小径

角动量算符 厄密性 对易关系 对易关系带来的问题 期望值 阶梯法计算角动量本征值 角动量表象 角动量算符类比$L=r\times p$，可以得出 \hat{L}=\hat{r}\times\hat{p}=-i\hbar \hat{r}\times \nabla=-i\hbar\left(-\vec{e_\theta}\frac{1}{\sin{\theta}}\partial_\phi+\vec{e_\phi}\partial_\theta\right)\hat{L^2}=-\hbar^2 \left[\frac{1}{\sin{\theta}}\partial_\theta(\sin{\theta}\partial_\theta)+\frac1{\sin^2{\theta}}\partial^2_\phi\right]转换到直角坐标，即可得到$\hat{L_i},i=x,y,z$的表达式。 厄密性显然$\hat{L},\hat{L^2}$都是厄密的，这从表达式可以看出来（类比动量算符）。另外一种证明方法是，两个对易厄密算符之积是厄密的，那么$\hat{L_i}=\hat{r_ ...

我们刚刚讨论了一维势阱势垒中的束缚和散射解。实际上，现实中更贴近实际的模型是中心力场问题。中心力场问题的势能函数只与径向距离$r$有关，通常写成$V(r)$。 三维无限深方势阱 中心力场问题 薛定谔方程解通论 自由粒子球面波和球无限深势阱 三维各向同性谐振子 库伦势与氢原子 三维无限深方势阱三维无限深方势阱显然不是一个中心力场问题，不过它的介绍可以为我们对三维简并提供一些直观的理解： V(x,y,z)=\begin{cases}0&0

Dirac符号 矩阵表述 表象变换的矩阵表述 算符 算符的对易 可观测量与厄密算符 不确定性关系 对易力学量完全集（CSCO） Dirac符号虽然在第一节已经用到了狄拉克符号而未作说明，我们在这一节系统地介绍狄拉克符号。左矢$\langle \alpha|$可以类比为行向量而右矢$|\alpha\rangle$可以类比为列向量，那么： 内积：$\langle \alpha|\beta\rangle$类比一个数 外积：$|\beta\rangle\langle \alpha|$类比一个矩阵 直积：$|\alpha\rangle|\beta\rangle$ 矩阵表述设 |\alpha\rangle=\sum_n a_n |e_n\rangle|\beta\rangle=\sum_m b_m |e^\prime_m\rangle又因为可以表示为： |\alpha\rangle=\sum_n |e_n\rangle\langle e_n| \alpha \rangle可知系数表示为： a_n=\langle e_n| \alpha \rangle如果二者能做内积，就要求$n= ...

为了求解薛定谔方程的通解，第一步是求解给定实数势能项下的波函数空间项，即定态问题。这里以一维定态问题为例，高维情况下可以通过分离变量法将其转化为一维问题。 TODO：补充自由粒子等散射态问题，引入群速度的思考。 无限深方势阱 有限深对称方势阱（束缚解） 有限深对称方势垒 有限深对称方势阱（散射解） 谐振子势阱 代数解法 阶梯法 δ函数势阱（束缚解） δ函数势垒 δ函数势阱（散射解） 双δ函数势阱 周期δ函数势阱 Kronig-Penny模型 无限深方势阱V(x)=\begin{cases}&0&0

波函数和态矢量 表象变换 归一化 薛定谔方程的通解 定态问题和概率流 线性组合 薛定谔方程的性质 本征问题 简并度 宇称 波函数和态矢量态矢量定义在希尔伯特空间内，用于描述量子系统的状态。希尔伯特空间是完备的内积空间，内积空间就是定义了内积的线性空间。态矢量是不依赖表象的，当我们想在具体的表象中描述态矢量时，就需要找到一组完备基： \sum_\text{i}|\mathrm{a_i}\rangle\langle\mathrm{a_i}|=1\quad\mathrm{or}\quad\int|\alpha\rangle\langle\alpha|\mathrm{d}\alpha=1来进行内积： \mathrm{\psi_{a_i}=\langle a_i|\psi\rangle}\quad\mathrm{or}\quad\mathrm{\psi_{\alpha}=\langle \alpha|\psi\rangle} 波函数顾名思义是个函数，实际上，是因为左乘的向量是一个和表象有关的变量。当固定表象变量（如$x$）时，波函数就是一个数值。 如何寻找一组完备基？首先得确定空 ...

