群表示论

• 群表示
  • 群表示的例子
• 不可约表示
  • 等价表示
  • 可约表示
  • 可约与不可约的例子
• 有限群表示理论·1
• 群代数和正则表示
  • 群函数的例子
• 有限群表示理论·2
  • 正交基举例
• 特征标理论
  • 特征标举例

群表示

群是一个抽象的概念，而想要对其进行具体化和应用，就需要将其表示为更为具体的对象。所谓表示论，（在本文）就是确定我们研究的群到线性变换群的同态映射，从而将群元用矩阵表示出来。

所以群表示$(G,V,R)$一共包含了三个结构：

$$R:G\to GL(V)$$

其中，$GL(V)$是$V$的复一般线性变换群（General Linear Group）：

$$GL(V)=\{M|M:V\to V,M\text{可逆}\}=\{M|M\text{是可逆矩阵}\}=GL(n,\mathbb{C})$$

$R$是群$G$到$GL(V)$的同态映射，$V$是一个复线性空间，也就是表示空间。

为什么使用同态映射呢？

• 非单射的情况：有时候我们不关心群的部分内部结构，这时候就可以把他们压缩在一起。极端一点，可以构建群$G$到$\{\mathbf{1}\}$，这样一定满足乘法结构，但是是平凡的。在后面，我们会看到每个群都拥有一个平凡的不可约表示。
• 非满射的情况：有时候，我们会使用冗余的维度来表示群的结构，这时候就会出现非满射的情况。比如，$C_3$群可以使用三维空间的旋转矩阵来表示，而三维矩阵的自由度是9，实际上$C_3$群只有3个元素，这时候就会出现非满射的情况。（这也是为什么我们会谈到不可约表示——去除冗余的维度）

不丢失信息的表示叫做忠实表示，即$R$是单射的。

为了将代数理论引入群研究，我们将在后面定义群代数，它是一个包含了群元素的线性空间。群表示的核心就是将群元素映射到线性变换上。

群表示的例子

1. 空间反演的矩阵表示：
   • 若对$xy$平面进行反演，则其矩阵表示为： $$\sigma_{xy}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
   • 若对整个空间反演，则其矩阵表示为： $$I=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
2. 空间旋转的矩阵表示：绕$z$轴旋转$\theta$角度的矩阵表示为： $$R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
   • 对于$C_3$群（顺时针旋转120°）的矩阵表示为： $$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},C_3^1=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12&0\\0&0&1\end{pmatrix},C_3^2=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\-\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

不可约表示

对于任何群，求其全部不等价的不可约表示是一个重要的任务。

等价表示

$$\begin{array}{ccccc} & V^{(1)}& \xrightarrow{R(g)} & V^{(2)} \\ P& \downarrow && \downarrow &P \\ & V^{(3)} &\xrightarrow{\widetilde{R}(g)} & V^{(4)} \\ \end{array}$$

从$V^{(1)}$到$V^{(2)}$的表示可以写为$R(g)$，也可以写为$P\widetilde{R}(g)P^{-1}$，则：

$$\widetilde{R}(g)=P^{-1}R(g)P$$

称为$R(g)$的一个等价表示。

可约表示

如果$V$中存在一个$G$不变的真子空间（既不是$0$也不是$V$本身），则称$R$为可约表示。所谓不变子空间，是指对于任意$g\in G$，$R(g)W\subseteq W$。这时候可以通过矩阵表示为：

$$R(g)=\begin{pmatrix} W_1(g) & W_{21}(g)\\ 0 & W_2(g) \end{pmatrix}$$

这意味着$W_1$中的向量不会在变换中跑到$W_2$中，但$W_2$中的向量可以跑到$W_1$中：

$$R(g)\begin{pmatrix} y_1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} W_1(g)y_1\\ 0 \end{pmatrix},R(g)\begin{pmatrix} 0 \\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} W_{21}(g)y_2\\ W_{2}(g)y_2 \end{pmatrix}$$

