称为随机试验：
试验的结果不确定，不能事先预知。
可以在相同的条件下重复进行。
试验的结果属于一个确定的集合，这个集合称为样本空间，记作 $S$。样本空间中的每一个元素称为样本点，记作 $\omega$。样本空间中所有可能的结果构成了试验的结果集。
样本空间$S$的子集称为事件，记作$A$。事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点的集合。其中，$S$也是样本空间的子集，称为必然事件；空集$\emptyset$也是样本空间的子集，称为不可能事件。
事件的关系如下：
并事件：若事件A和事件B至少有一个发生，则记该事件为$A \cup B$，称为事件A或事件B发生。
积事件：若事件A和事件B同时发生，则记该事件为$A \cap B$，称为事件A且事件B发生。
互不相容事件：若事件A和事件B互不相容，则记该事件为$A \cap B = \emptyset$，称为事件A和事件B不相容。
包含事件：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作$A \subseteq B$。
相等事件：若$A \subseteq B，B \subseteq ...
偏微分方程的格林函数法
格林函数法的思想格林函数方法是基于格林定理的数学工具。对于任意线性算符的非齐次方程：
\mathcal{L}u(x) = f(x)他将非齐次项$f(x)$表示一个个独立的点源$\delta(x-x_0)$的叠加：
\mathcal{L}G(x, x_0) = \delta(x-x_0)这样原来方程的解$u(x)$就可以表示为：
\begin{aligned}
u(x) &= \int G(x, x_0) [\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi] dx_0\\
&= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0\\
\end{aligned}这有点像是将非齐次项分解为格林函数，里面的$\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi$就是格林函数的系数。考虑边界项，最终的解$u(x)$可以写为：
u(x)= \int G(x, x_0) f(x_0) dx_0+\text{边界项}通过简单的验证可以得到：
\mathcal{L}u(x) = \int \mathcal{L}G(x, x_0) f(x_0) dx_0 = \int \del ...
偏微分方程的积分变换法
积分变换法包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等方法，其中傅里叶变换适合求解无穷定义域上收敛的问题，而拉普拉斯变换适合求解半无穷定义域上的问题。
傅里叶变换对于在无穷区间上定义的分段连续函数$f(x)$，若满足$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx < \infty$，则该函数具有以下傅里叶变换的性质：
傅里叶变换：\mathcal{F}\{f(x)\}(k) = F(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-ik x}dx
逆傅里叶变换：\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}(x) = f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^{ik x}dk
线性性：\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = aF(k) + bG(k)
导数和积分的傅里叶变换：
一阶导数：\mathcal{F}\{f'(x)\} = ikF(k)
二阶导数：\mathcal{F}\{f''(x)\} ...
表面光学
电磁场边值关系
菲涅尔公式
反射率和折射率（振幅关系）
相位关系
电磁场边值关系介质分界面两侧的电磁场有突变，遵循麦克斯韦方程组：
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &= \nabla \times \mathbf{H} + \mathbf{J} \\
\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &= -\nabla \times \mathbf{E} \\
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\end{aligned}四个方程取积分极限，可得无电荷电流介质表面的边值关系：
\begin{aligned}
H_{1t}=H_{2t} \\
E_{1t}=E_{2t} \\
D_{1n}=D_{2n} \\
B_{1n}=B_{2n} \\
\end{aligned}写为电场和磁感应强度的分量形式：
\begin{cases}
H_{1t} &= H_{2t} \\
E_{ ...
偏微分方程的分离变量法2
偏微分方程的分离变量法1 谈到了正交多项式和场论基础。为了求解偏微分方程，可以在相应坐标系下使用场论结果表示相应算子，使用分离变量法使其转化为多个独立的常微分方程问题，然后使用正交多项式展开。
直角坐标系波动方程以一般的一维波动方程为例：
\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t)&\text{波动方程}\\
a_1u(x=0,t)+a_2u_x(x=0,t)=g(t)&\text{边值条件1}\\
b_1u(x=0,t)+b_2u_x(x=0,t)=h(t)&\text{边值条件2}\\
u(x,t=0)=\varphi(x),u_t(x,t=0)=\psi(x)&\text{初始条件}
\end{cases}该问题可以拆分为两个问题：
齐次方程的非齐次边界问题：$u_1(x,t)$
非齐次方程的齐次边界问题：$u_2(x,t)$
$u_1(x,t)$和$u_2(x,t)$的解都需要用到齐次方程的正交多项式展开，然后分别根据边界条件和外力项决 ...