量子力学公设和正则量子化 量子力学的五大公设 正则量子化 基本概念 左矢空间和右矢空间 算符 内积 结合公理和完备性表示 基底右矢和线性展开 矩阵表示 测量 相容可测量量和简并 不确定性关系 基矢的变换 量子力学公设和正则量子化量子力学的五大公设 波函数公设： 波函数$\psi(\vec{r})$用于描述量子系统的状态。更数学地讲，希尔伯特空间中的矢量$\left|\psi\right\rangle$可以描述微观系统的状态，那么波函数是态矢量在某一表象下的投影 关于波函数的物理意义，比较公认的是玻恩的统计诠释，即波函数的模方描述在空间中某点发现粒子的概率幅：dP(\vec{r})=|\psi(\vec{r})|^2d\vec{r}=\langle \psi|\vec{r}\rangle\langle \vec{r}|\psi\rangle d\vec{r} 结合后面谈到的完备性基底，可以证明概率幅是归一化的：\int dP(\vec{r})=\int \langle \psi|\vec{r}\rangle\langle \vec{r}|\psi\rangle d\vec{ ...

Basic Concepts运算规则 $(|\psi\rangle)^\dagger=\langle\psi|$ $(|\psi_i\rangle\langle\psi_j|)^\dagger=|\psi_j\rangle\langle\psi_i|$ $(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$ $(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^*=\langle\psi_i|\psi_j\rangle$ $(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^\dagger=(|\psi_i\rangle)^\dagger(\langle\psi_j|)^\dagger=\langle\psi_i|\psi_j\rangle=(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^*$ $\langle\psi_j|\hat A^T|\psi_i\rangle=\langle\psi_i|\hat A|\psi_j\rangle$ $\langle\psi_j|\hat A^\dagger|\psi ...

薛定谔绘景 定态和叠加态 自旋的进动 中微子振荡 海森堡绘景 海森堡运动方程 自由运动的粒子 Ehrenfest定理 简谐振子和相干态 谐振子 简谐振子动力学 相干态 位置表象 粒子数算符 幅值算符和相位算符 朗道能级 经典理论 半经典量子理论 简并 态密度 量子化霍尔电导 规范变换 标势的规范变换 矢势的规范变换 更一般的情况 态矢量的幺正变换 薛定谔方程的规范不变性 概率和概率流密度的规范不变性 AB效应 几何相位 绝热近似 例子：无限深势阱边界的移动 例子：自旋1/2的磁矩 量子几何 经典度规 量子度规 薛定谔绘景薛定谔方程描述了量子态随时间的演化： \mathrm{i}\hbar\frac\partial{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle或者使用时间演化算符$\hat{U}(t)=\exp[-\dfrac{it}{\hbar}\hat{H}]$表示为： |\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle代入时间演化算符，可以获得简洁一般（不要求哈密顿 ...

参考书籍： 《Electronic Structure》by Martin 《Density Functional Theory》 Content: Introduction

本学期量子力学Ⅰ的参考教材为格里菲斯的《量子力学导论》和曾谨言的《量子力学Ⅰ》前半部分。 Content:量子力学的发展历史、三种等价表述与五大公设： 量子力学的诞生 利用非狄拉克符号（纯波函数）的量子力学解决一些问题： 波函数和薛定谔方程 一维定态问题 中心力场问题 全同粒子 利用狄拉克符号和算符理论解决一些问题： 算符与对易关系 角动量理论 自旋及其演化 角动量耦合 对称性和守恒律 好吧，原来这里面一半都是角动量理论…