原子的结构

原子的构成

电子的发现

1897年，汤姆孙通过阴极射线实验发现了电子。汤姆孙实验的成功归功于高真空的实现，从而可以观察到电子的持续偏转。通过测量偏转半径，可以估计电子的比荷比氢离子大千倍左右。

1910年，密里根通过油滴实验测定了电子的电荷：

$$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}$$

原子的结构

卢瑟福模型

知道了电子的存在后，汤姆孙提出了“葡萄干布丁模型”，认为原子是一个带正电的球体，电子像葡萄干一样嵌在其中。这时候，科学家们还没有发现原子核，只知道有一种氢离子存在。

卢瑟福在1911年通过金箔实验否定了汤姆孙的模型。这是因为按照汤姆孙模型，α粒子应该会被原子中的电子散射，但实验中发现大部分α粒子都能穿过金箔，只有少数被偏转。卢瑟福推测原子中有一个小而密集的正电荷区域，即原子核。

根据 有心力和散射问题 中的推导，卢瑟福散射实验中的偏转角度 $\theta$ 满足：

$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{m}k}{\sqrt{2El^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z e^2}{2Eb}=\frac{a}{2b}$$

其中，粒子的能量为$E=\frac{1}{2}mv^2$，$b$为瞄准距离。记$a=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Z e^2}{E}$，方便之后的推导。

知道了瞄准距离和散射角度的关系，就可以推导卢瑟福公式。考虑只有一个原子核的情况，粒子的散射角度的概率分布为：

$$dp(\theta) = \frac{2\pi bdb}{A}=\frac{a^22\pi\sin\theta d\theta}{16A\sin^4\frac{\theta}{2}}=\frac{a^2d\Omega}{16A\sin^4\frac{\theta}{2}}$$

考虑金箔很薄，厚度为$t$，原子核的数目密度为$n$，概率近似满足线性叠加：

$$dP = nAtdp(\theta) = nt\frac{a^2d\Omega}{16\sin^4\frac{\theta}{2}}$$

厚度和数密度都是可测物理量，所以其中只和原子核的性质有关的物理两位微分散射截面：

$$\sigma_c(\theta) = \frac{a^2}{16\sin^4\frac{\theta}{2}}$$

实验中，微分散射截面正比于散射粒子数$dN$，指出与原子核电荷$Z$的平方成正比、与入射粒子能量$E$成平方反比。这都在实验中得到了很好的验证。

考虑原子核的电荷$Z$对实验效果的影响，金是最好的材料，同时延展性很好。

然而，卢瑟福公式不能解释以下现象：

• 小角误差：由于使用了线性叠加，忽略了多次散射的影响，以及电子对原子核电荷的屏蔽，小于45度的散射角度会有较大误差。
• 大角误差：在180度正负十分之一度内产生了明显的误差，可以用双原子散射模型来解释，这里不赘述。简单地说，还是由于多次散射的影响。

具体可见：T.E. Jackman et al《An experimental study of the 180° backscattering yield enhancement》

卢瑟福据此提出了“行星模型”，认为原子核是一个小而密集的正电荷区域，电子像行星一样围绕原子核运动。这个模型最大的问题是电子的轨道是不稳定且不确定的，无法解释原子光谱现象和原子的同一性。

玻尔模型

杨福家书上从黑体辐射和光电效应开始叙述玻尔采用量子化的依据。私以为这样理解更为方便：

• 黑体辐射提供了定性的量子化假设；
• 光电效应提供了定量的量子化假设。

正如玻尔所言：巴尔末公式是玻尔模型的最后一块拼图。

为了解决卢瑟福模型的困难，同时解释实验中的光谱，玻尔引入了三个假设：

• 轨道假设：电子围绕原子核运动的轨道是量子化的，只有某些特定的轨道是允许的。在这些轨道上，电子不会辐射能量。
• 量子化假设：如何选择轨道假设中的允许轨道？玻尔假设电子的角动量是量子化的，满足： $$L = n\hbar$$ 其中$n$为正整数，$\hbar$为约化普朗克常数。
• 跃迁假设：电子在允许的轨道之间跃迁时，会吸收或辐射能量，能量的变化满足： $$\Delta E = h\nu$$ 其中$h$为普朗克常数，$\nu$为辐射频率。

实际上，从经典力学出发，稳定轨道的半径、速度、角动量是一一对应的，这意味着我们只需要跃迁假设（下述1）或是量子化假设（下述2）。这里面有几条不同的思考路线：

• 基于对应原理，从实验光谱出发，得到量子化原理；
• 基于量子化假设，得到实验光谱值。
  杨福家采用了第一种思路。这里展示第二种。

从经典力学出发，电子的能量为（以下均写为半径的函数）：

$$E=-\frac12 \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

电子的速度为：

$$v=\sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m r}}$$

电子的角动量为：

$$L=mvr=\sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m r}}r=\sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m}} \sqrt{r}$$

根据玻尔的量子化假设，

$$L = n\hbar = \sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m}} \sqrt{r}$$

从而得到：

$$r_n = n^2 \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{Z e^2}$$

代入能量公式，得到玻尔能级公式：

$$E_n = -\frac1{n^2}\frac{Z^2 e^4 m}{32\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}$$

考虑氢原子的里德堡方程：

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$$

进行一一对应（$n_1=1,n_2\rightarrow\infty$）：

$$|E_n| = \frac1{n^2}\frac{e^4 m}{32\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}=\frac1{n^2}2\pi\hbar c R_H$$

解得里德堡常量：

$$R_H = \frac{e^4 m}{64\pi^3 \epsilon_0^2 \hbar^3} = \frac{e^4 m}{8\epsilon_0^2 h^3}$$

也可以写为精细结构常数的形式：

$$R_H = \frac12 m(\alpha c)^2\frac{1}{hc}= \frac{E_{\infty}}{hc}$$

其中，精细结构常数为$\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}$。这表明里德堡常量正比于电离能。

这时候的里德堡常量不再是个经验常量，而是由基本物理常量决定的。经过约化质量修正，和实验符合很好。

玻尔模型的缺陷：

• 无法解释跃迁过程中发生了什么，以及为什么会发生跃迁；
• 没有解释定态条件的原因；
• 不能解释轨道角动量：$L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$

第二个疑问或许可以用德布罗意波的驻波条件来勉强解释。总的来说，玻尔模型是一个半经典的模型，需要量子力学的介入才能完整解释。

除了光谱，另一个重要的实验是弗兰克-赫兹实验。该实验验证了原子能级的量子化，证明了玻尔模型的正确性。