小径

“介质对光的吸收、色散与散射，均属于分子尺度上光与物质的相互作用，故三者曾并称为分子光学。”——《现代光学基础》 光的吸收在隐逝波的讨论中，我们已经发现了线性吸收规律。从其第一性原理出发： dI = -\alpha I dx可以推出： I = I_0 e^{-\alpha x}其中 $\alpha$ 是吸收系数，$I_0$ 是入射光强度，$I$ 是透射光强度。 线性吸收律本质上是基于低强度光学中的线性近似。 考虑振幅表示： \widetilde{E}(x,t) = A(x)e^{i(-\omega t + kx)}=A_0 e^{-\frac{\alpha}{2} x} e^{i(-\omega t + kx)}=A_0e^{i(-\omega t+\widetilde{k}x)}其中 $\widetilde{k} = k +i \dfrac{\alpha}{2}$，用折射率和光速表示： \widetilde{k} = \frac{\omega n}{c} + i \frac{\alpha}{2}=\frac{\omega \widetilde{n}}{c}其中 $\widetil ...

基因调控网络-乳糖操纵子 激活蛋白 阻遏蛋白 正负调控机制的结合 基因调控网络-果蝇胚胎 单态模型 二态模型 基因开关 生物网络是描述生物系统中各种分子、细胞或组织之间相互作用的复杂系统模型。它们通过节点（如分子、基因、蛋白质）和边（相互作用关系）来揭示生命活动的组织原则。一般使用图结构来表示。 基因调控网络-乳糖操纵子基因通过DNA转录成RNA，然后翻译成蛋白质来表达，其中起重要作用的步骤是RNA聚合酶与操纵基因的结合。存在两种调控机制： 阻遏蛋白结合在启动子上，阻止RNA聚合酶结合。 激活蛋白促进RNA聚合酶与启动子结合。 考虑聚合酶的配分函数$Z(P;N_{NS})$，其中P是聚合酶的数目，$N_{NS}$是非特异位点的数目。假设聚合酶结合在启动子上，能量为$\epsilon_{pd}^S$，结合在非特异位点上，能量为$\epsilon_{pd}^{NS}$。假设最多结合一个位点，则配分函数可以表示为： Z(P;N_{NS}) = Z_{NS}(P,N_{NS})+Z_{NS}(P-1,N_{NS})\exp{(-\beta\epsilon_{pd}^S)}其中 ...

分子马达 单态模型 扩散方程 速率与外力的关系 速率与ATP浓度的关系 双态模型 乌贼的巨型轴突：生物电 能斯特电势 门开关模型 去极化 带门开关的去极化模型 电报方程 钠离子通道失活 失活蛋白的回正 以下介绍动力学（含时）模型。 分子马达分子马达是细胞内负责运输和运动的蛋白质机器。它们通过化学能（通常来自ATP水解）转换为机械能，推动细胞内的物质运输。 分子马达分为以下类型： 线动马达：如肌球蛋白，沿微丝（肌动蛋白）移动，主要负责细胞收缩和物质运输。 转动马达：如噬菌体包装DNA的马达和细菌鞭毛的马达。 聚合马达 易位马达 单态模型描述分子马达需要区分内部态和外部态，其中内部态指的是马达的构象状态（如活动臂的位置和马达头部和不同分子的结合态），外部态指的是马达的具体位置。 扩散方程仅考虑马达的外部态，假设其在外力F的作用下分别以速率$k_+(F)$和$k_-(F)$前后运动，其位置概率$p(n,t)$的演化方程为： p(n,t+\Delta t) = p(n-1,t)k_+\Delta t + p(n+1,t)k_-\Delta t+p(n,t)(1-k_-\De ...

模式系统 血红蛋白：受体配体结合模型 简单结合 多结合点位 考虑中间态 考虑协同效应 MWC模型：考虑二态 噬菌体：DNA折叠 弹性梁理论 拉伸曲线 小力情形 大力情形 插值 DNA成环自由能 细胞膜与细胞器膜 曲面的曲率 脂质双分子的自由能 膜的刚度测量 膜管 模式系统选择通用简易标准化的生物观察对象进行一类模式系统的研究，是生物学中的研究范式，其优点主要包括： 实验室可培养性 可观察及测量性 安全性 方便或针对特殊需求 按照生物结构，可以分为不同的研究层次： 结构生物学：研究大分子的三维结构及其功能关系 分子生物学与生物化学：研究大分子的功能、调控机制和动态过程 细胞生物学 遗传学 生态学 本专栏主要会设计以下模式系统： 血红蛋白：研究受体配体结合关系 噬菌体：分子马达、DNA折叠 乌贼的巨型轴突：生物电 斑马鱼的脑血管：生物运输网络 乳糖操纵子和果蝇胚胎：生物基因网络 以下展示平衡态（不含时间）的模式系统。 血红蛋白：受体配体结合模型简单结合假设体积为$\Omega$单位的溶液中有$L$个配体和1个受体，每个配体占据单位为1的体积，根据统计力学，受 ...