可以验证，被连续作用后依然保持不变子空间的性质：

$$\begin{aligned} R(g_1)R(g_2)&=\begin{pmatrix} W_1(g_1) & W_{21}(g_1)\\ 0 & W_2(g_1) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} W_1(g_2) & W_{21}(g_2)\\ 0 & W_2(g_2) \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} W_1(g_1)W_1(g_2) & W_1(g_1)W_{21}(g_2)+W_2(g_2)W_{21}(g_1)\\ 0 & W_2(g_1)W_2(g_2) \end{pmatrix} \end{aligned}$$

通过进一步的分解，可以导出完全可约的概念：如果$V$可以表示为若干个$G$不变的真子空间（既不是$0$也不是$V$本身）的直和，则称$R$为完全可约表示。矩阵表示如：

$$R(g)=\begin{pmatrix} W_1(g) & 0 & \cdots &0\\ 0 & W_2(g) & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & W_n(g) \end{pmatrix}$$

若是怎么都无法分解为上三角矩阵的形式，则称为不可约表示。任何表示最终都可以约化为不可约表示的直和：

$$R(g)=\sum_p \oplus m_pR^p(g)$$

其中$m_p$是不可约表示$R^p(g)$的出现次数，称为重复度。

可约与不可约的例子

以$C_3$群为例，可以写出三维旋转矩阵：

$$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},C_3^1=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12&0\\0&0&1\end{pmatrix},C_3^2=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\-\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

显然，他们可以约化为：

$$E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},C_3^1=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12\end{pmatrix},C_3^2=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12\end{pmatrix}$$

这并不是终点，进一步，可以相似变换为：

$$E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},C_3^1=\begin{pmatrix}\omega&0\\0&\omega^2\end{pmatrix},C_3^2=\begin{pmatrix}\omega^2&0\\0&\omega\end{pmatrix},\omega=e^{i\frac{2\pi}{3}}$$

这说明$C_3$群可以分解为三个一维不可约表示：

$$C_3=\Gamma_1\oplus\Gamma_2\oplus\Gamma_3$$

• $\Gamma_1$：平凡表示，$E=C_3^1=C_3^2=1$；
• $\Gamma_2$：$E=1,C_3^1=\omega,C_3^2=\omega^2$；
• $\Gamma_3$：$E=1,C_3^1=\omega^2,C_3^2=\omega^4=\omega$；

一般会使用表格来表示群的不可约表示：

群元素	$E$	$C_3^1$	$C_3^2$	备注
$\Gamma_1$	1	1	1	平凡表示
$\Gamma_2$	1	$\omega$	$\omega^2$	忠实表示，$\omega$可以理解为顺时针旋转120°
$\Gamma_3$	1	$\omega^2$	$\omega$	忠实表示，$\omega^2$可以理解为逆时针旋转240°

后面我们将看到，$C_n$群全部可以表示为一维不可约表示。

这里我们看到了不可约表示将9个自由度的三维矩阵压缩为3个一维矩阵的表示。

有限群表示理论·1

以下的定理尚可以在未引入群代数的情况下理解。

定理：有限群若表示可约则完全可约。

翻译一下就是有限维矩阵如果可以写成：

$$R(g_i)=\begin{pmatrix} W_1(g_i) & W_{21}(g_i)\\ 0 & W_2(g_i) \end{pmatrix}$$

的形式，则必定可以等价表示为：

$$P^{-1}R(g_i)P=\begin{pmatrix} W_1'(g_i) & 0\\ 0 & W_2'(g_i) \end{pmatrix}$$

定理：酉表示可约则完全可约。

酉表示（Unitary，又译为幺正）指的是表示矩阵满足：

$$U^\dagger=U^{-1}$$

Schur引理1：两个不等价不可约表示$R_1(g),R_2(g)$不可能被非零线性变换$L$连接起来：

$$LR_1(g)=R_2(g)L$$

Schur引理2：同一个不可约表示$R(g)$不可能被非常数线性变换$L$连接起来：

$$LR(g)=R(g)L$$

有限群的酉表示：有限群的全部有限维表示都各存在一个与其等价的酉表示。

证明：定义新的内积：

$$\langle u,v\rangle=u^\dagger v\to \langle u,v\rangle_R=\frac{1}{|G|}\sum_g[R(g)u]^\dagger[R(g)v]$$

