群的基本概念

• 群的定义
  • 群的例子
• 子群和陪集
  • 子群和陪集的例子
• 类与不变子群
  • 类与不变子群的例子
• 同构和同态
  • 同构和同态的例子
• 变换群
  • 变换群的例子
• 直积

群的定义

定义：设群（group）$G$是一些元素（操作）的集合，记为$G=\{\cdots,g,\cdots\}$，在$G$中定义了乘法运算，且满足：

• 封闭性：两个元素的乘积仍然属于这个集合，即：

  $$\forall g_1,g_2\in G,\quad g_1g_2\in G$$

• 结合律：乘法运算满足结合律，即：

  $$\forall g_1,g_2,g_3\in G,\quad (g_1g_2)g_3 = g_1(g_2g_3)$$

• 单位元存在：存在单位元$e\in G$，使得：

  $$\forall g\in G,\quad eg = ge = g$$

• 逆元存在：对于每个元素$g\in G$，存在逆元$g^{-1}\in G$，使得：

  $$gg^{-1} = g^{-1}g = e$$

注意：群的定义中没有包含交换律。这意味着：

• 对于任意两个元素$g_1,g_2\in G$，由封闭性可知$g_1g_2\in G$且$g_2g_1\in G$
• 但一般情况下$g_1g_2 \neq g_2g_1$
• 如果群$G$中的所有元素都满足交换律，即$\forall g_1,g_2\in G, g_1g_2 = g_2g_1$，则称$G$为阿贝尔群（Abel群）或交换群

定义：群内元素的个数称为阶（order），记为$|G|$。根据阶的有限和无限，群可以分为有限群和无限群。

重排定理：$G=\{g_\alpha\},\forall u\in G$，当$g_\alpha$取遍$G$时，$ug_\alpha$也取遍$G$。即：

$$\forall u\in G,\quad \{ug_\alpha\} = G$$

群的例子

1. 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$：所有整数在加法运算下构成阿贝尔群

   • 封闭性：$a + b \in \mathbb{Z}$
   • 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$
   • 单位元：$0$
   • 逆元：$a$的逆元是$-a$
   • 交换律：$a + b = b + a$

     注意，这里的加法就是定义的“乘法”。

2. 矩阵群 $GL(n,\mathbb{R})$：$n\times n$可逆实矩阵在矩阵乘法下构成非交换群

   • 一般情况下$AB \neq BA$

3. 空间反演群 $\{E,I\}$：包含单位元$E$和反演元$I$，满足$EI = IE = I^2 = E$

   • 封闭性：$E,E \in \{E,I\}$，$EI = I, IE = I$
   • 结合律：$(EI)I = E(II)$
   • 单位元：$E$
   • 逆元：$E^{-1} = E,I^{-1} = I$
4. 置换群 $P_n$：$n$个元素的所有置换构成的群，每个元素定义为： $$P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}$$ 其中$\sigma$是一个置换，满足$\sigma: \{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}$且是双射。
   • 封闭性：两个置换的复合仍然是一个置换
   • 结合律： $$\begin{aligned} \sigma_{m_3m_2}(\sigma_{m_2m_1}(m_1))&=\sigma_{m_3m_2}(m_2)=m_3\\ \sigma_{m_3m_2}(\sigma_{m_2m_1})(m_1)&=\sigma_{m_3m_1}(m_1)=m_3 \end{aligned}$$
     • 单位元：恒等置换： $$P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}$$
     • 逆元： $$P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}\Leftrightarrow P^{-1}=\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)\\1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}$$

置换群在全同粒子的处理中会用到。

子群和陪集

定义：设$H$是群$G$的一个子集，如果$H$在$G$中关于乘法运算封闭，并且满足群的所有公理，则称$H$为$G$的子群（subgroup）。

注意：任何群$G$都有平凡子群$\{e\}$和自身$G$。

定义：设$H$是群$G$的一个子群，$g\in G$，则$gH=\{gh|h\in H\}$称为$H$在$g$下的左陪集（left coset），$Hg=\{hg|h\in H\}$称为$H$在$g$下的右陪集（right coset）。