化学反应式 化学平衡 非平衡动力学 郎之万方程 涨落-耗散定理 过阻尼郎之万方程及其不变分布 Kramers理论与稀有事件 伞形采样 化学反应式化学反应式是化学反应的简化表示，通常包括反应物、产物和反应条件。它们可以用来描述化学反应的平衡状态、速率和热力学性质： A+B\rightleftharpoons C+D其中： $A$和$B$是反应物 $C$和$D$是产物 $\rightleftharpoons$表示反应是可逆的，$\rightarrow$表示反应是不可逆的 化学平衡化学平衡是指在一个封闭系统中，反应物和产物的浓度不再随时间变化的状态。化学平衡可以用平衡常数$K$来表示： K=\frac{[C][D]}{[A][B]}其中： $[C]$、$[D]$、$[A]$和$[B]$分别是反应物和产物的浓度 $K$是平衡常数，表示在平衡状态下产物和反应物的浓度比值 非平衡动力学当反应不处于平衡状态时，反应速率可以用速率常数$k$来表示。以这条化学反应为例： A~\underset{k_-}{\overset{k_+}{\rightleftharpoons}}~ B\ov ...

随机微积分伊藤积分以维纳过程为基础的噪音表示为： \xi(t) = \frac{dW(t)}{dt}显然，其具有以下性质： 均值：\langle \xi(t) \rangle = 0 方差：\langle \xi(t) \xi(t') \rangle = \sigma^2\delta(t - t') 考察一个带有噪音的随机微分方程： \frac{dx(t)}{dt} = f(x(t), t) + g(x(t), t) \xi(t)其形式解为： x(t) = x(0) + \int_0^t f(x(t'), t') dt' + \int_0^t g(x(t'), t') dW(t')然而，不同于黎曼积分，随机积分并不能被简单定义。由于黎曼积分的良好性质，其极限定义不依赖于积分区间的中点，即： \int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} f(x_i^*) \Delta t中的$x_i^*$是任意选取的点。 一般有如下两种方式来定义随机微积分： \begin{cases} x_i^*=x ...

省流 哈密顿量：\boxed{H(q,p,t)=\sum_{\alpha=1}^sp_\alpha\dot{q}_\alpha-L(q,\dot{q},t)} 哈密顿正则方程：\begin{cases} \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\dot{q}_\alpha \end{cases} 泊松括号：\boxed{\{f,g\}=\sum_{\alpha=1}^s\left(\frac{\partial f}{\partial q_\alpha}\frac{\partial g}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial f}{\partial p_\alpha}\frac{\partial g}{\partial q_\alpha}\right)} 泊松括号形式的哈密顿正则方程：\boxed{\dot{q}_\alpha=\{q_\alpha,H\},\dot{p}_\alpha=\{p_\ ...

省流 拉格朗日方程：\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}= 0,L=T-V} 广义动量：\boxed{p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}} 广义动量守恒条件：\boxed{\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\Rightarrow p_j=Const} 拉格朗日方程拉格朗日关系将真实坐标用广义坐标表示： \vec{r}_i = \vec{r}_i(q_1, q_2, \cdots, q_{N-k}, t)\dot{\vec{r}}_i = \sum_{\alpha=1}^{N-k}\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t}分别对$\dot{q}_\beta$和$q_\beta$求导： \begin{aligned} \ ...

省流 约束一方面增加了坐标的关联，使其在偏导时需要考虑约束条件，另一方面减少了自由度，使得可以用更少的广义坐标描述系统的运动； 常见的约束：几何约束$f(x,y,z)=0$与滚动无滑的运动约束$\dot{x}-R\dot{\theta}=0$； 约束取一个简单的例子，两个二维质点由一个刚性的轻杆链接，求解质点的运动可以有两种方法： 考虑杆的弹力（约束力），列出牛顿方程； 考虑杆的几何约束，不考虑弹力。 如果使用第一种方法，需要假设弹性力的作用，则4个运动方程中出现新的未知量弹性力，需要额外的约束方程来求解；如果使用第二种方法，则可以通过设置三个广义坐标——质心的坐标和杆的角度来描述系统的运动，进而列出拉格朗日方程。 这两种方法对应牛顿力学和拉格朗日力学，也是对约束的不同处理方法。根据约束的存在与否和性质，可以将力学问题做如下分类： \begin{cases} \text{无约束} & \text{自由系统} \\ \text{有约束} & \text{非自由系统} \end{cases}\begin{cases} \text{约束的不等式性} & \begin{cases} \ ...

随机过程随机过程是指在时间和空间上变化的随机变量的集合，记为： \{X(t), t \in T\}其中，$X(t)$是随机变量，$t$是时间或空间的参数，$T$是参数的取值范围。一般称$t$为事件，$X(t)$为随机过程的状态。一次实验观测到的函数$x(t)$称为随机过程的样本函数或轨迹。 随机过程可以用来描述随时间变化的随机现象，如股票价格、气温、人口等。根据随机变量的性质，可以分为以下几类： 离散时间随机过程：参数$t$取离散值，如整数或有限集合。 连续时间随机过程：参数$t$取连续值，如实数或区间。 离散状态随机过程：随机变量$X(t)$取离散值，如整数或有限集合。 连续状态随机过程：随机变量$X(t)$取连续值，如实数或区间。 一些常见的随机过程可以分类如下表格： 随机过程类型 时间 状态 一维随机游走 离散 离散 马尔可夫链 离散 离散 泊松过程 连续 离散 布朗运动 连续 连续 自回归过程 离散 连续 随机过程的数字特征随机过程的数字特征是指随机过程的统计特性，主要包括以下几个方面： 均值：随机过程的均值是指随机变量$X(t)$ ...