在新的内积下，$R$一定是一个酉表示：

$$\begin{aligned}\langle R(g')u,R(g')v\rangle_R&=\frac{1}{|G|}\sum_g[R(g)R(g')u]^\dagger[R(g)R(g')v]\\&=\frac{1}{|G|}\sum_g[R(gg')u]^\dagger[R(gg')v]\\&=\frac{1}{|G|}\sum_g[R(g)u]^\dagger[R(g)v]\\&=\langle u,v\rangle_R\end{aligned}$$

有了这个定理，对有限群的表示的所有分析都可以基于酉表示的性质。比如：有限群若表示可约，则对应酉表示可约，进而完全可约。

群代数和正则表示

定义群代数前需要知道代数是什么：设$R$是数域$K$上的线性空间，$\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in R$，可以定义乘法如下：

• 乘积仍然是向量：$\vec{x}\vec{y}\in R$
• 乘法分配律：$\vec{x}(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\vec{y}+\vec{x}\vec{z}$
• 数乘可结合交换：$a(\vec{x}\vec{y})=(a\vec{x})\vec{y}=\vec{x}(a\vec{y})$

注意到这里没有定义结合律，如果定义了结合律，则进一步称为结合代数：

• 乘法结合律：$(\vec{x}\vec{y})\vec{z}=\vec{x}(\vec{y}\vec{z})$

举个例子，矩阵乘法就满足以上要求，可以选取$n\times n$个矩阵作为基底，进而用线性组合表示任意矩阵。在以下的向量的理解中，最好将向量理解为矩阵，而非一维矢量。

相应地，群对应了一个基组，群元素对应了基矢，那么可以在群元素的线性组合上定义群空间$V_G$，可以验证群空间上按照下述定义的向量乘法是一个群代数$R_G$：

定义：$\forall \vec{x}=\sum_i x_ie^{g_i},\forall \vec{y}=\sum_i y_ie^{g_i}$

• 加法：$\vec{x}+\vec{y}=\sum_i(x_i+y_i)e^{g_i}$
• 数乘：$a\vec{x}=\sum_i(ax_i)e^{g_i}$
• 矢乘：$\vec{x}\vec{y}=\left(\sum_i x_ie^{g_i}\right)\left(\sum_j y_je^{g_j}\right)=\sum_{i,j}x_iy_j(e^{g_i}e^{g_j})$

这种以群元素作为基底，构成一个维数为$\dim V=|G|$的线性空间$V=\mathbb{C}^{|G|}$的表示方法，叫做正则表示。所以正则表示依然是由下述三者构成：

$$R:G\to V$$

将一个具体的从群元素的线性组合$\nu=\sum_i \nu(g_i)$到向量空间的矢量$\nu=\sum_i \nu(g_i)e^{g_i}$的映射称为群函数$\nu$。群函数的自变量是群元素，给出函数值为向量在该群元素对应的基矢的系数。

群结构	群代数	类比狄拉克符号
$g_i\in G$	$e^{g_i}\in V_G$	$\mid g_i\rangle\in V$
$\nu:G\to \mathbb{C}$	$\nu=\sum_i \nu(g_i)e^{g_i}\in V_G$	$\mid \nu\rangle=\sum_i \nu(g_i)\mid g_i\rangle\in V$
$\nu (g_i)\in \mathbb{C}$	$\nu (g_i)\in \mathbb{C}$	$\langle g_i\mid \nu \rangle=\nu(g_i)$