• 显然，g构造了一个双射，因为如果$gh_1=gh_2$，由逆元知： $$gh_1=gh_2\Rightarrow h_1=h_2$$ 这意味着陪集和子群的元素一一对应。
• 那么显然，子群的阶就是陪集的阶（如果它也是个群的话），即$|gH|=|H|$和$|Hg|=|H|$。
• 显然，如果$g\in H$，则$gH=H$和$Hg=H$。

陪集定理：如果$H$是$G$的子群，则$G$的两个左（右）陪集要么完全相同，要么完全不同。

证明：若非完全不同，则意味着有公共元素$g_1h=g_2h’$，则：

$$(g_1h)H=(g_2h')H\Rightarrow g_1H=g_2H$$

这说明两个左陪集相同。右陪集同理。

陪集定理告诉我们，可以通过陪集来分割群$G$:

$$G=H\cup g_1H\cup g_2H\cup \cdots \cup g_kH$$

Lagrange定理：有限群子群的阶，是群的阶的因子。

这也是由上述的陪集分割告诉我们的：$|G|=(k+1)|H|$

子群和陪集的例子

1. n阶循环群：
   • 定义：$G=\{e,g,g^2,\ldots,g^{n-1}\}$，其中$g^n=e$，$g^k$表示$g$的第$k$次幂。
   • 子群：例如$n=6$，$\{e\}, \{e,g^2,g^4\}, \{e,g^3\}, G$是子群。显然，$1,2,3,6$都是$6$的因子。
   • 陪集：对于$g\in G$，$\{e,g^2,g^4\}$的左陪集$\{g,g^3,g^5\}$和右陪集$\{g^5,g,g^3\}$都是相同的。

对于任意群，总可以将其变为一个$n$阶循环群。

1. 整数是实数的子群。

类与不变子群

定义：$\forall f,h\in G$，如果群中存在一个$g$，通过

$$gfg^{-1}=h$$

将二者联系起来，称$f,h$共轭，记为$f\sim h$。

• 相互性：$f\sim h \Rightarrow h\sim f$。
• 传递性：$f\sim h, h\sim k \Rightarrow f\sim k$。

定义：群$G$中所有相互共轭的元素形成的集合，称为$G$的一个类。

• 单位元自成一类：$\forall g\in G,geg^{-1}=e$
• Abel群的所有元素自成一类：$\forall f,g \in G,gfg^{-1}=gg^{-1}f=f$
• 元素$f$的阶为$m$，则同类的元素阶也为$m$
• 定理：有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。

定义：$H$是$G$的子群，如果$H$中所有元素的同类元素都属于$H$，则称$H$是$G$的不变子群（正规子群）。记为$H\lhd G$。

• 定理：$\forall f\in G$，当$h$取遍$H$的所有元素的时候，$fhf^{-1}$一一给出$H$的所有元素，即：
  $$\forall f\in G,\{fhf^{-1}, h\in H\}=\{h, h\in H\}
• 可以记为： $$fHf^{-1}=H\Rightarrow fH=Hf$$ 这说明不变子群的左陪集和右陪集重合。

利用左右陪集相同的定理，可以对G进行分割，分割后所有陪集的集合（注意，是集合的集合）称为商群：

$$G/H=\{gH|g\in G\}=\{H,g_1H,\cdots,g_kH\}$$

• 单位元：$H$是商群的单位元
• 逆元：$gH$的逆元是$g^{-1}H$
• 封闭性：$(g_1H)(g_2H)=(g_1g_2)H\in G/H$，其中$g_1,g_2\in G$。
• 结合律：$(g_1Hg_2H)g_3H=g_1H(g_2Hg_3H)$

