小径

题目 从不同的初值$z_0$出发，牛顿法求解复方程$z^4-1=0$的根，并以一定的分辨率画出指定范围下不同初值的收敛结果: 1.$\operatorname{Re}[z_0]\in (-1,1),\operatorname{Im}[z_0]\in (-1,1)$，分辨率0.01 2.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.4,0.6),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.4,0.6)$，分辨率0.001 3.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.49,0.51),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.49,0.51)$，分辨率0.0001 4.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.499,0.501),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.499,0.501)$，分辨率0.00001 理论分析方程$z^4=1$有四个解： z_1=1,z_2=-1,z_3=1i,z_4=-1i牛顿法的迭代方程为： z=z-\frac{z^4-1}{4z^3}=\frac 34 ...

题目 1.对于迭代方程$x_{n+1}=1-\mu x_n^2$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。 2.对于迭代方程$f(x)=\left\{\begin{aligned}x_{n+1}=1-\mu x_n & x>0\\x_{n+1}=1+\mu x_n & x<0\end{aligned}\right.$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。 3.对于迭代方程$x_{n+1}=1-\mu x_n$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。 4.比较上述两种情况，你发现了什么。 如果你有幸在物理实验课上进行了混沌相关的实验，你会发现这就是实验课所讲的虫口模型：虫子在繁殖增加和竞争减小的双重作用下，数量产生了周期性或非周期性的波动。研究其中的行为特征，可以对混沌理论和行为略窥一二。 这里仅针对第一种情况进行以下方面的讨论。 初步理论分析良好的理 ...

本学期的计算物理质量之高令人惊叹，只可惜含金量全都集中在助教和作业上了，建议同学们都去问助教问题。 本专栏记录了计算物理的作业及个人解答，供同学们参考用。值得注意的是，希望在参考处标注出处（尤其是上计算物理这门课的同学们）。尽管如此，我依然推荐大家去自己搜索该课程需要用到的文献，这对于锻炼你的搜索能力有着极大的帮助。 计算物理课程作业不定期修改，所以注意作业的数值变动，以及更常见的整道题都不同的情况。 作者做作业是参考了该学长（知乎-计算物理专栏）的某些思路，并进行了一定程度的创新。致谢每一位具有传承精神的同学。

本学期的学习中并不看重公理化体系的引入，不过这里还是简单的介绍一下，学完量子力学不免有的疑问在这里可以稍作解答。不同的作者对基本原理有着不同的归纳，这里结合喀兴林和Haku的归纳方法。 量子力学公设 波函数和态矢量 归一化 表象变换 薛定谔方程 如何导出薛定谔方程 定态和概率流 线性组合 简并度 Ehrenfest定理 量子力学公设 波函数公设：波函数$\psi(\vec{r})$用于描述量子系统的状态。更数学地讲，希尔伯特空间中的矢量$\left|\psi\right\rangle $可以描述微观系统的状态，那么波函数是态矢量在某一表象下的投影； 算符和测量公设：希尔伯特空间中的厄密算符可以描述围观系统的物理量，而物理量的具体数值，取决于算符的本征值。算符可能有多个本征值，那么讲态矢量按照归一化本征矢量展开得到的系数的复平方，即是取到该值的概率。如果用数学公式表达，就是： 算符公设：$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$ 其中 $\langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}$ 测量公设（统计诠释）：$|\psi\rangl ...

量子力学2主要参考课程讲义以及Sarkari的《现代量子力学》。 量子力学公设 基本概念 左矢空间和右矢空间 算符 内积 结合公理和完备性表示 基底右矢和线性展开 矩阵表示 测量 相容可测量量和简并 不确定性关系 基矢的变换 混合态和密度矩阵 量子熵和极大熵原理 微正则系综 正则系综 巨正则系综 量子力学公设 波函数公设：波函数$\psi(\vec{r})$用于描述量子系统的状态。更数学地讲，希尔伯特空间中的矢量$\left|\psi\right\rangle $可以描述微观系统的状态，那么波函数是态矢量在某一表象下的投影； 算符和测量公设：希尔伯特空间中的厄密算符可以描述围观系统的物理量，而物理量的具体数值，取决于算符的本征值。算符可能有多个本征值，那么讲态矢量按照归一化本征矢量展开得到的系数的复平方，即是取到该值的概率。如果用数学公式表达，就是： 算符公设：$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$ 其中 $\langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}$ 测量公设（统计诠释）：$|\psi\rangle=\sum_i\lvert ...

薛定谔绘景 定态和叠加态 自旋的进动 中微子振荡 海森堡绘景 海森堡运动方程 自由运动的粒子 Ehrenfest定理 简谐振子和相干态 谐振子 简谐振子动力学 相干态 位置表象 粒子数算符 幅值算符和相位算符 朗道能级 经典理论 半经典量子理论 简并 量子化霍尔电导 规范变换 标势的规范变换 矢势的规范变换 更一般的情况 态矢量的幺正变换 薛定谔方程的规范不变性 概率和概率流密度的规范不变性 AB效应 几何相位 绝热近似 例子：无限深势阱边界的移动 例子：自旋1/2的磁矩 量子几何 经典度规 量子度规 薛定谔绘景薛定谔方程描述了量子态随时间的演化： \mathrm{i}\hbar\frac\partial{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle或者使用时间演化算符$\hat{U}(t)=\exp[-\dfrac{it}{\hbar}\hat{H}]$表示为： |\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle代入时间演化算符，可以获得简洁一般（不要求哈密顿量不含时 ...