简单来说，群函数与群空间的向量一一对应。

群函数顾名思义，就是群元映射到一个数。还有一个概念是类函数，即从等价类映射到一个数。在此后我们会用到。

在群空间中，我们定义了向量的乘法，这里便拓展为群函数的乘法：

• 加法：$(\vec{x}+\vec{y})(g_i)=\vec{x}(g_i)+\vec{y}(g_i)$
• 数乘：$(a\vec{x})(g_i)=a\vec{x}(g_i)$
• 矢乘：$(\vec{x}\vec{y})(g_i)=\sum_{j=1}^n\vec{x}(g_j)\vec{y}(g_j^{-1}g_i)$

我们来检验一下，这里定义的群函数的矢量乘法是否满足群空间的向量乘法？记$g_k=g_ig_j,\vec{z}=\vec{x}\vec{y}$：

$$\begin{aligned} \vec{x}\vec{y}&=\sum_{i,j}x(g_i)y(g_j)(e^{g_i}e^{g_j})\\ &=\sum_{i,k}x(g_i)y(g_i^{-1}g_k)e^{g_k}\\ &=\sum_{k}z(g_k)e^{g_k}\\ &=\vec{z} \end{aligned}$$

对比一下，即可发现：

$$z(g_k)=\sum_ix(g_i)y(g_i^{-1}g_k)$$

和上面的表示是一样的。

现在我们来讨论基矢对应的群函数。我们定义群函数的内积为：

$$\langle x|y\rangle=\frac1n \sum_{i=1}^nx^*(g_i)y(g_i)$$

以及基矢的群函数：

$$g_i(g_j)=\delta_{ij}$$

这样的定义导致了正交但不归一化的基组：

$$\langle g_i|g_j\rangle=\frac1n \delta_{ij}$$

群函数的例子

以$C_3$群为例，基矢群函数如下：

$$\begin{cases} g_E=(1,0,0)\\ g_{C_3^1}=(0,1,0)\\ g_{C_3^2}=(0,0,1) \end{cases}$$

自然满足上述关系：

$$\langle g_i|g_j\rangle=\frac13 \delta_{ij}$$

有限群表示理论·2

讨论群元对应的基矢的还是过于平凡了。为了进一步理解不变子空间的样貌，我们可以沿着不变子空间的方向找到一组新的正交基。正交性定理为我们指出了新的正交基的样貌：

正交性定理：设$R(g)$是一个有限群的表示，其不等价不可约酉表示$R^1(g),R^2(g),\cdots,R^q(g)$的维数分别为$S_1,S_2,\cdots,S_q$，则存在一组正交基$\{R^p_{\mu\nu}\}$，具体表示为：

$$R^p_{\mu\nu}=[R^p_{\mu\nu}(g_1),R^p_{\mu\nu}(g_2),\cdots,R^p_{\mu\nu}(g_n)]$$

满足以下正交性关系：

$$\langle R^p_{\mu\nu}|R^q_{\alpha\beta}\rangle=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nR^p_{\mu\nu}(g_i)^*R^q_{\alpha\beta}(g_i)=\frac{1}{S_{p/q}}\delta_{pq}\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}$$

而完备性定理指出，这组正交基在群函数空间是完备的。考虑到群空间的维数为$|G|=n$，则有：

$$\sum_{p=1}^q S_p^2=n$$

这称为Burnside定理。这意味着有多少维空间，就有多少个正交基（这是符合直觉的）。

正交基举例

1. 对于$C_3$群，正交基为：

   $$\begin{cases} p=1,\mu=1,\nu=1:R^1_{11}=(1,1,1)\\ p=2,\mu=1,\nu=1:R^2_{11}=(1,\omega,\omega^2)\\ p=3,\mu=1,\nu=1:R^3_{11}=(1,\omega^2,\omega) \end{cases}$$

   满足正交性关系：

   $$\langle R^1_{11}|R^1_{11}\rangle=\frac{1}{3}(1+\omega^*\omega+(\omega^*)^2\omega^2)=\frac{1}{3}\cdot 3=1$$ $$\langle R^1_{11}|R^2_{11}\rangle=\frac{1}{3}(1+\omega+\omega^2)=\frac{1}{3}\cdot 0=0$$