类与不变子群的例子

1. 整数群是实数群的子群，且由于$a+n-a=n$，他是个不变子群。

同构和同态

定义：从群$G$到群$F$上，存在双射$\Phi$，且保持群乘法运算规律不变，即$\Phi(g_ig_j)=\Phi(g_i)\Phi(g_j)$，则称群$G$和群$F$同构，记作$G\cong F$。

• 同构映射必定把单位元素映射到单位元素，即$\Phi(e_G)=e_F$。
• 同构映射必定把逆元映射到逆元，即$\Phi(g^{-1})=\Phi(g)^{-1}$。
• 同构映射不改变元素的阶，即$\forall g\in G,\quad \Phi(g^n)=\Phi(g)^n$。

若不要求双射，则称为同态（homomorphism），记作$G\sim F$。单射对应单同态，满射对应满同态。

定义：设$G\sim F$，则$G$中与$F$的单位元素对应的所有元素的集合称为同态核，记为$\ker \varphi$。

• 同态核定理：同态核$H$是$G$的一个不变子群，且商群$G/H$同构于$F$，即： $$H\lhd G,\quad G/H\cong F$$

这说明现在我们可以通过同态核来分割群：

$$G=\ker \varphi \cup g_1\ker \varphi \cup g_2\ker \varphi \cup \cdots \cup g_k\ker \varphi$$

定义：群到自身的同构映射，称为自同构映射，即

$$\nu:G\to G,\forall g\in G,\nu(g)\in G$$

显然其满足乘法规律，并且存在单位元和逆元，所以所有自同构映射组成一个群，称为自同构群，记为$\text{Aut}G$。

定义：如果我们明确上述$\nu$映射的规则，如伴随作用（定义见下），即：

$$\nu:G\to G,\forall u\in G,\nu_u(g)=ugu^{-1}\in G$$

称为内自同构群，记为$\text{Inn}G$。

伴随作用后的群元仍属于$G$，是由于群本身的封闭性。

同构和同态的例子

1. 空间反演群和二阶循环群同构。

变换群

定义：对于集合$X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，其所有的双射置换$f(x)=y\in X$构成的群称为变换群（transformation group），记作$S_G$。

以$X=\{1,2\}$为例，显然其上的置换有4个：

• $\tau_1:1\to 1,2\to 2$（恒等置换）
• $\tau_2:1\to 2,2\to 1$
• $\tau_3:1\to 1,2\to 1$
• $\tau_4:1\to 2,2\to 2$

我们考虑以上四个置换是否构成一个群：

• 单位元：恒等置换$\tau_1$是单位元，满足$\tau_1 \circ \tau_i = \tau_i \circ \tau_1 = \tau_i$。
• 逆元：并不满足，后面两个没有逆元。
• 封闭性：任意两个置换的复合仍然是一个置换，这点在前面已经证明。
• 结合律：任意三个置换的复合仍然满足结合律。

所以，要构成一个群，必须让置换是一个双射，即每个元素都有唯一的像和原像。这样才能保证逆元的存在。

定义：

• 左作用：$\forall g,g’\in G$，定义左作用$L_g:G\to G$，效果为$L_gg’=gg’$
• 右作用：$\forall g,g’\in G$，定义左作用$R_g:G\to G$，效果为$R_gg’=g’g^{-1}$
• 伴随作用：$\forall g,g’\in G$，定义左作用$\text{Ad}_g:G\to G$，效果为$\text{Ad}_gg’=gg’g^{-1}$

右作用因为是右乘逆元，所以才能保持乘法结构：

$$R_{g_1g_2}=R_{g_1}R_{g_2}$$

显然：

• $L_g$和$R_g$本身是同构映射。
• $\{L_g|g\in G\}$和$\{R_g|g\in G\}$在上述定义下分别构成两个群，且与$G$同构。
• 但$\{L_g|g\in G\}$和$\{R_g|g\in G\}$并不是$G\to S_G$的同构映射，因为$S_G$还存在很多其他的置换。