Basic Concepts运算规则 $(|\psi\rangle)^\dagger=\langle\psi|$ $(|\psi_i\rangle\langle\psi_j|)^\dagger=|\psi_j\rangle\langle\psi_i|$ $(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$ $(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^*=\langle\psi_i|\psi_j\rangle$ $(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^\dagger=(|\psi_i\rangle)^\dagger(\langle\psi_j|)^\dagger=\langle\psi_i|\psi_j\rangle=(\langle\psi_j|\psi_i\rangle)^*$ $\langle\psi_j|\hat A^T|\psi_i\rangle=\langle\psi_i|\hat A|\psi_j\rangle$ $\langle\psi_j|\hat A^\dagger|\psi ...

直碰的乒乓球模型 随机角度的乒乓球模型 随机角度的乒乓球流模型 天文情况的概论 Shock-Fermi I Cluster-Fermi II 数值讨论 能量增加率分布 更详细的推导 无穷小速度场与平均速度场 扩散模型 在研究并和星系团的大尺度射电晕结构时，经常用到的解释时费米的一二阶加速，其本质上是预加速电子在星系团湍流的作用下的统计上的能量增加。 费米一阶加速预期电子被激波加速，看上去就好像电子被激波反弹了回来，从而获得了加速的能量。从下面这样一个简单的模型可以略窥一二。 直碰的乒乓球模型 墙的速度为$v$，小球碰前速度为$v_1$，碰后速度为$v_2$。满足墙坐标系下能量守恒： v_1+v=v_2-v\Rightarrow v_2=v_1+2v能量的增加为： \Delta E=\frac12 m(v_1+2v)^2- \frac12 mv_1^2=2m(v_1v+v^2)能量增加率为： \epsilon=\frac{\Delta E}{E}=4\frac{v_1v+v^2}{v_1^2}\approx 4\frac{v_1}{v}近似采用了墙的速度$v$远小于球的速度$v_1$ ...

聚变能源简介 反应功率 韧致辐射损失功率 热传导对流损失功率 劳森判据 压强提升过程 烧蚀增压 内爆增压 阻滞增压 聚变增压 激光驱动模式 激光核聚变的四大过程 激光等离子体相互作用 向心内爆 阻滞和约束 点火和自持燃烧 热斑点火模型 激光聚变点火新方案 习题 聚变能源简介反应功率单位体积的聚变反应功率为： P_f=n_1n_2\sigma v E由于氘氚反应截面在64keV处达到最大值（比其他过程大了一个数量级），我们常选取氘氚反应作为核聚变的主要过程： D+T\to \alpha(3.5MeV)+n(14.1MeV)当氘氚的比例为1：1的时候，化为下式： P_f=\frac14 n^2\langle\sigma v\rangle E韧致辐射损失功率韧致辐射损失功率由Bethe-Heitler公式给出： P_b=\alpha n^2 T^\frac12_e热传导对流损失功率等离子体的能量可视为在约束时间内稳定消散，则由于热传导和对流的损失功率为： P_h=\frac{3nT}{\tau}其中，$\tau$是约束时间。 劳森判据当聚变功率大于损失功率时，可以实现自持升温 ...

激光等离子体简介 激光简介 激光工作原理 激光工作装置 激光的特点 等离子体简介 德拜长度 郎缪尔振荡 等离子体的碰撞频率 电离度 激光在等离子体中传播和吸收 激光等离子体不稳定性 三波耦合 习题 激光等离子体简介激光简介激光工作原理受激吸收：低能级的粒子吸收光子（泵浦光）跃迁到高能级； 受激辐射：高能级的粒子遇到同样能量的光子（种子光）会跃迁到低能级，放出两个光子； 自发辐射：处于高能级的粒子有一定的概率跃迁到低能级。 从受激辐射可以看到，这一原理使得入射光增强。但仍有很多问题没有解决： 如何保证高低能级的粒子在受激吸收的时候，吸收的光子比放出的光子多？这可以通过增益介质解决。不同的介质通过不同的方法可以实现粒子数反转，使低能级的粒子都跃迁到高能级。 如何保证自发辐射小于受激辐射？只需要使得后者远大于前者即可。这引出了下文的谐振腔。当受激辐射发生时，方向合适的光子会在两个反射镜之间反复横跳，多次经过工作物质，反复产生受激辐射，不断增强光束。方向不合适的受激辐射光，也就无法产生稳定的震荡，因此我们能看到激光有明确的方向性，这也是谐振腔筛选的结果。 激光工作装 ...