2. 对于$D_3$群，可以证明其不可约表示为：

   | 群元素 | $E$ | $C_3^1$ | $C_3^2$ | $B_1$ |$B_2$ |$B_3$ |
   |—-|—-|—-|—-|—-|—-|—-|
   | $\Gamma_1$ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
   | $\Gamma_2$ | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
   | $\Gamma_3$ | $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$|$\begin{bmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&-\frac12\end{bmatrix}$| $\begin{bmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}2\-\frac{\sqrt3}2&-\frac12\end{bmatrix}$| $\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$|$\begin{bmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&-\frac12\end{bmatrix}$|$\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\-\frac{\sqrt3}2&-\frac12\end{bmatrix}$|

   则其正交基为：

   $$\begin{cases} p=1,\mu=1,\nu=1:R^1_{11}=(1,1,1,1,1,1)\\ p=2,\mu=1,\nu=1:R^2_{11}=(1,1,1,-1,-1,-1)\\ p=3,\mu=1,\nu=1:R^3_{11}=(1,-\frac12,-\frac12,-1,\frac12,\frac12)\\ p=3,\mu=1,\nu=2:R^3_{12}=(0,-\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}2,0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2)\\ p=3,\mu=2,\nu=1:R^3_{21}=(0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2,0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2)\\ p=3,\mu=2,\nu=2:R^3_{22}=(1,-\frac12,-\frac12,1,-\frac12,-\frac12) \end{cases}$$

   满足正交性关系：

   $$\langle R^{1/2}_{\mu\nu}|R^{1/2}_{\alpha\beta}\rangle=\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}$$ $$\langle R^3_{\mu\nu}|R^3_{\alpha\beta}\rangle=\frac{1}{2}\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}$$

特征标理论

定义：设$R(g)$是一个有限群的表示，其特征标（character）定义为：

$$\chi^R(g)=\text{Tr}(R(g))$$

其中$\text{Tr}$表示矩阵的迹。

• 相似变换不改变矩阵的迹。
• 在一个表示中，共轭元素的特征标是相同的，因为： $$\chi^R(f)=\chi^R(hgh^{-1})=\text{Tr}(R(hgh^{-1}))=\text{Tr}(R(h)R(g)R(h^{-1}))=\text{Tr}(R(g))=\chi^R(g)$$ 其中$h$是群中的任意元素。一个共轭类（等价类）中，元素的特征标是相同的。
• 由于相似变换不改变单位矩阵，所以单位矩阵自成一个共轭类，且其特征标随表示的维度而变化： $$\chi^R(E)=\dim V$$

运用正交性定理，可以证明特征标的正交性：

特征标正交性定理：设$R^1(g),R^2(g),\cdots,R^q(g)$是有限群的不可约表示，则有：

$$\langle \chi^p|\chi^r\rangle=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\chi^p(g_i)^*\chi^r(g_i)=\delta_{pr}$$

此时，正交向量的维数不变，但个数变为不可约表示的个数（原来是群元的个数）。

证明：

$$\begin{aligned} \langle \chi^p|\chi^r\rangle&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\chi^p(g_i)^*\chi^r(g_i)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\sum_{\mu=1}^{S_p}R^p_{\mu\mu}(g_i)\right)\left(\sum_{\nu=1}^{S_r}R^r_{\nu\nu}(g_i)\right)\\ &=\sum_{\mu=1}^{S_p}\sum_{\nu=1}^{S_r}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nR^p_{\mu\mu}(g_i)^*R^r_{\nu\nu}(g_i)\\ &=\sum_{\mu=1}^{S_p}\sum_{\nu=1}^{S_r}\frac{1}{S_{p/r}}\delta_{pr}\delta_{\mu\nu}\\ &=\delta_{pr} \end{aligned}$$