上述讨论引出了：

Cayley定理：群$G$同构于其变换群$S_G$的一个子群，比如$\{L_g|g\in G\}$。

定义：若$\exist g\in G,g(x_i)=x_j$，则称$x_i$和$x_j$是等价的（equivalent），记为$x_i\sim x_j$。

显然，等价和共轭具有相似性，因而也具有对称性和传递性。

定义：所有在群$G$作用下和$x$等价的元素构成一个变换群轨道（orbit），记为$O^G_x=\{g(x)|g\in G\}$。这似乎有点像等价类的概念。不同的轨道绝不相交，因为一旦相交，即可通过传递性得到两个轨道相等。（这和陪集定理很像，因为陪集本身就是轨道）

通过以上性质，可以通过轨道将群进行划分，从而得到不变子集。不变子群就是在伴随作用$\text{Ad}_g$下（或者说内自同构群$\text{Inn}G$变换下）的不变子集。

定义：所有在群$G$作用下和$x$相等的元素构成一个迷向子群（Stabilizer Subgroup），记为$G_x=\{g\in G|g(x)=x\}$。显然，迷向子群是一个不变子群。

定理：设$G_x$是群$G$在$x$上的迷向子群，则$G_x$的每一个陪集将$x$映射到其轨道上的一个点。用同构的语言描述：

$$G/G_x\cong O^G_x$$

可以直接写出群元素数$|G|$、轨道中的点数$|O^G_x|$和迷向子群的阶$|G_x|$之间的关系：

$$|G|=|O^G_x||G_x|$$

变换群的例子

以$D_3$群为例，$D_3$群是一个六阶的群，包含三个旋转操作和三个反射操作。作用在一个正三角形上，六个操作都会使得$A,B,C$的位置互换。不难发现，$A$的迷向子群为：

$$A\to A:G_A=\{E,B_1\}$$

该迷向子群的两个陪集分别为（不会有更多的陪集了，我们上面讨论了陪集划分）：

$$A\to C:C_3^1G_A=\{C_3^1,B_2\};\quad A\to B:C_3^2G_A=\{C_3^2,B_3\}$$

显然，$A$的轨道为$O^G_A=\{A,B,C\}$，这和上面的定理一致：

$$|D_3|=|O^G_A||G_A|\Rightarrow 6=3\times 2$$

直积

定义：设$G_1,G_2,\ldots,G_n$是$n$个群，则它们的直积群$G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$是所有形式为$(g_1,g_2,\ldots,g_n)$的元素的集合，其中$g_i\in G_i$，并且定义乘法运算为：

$$(g_1,g_2,\ldots,g_n)(h_1,h_2,\ldots,h_n) = (g_1h_1,g_2h_2,\ldots,g_nh_n),g_ih_i\in G_i$$

• 单位元：$(e_1,e_2,\ldots,e_n)$，其中$e_i$是$G_i$的单位元。
• 逆元：$(g_1,g_2,\ldots,g_n)$的逆元是$(g_1^{-1},g_2^{-1},\ldots,g_n^{-1})$，其中$g_i^{-1}$是$G_i$的逆元。
• 封闭性：在乘法运算中已被定义。
• 结合律：任意三个元素的乘积仍然满足结合律。

这里对直积，张量积和直和做个对比，其中后两者的矩阵表示更为直观，所以对于直积，也像模像样放个矩阵表示：

直积：

$$A\times B=(A,B)=\begin{bmatrix} (a_{11},b_{11}) & (a_{12},b_{21}) & \cdots & (a_{1n},b_{mn}) \\ (a_{21},b_{11}) & (a_{22},b_{21}) & \cdots & (a_{2n},b_{mn}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_{m1},b_{11}) & (a_{m2},b_{21}) & \cdots & (a_{mn},b_{mn}) \end{bmatrix}$$

张量积：

$$A_{m\times n}\otimes B_{k\times l}=\begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{bmatrix}_{mk\times nl}$$

直和：

$$A\oplus B=\begin{bmatrix} A&0 \\ 0&B \end{bmatrix}$$