偏微分方程的分离变量法1
场论初步
正交多项式
傅里叶级数
半区间延拓
傅里叶级数的复数形式
傅里叶-贝塞尔级数
傅里叶-勒让德级数
Sturm-Liouville问题
场论初步想要使用分离变量法求解偏微分方程，不可离开不同坐标系下微分算子的表示。我们首先得了解正交曲线坐标系。
正交曲线坐标系指的是在任意点处，坐标曲线互相正交的坐标系。对于空间中的无穷小线元，由直角坐标系的正交性可知：
ds_i^2=dx_i^2+dy_i^2+dz_i^2,i=1,2,3其中$ds_i$是沿坐标曲线$q_i(q_j=C_1,q_k=C_2)$的线元。由坐标曲线的定义可知：
dx_i=\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}dq_i,dy_i=\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}dq_i,dz_i=\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}dq_i所以线元的表达式为：
ds_i^2=\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partia ...
特殊函数和方程
常点附近的级数解法另一种常见的解二阶常微分方程的办法是级数解法。对于标准的线性二阶齐次常微分方程：
\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0如果$x_0$是方程的一个常点（解析的点），那么微分方程存在以$x_0$为中心的两个幂级数解。我们可以假设解为：
y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n艾里方程艾里方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：
\frac{d^2y}{dx^2}-xy=0它的解称为艾里函数，通常用$Ai(x)$和$Bi(x)$表示：
y(x)=c_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(2/3)}{9^nn!\Gamma(n+2/3)}x^{3n}+c_1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(4/3)}{9^nn!\Gamma(n+4/3)}x^{3n+1}
Ai(x)=y(x,c_0=\frac{3^{-2/3}}{\Gamma(2/3)},c_1=- ...
常微分方程
常微分方程
一阶常微分方程
线性一阶常微分方程
可分离导数的一阶常微分方程
无法分离导数的一阶常微分方程
二阶和高阶常微分方程
降阶法
齐次线性常微分方程
非齐次线性常微分方程
常系数线性常微分方程
齐次常系数线性常微分方程
非齐次常系数线性常微分方程
非常系数线性微分方程
通解
特解
线性常微分方程组
常微分方程含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：
F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0其中常微分方程的阶数为最高阶导数的阶数。此阶数不同于我们之前学习的方程的阶数，对于未知函数及其导数项的幂，只有线性与非线性的区分。线性常微分方程如下：
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)如果$f(x)=0$，则称为齐次线性常微分方程；如果$f(x)\neq 0$，则称为非齐次线性常微分方程。
\begin{cases}
\text{线性} &
\begin{cases}
\text{齐次} &
\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=0\\
\text{非 ...
偏微分方程
偏微分方程
重要的数学物理方程
波动方程
热传导方程
Laplace方程和Poisson方程
Schrödinger方程
偏微分方程常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：
F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0而偏微分方程是指未知函数与多个自变量有关的微分方程：
F[x_i,\frac{\partial y}{\partial x_i},\frac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j},\cdots(i,j=0,1,\cdots,n)]=0偏微分方程有线性和非线性之分，这里以二阶微分方程为例：
\begin{cases}
\text{线性} &
\begin{cases}
\text{齐次} &
\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\dfrac{\partial y}{\partial x_i}+cy=0\\
\text{非齐次} &
\sum_{i,j=1}^{ ...
级数与留数定理
级数展开与留数定理在上一节中，我们谈论到如果能将函数级数展开，那么可以根据负次幂级数来计算围线积分。以下是洛朗定理：
洛朗定理：设 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，$D$ 是包含点 $z_0$ 的圆盘，且 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有孤立奇点，则存在一个收敛于 $z_0$ 的圆盘 $D’$，使得在 $D’$ 内，$f(z)$ 可以展开为：
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n其中：
a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz取$n=-1$，我们可以得到：
\oint_C f(z) dz=2\pi i a_{-1}复数$a_{-1}$被称为留数，它是函数在孤立奇点处的一个重要性质，通常记为$a_{-1}=\underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z)$，这样求围线积分就可以写为：
\oint_C f(z) dz=2\pi i \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z)如果围道内存在多个孤立 ...