相比于正交性定理，特征标将对群元和矩阵元的三维求和压缩为对群元的一维求和。

可以推出以下结论：

• 不可约表示和自身的特征标内积恒为1： $$\langle \chi^{R^p}|\chi^{R^p}\rangle=1$$
• 可约表示和自身的不可约表示做内积为重复度： $$R(g)=\sum_p \oplus m_pR^p(g)\Rightarrow \langle \chi^{R}|\chi^{R^p}\rangle=m_p$$
• 可约表示和自身做内积大于1： $$\langle \chi^{R}|\chi^{R}\rangle=\sum_p m_p^2>1$$

进一步利用等价类性质，可以写为：

$$\langle \chi^p|\chi^r\rangle=\frac{1}{n}\sum_{c}n_c\chi^p(g_i)^*\chi^r(g_i)=\delta_{pr}$$

这一组正交基的个数仍然是不可约表示的个数，但维度却缩减为等价类的个数。

你或许已经注意到了，正交向量的维度变化：

$$\text{不可约表示维度平方和}\sum_i S_i^2(=n)\times \text{群元数}n\to \text{不可约表示数}q\times\text{等价类数}q$$

此前的完备性定理指出：以前的正交基在群函数空间是完备的，所以不可约表示维度平方和等于群元数。现在我们给出特征标理论的完备性定理：现在的正交基在类函数空间是完备的，所以不可约表示数等于等价类数。

特征标举例

以$D_3$群为例，其不可约表示的特征标为：

群元素	$E$	$C_3^1$	$C_3^2$	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$\Gamma_1$	1	1	1	1	1	1
$\Gamma_2$	1	1	1	-1	-1	-1	-1
$\Gamma_3$	2	-1	-1	0	0	0

可以写为等价类的形式：

等价类	$\{E\}$	$\{C_3^1,C_3^2\}$	$\{B_1,B_2,B_3\}$
$\Gamma_1$	1	1	1
$\Gamma_2$	1	1	-1
$\Gamma_3$	2	-1	0

我们来看正交基的形式：

$$\begin{cases} p=1,\mu=1,\nu=1:R^1_{11}=(1,1,1,1,1,1)\\ p=2,\mu=1,\nu=1:R^2_{11}=(1,1,1,-1,-1,-1)\\ p=3,\mu=1,\nu=1:R^3_{11}=(1,-\frac12,-\frac12,-1,\frac12,\frac12)\\ p=3,\mu=1,\nu=2:R^3_{12}=(0,-\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}2,0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2)\\ p=3,\mu=2,\nu=1:R^3_{21}=(0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2,0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt3}2)\\ p=3,\mu=2,\nu=2:R^3_{22}=(1,-\frac12,-\frac12,1,-\frac12,-\frac12)\\ 6\times 6[\text{不可约表示维度平方和}\sum_i S_i^2(=n)\times \text{群元数}n] \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p=1:R^1=(1,1,1,1,1,1)\\ p=2:R^2=(1,1,1,-1,-1,-1)\\ p=3:R^3=(2,-1,-1,0,0,0)\\ 3\times 6(\text{不可约表示数}q\times \text{群元数}n) \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p=1:R^1=(1,1,1)\\ p=2:R^2=(1,1,-1)\\ p=3:R^3=(2,-1,0)\\ 3\times 3(\text{不可约表示数}q\times \text{等价类数}q) \end{cases}$$

注意到最后一组基并不是直接正交的，因为$\langle \chi^p|\chi^r\rangle=\frac{1}{n}\sum_{c}n_c\chi^p(g_i)^*\chi^r(g_i)=\delta_{pr}$中还有一个系数$n_c$。通过简单的归一化，可以得到正交的基$\sqrt{n_c}\chi^p$：

$$\begin{cases} p=1:R^1=(1,1,1)\\ p=2:R^2=(1,1,-1)\\ p=3:R^3=(2,-1,0)\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p=1:R^1=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})\\ p=2:R^2=(1,\sqrt{2},-\sqrt{3})\\ p=3:R^3=(2,-\sqrt{2},0)\\ \end{cases}$$