有心力

质点所受力的作用线如果始终通过一个定点，那么称这种力为有心力。这个定点称为力心。显然，如果该力是一个保守力，则对应的势场是各向同性的。

两体问题的简化

对于两个质点通过相互作用力约束在一起的问题，通过柯尼希定理，可知：

$T=T_{c}+T_{r}$

其中 $T_{c}$ 是质点的质心动能，$T_{r}$ 是质点相对于质心的动能。

通过质点系动能定理，可知$T_c$是一个常数。展开$T_r$，有：

$\begin{aligned} T_{r} &= \frac{1}{2} m_{1} v_1^2 + \frac{1}{2} m_{2} v_2^2 \\ &= \frac{1}{2} m_{1} \left(\frac{m_2}{m_1+m_2}v\right)^2 + \frac{1}{2} m_{2}\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}v\right)^2 \\ &=\frac12 \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2\\ &=\frac{1}{2} \mu v^2 \end{aligned}$

其中，$v$ 是相对速度，$\mu$ 是约化质量。这样，我们就把两体问题转化为一个单体在有心力作用下运动的问题。下面统一用$m$代替$\mu$。

有心力场下的运动方程

在有心力场中，质点的拉格朗日函数为：

$L = T - V = \frac{1}{2} m \left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)$

通过拉格朗日方程，得到：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0\Rightarrow m\ddot{r} - m r \dot{\theta}^2 + \frac{dV}{dr} = 0$ $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\Rightarrow mr^2\ddot{\theta}= 0\Rightarrow mr^2\dot{\theta}= l$

第二个方程正是角动量守恒的结果。代入第一个方程消去 $\dot{\theta}$，得到：

$m\ddot{r} - \frac{l^2}{m r^3} + \frac{dV}{dr} = 0$

这个方程虽然可以给出形式上的结果，却并不美观。一般将第二个方程代入广义能量积分中：

$E = T + V = \frac{1}{2} m \left(\dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}\right) + V(r)$

后两项仅依赖于 $r$，因此可以将其视为一个有效势能：

$V_{eff}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2}$

通过有效势能，可以将有心力场下的运动方程简化为：

$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\frac2m\left[E - V_{eff}(r)\right]}$

积分得到：

$t-t_0=\int_{r_0}^{r}\frac{dr}{\sqrt{\dfrac2m\left[E - V_{eff}(r)\right]}}\Rightarrow r(t)$ $mr^2\dot{\theta}= l\Rightarrow \theta(t) = \int_{t_0}^{t}\frac{l}{mr^2(t)}dt'$

在有效势的表述下，原先“不过美观的方程”可以表述为：
$\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{dV_{eff}}{dr}$
对于一个有心吸引势场，$V_{eff}$的形式为：
$V_{eff}(r) = \begin{cases}-\dfrac{k}{r^n} + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n>0\\k\ln r + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n=0\\\dfrac{k}{r^n} + \dfrac{l^2}{2 m r^2},&n<0\end{cases}$
稳定性讨论：结合上式，不难推断出，当$n<2$时，质点的运动是稳定的（存在$\frac{d^2v_{eff}}{dr^2}>0$的极小值点）。

闭合性讨论：由Bertrand定理可知，只有当$n=1$或$n=-2$时，质点的运动才是闭合的。

散射性讨论：我们将在下面看到，在平方反比力(n=1)中，当$E\geq 0$时，质点的运动是散射的。对于一般情况，令$\dot{r}=0$，此时所有的能量集中在有效势能$V_{eff}(r_0)$上，可以通过其是否大于势垒来判断能否散射。

不用有效势的表述，利用$u=\dfrac{1}{r}$的代换：
$\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt} = -\frac{l}{m}\frac{du}{d\theta}$ $\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(-\frac{l}{m}\frac{du}{d\theta}\right)=-\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}$
代入运动方程，得到：
$\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} + \frac{l^2}{m^2}u^3 =-\frac{F}{m}$
这就是著名的比耐公式。

平方反比力下的运动

平方反比力是指作用在质点上的力与质点到力心的距离的平方成反比的力。平方反比力的势能形式为：

$V(r) = -\frac{k}{r}$

在平方反比力下，质点的有效势能为：

$V_{eff}(r) = -\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2 m r^2}$

代入方程：

$\frac{dr}{\sqrt{\dfrac2m\left[E +\dfrac{k}{r} - \dfrac{l^2}{2 m r^2}\right]}}=dt$

利用角动量守恒，对根式内进行升阶：

$\frac{ldr}{r\sqrt{2m\left[Er^2 +kr- \dfrac{l^2}{2 m }\right]}}=d\theta$

这个积分可以通过凑二次形式查阅三角积分，这里不给出过程。最终结果为：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2-mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$ $r=\frac{l^2}{mk+\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}\cos(\theta + C)}$

这个结果表明，平方反比力下的质点运动是一个椭圆运动。对比椭圆的极坐标方程：

$r = \frac{p}{1 + e\cos(\theta)}$

可以看出，$p=\dfrac{l^2}{mk}$，$e=\dfrac{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}{mk}$。

根据圆锥曲线知识，按照能量的大小和离心率，可以分为：

$E<0$，椭圆轨道，$e<1$；
$E=0$，抛物线轨道，$e=1$；
$E>0$，双曲线轨道，$e>1$。

当$E=-\dfrac{mk^2}{2l^2}$时，轨道为圆形轨道。此时，$e=0$。注意到，这正是有效势的极小值点：
$\frac{dV_{eff}}{dr} = \frac{k}{r^2} - \frac{l^2}{m r^3} = 0\Rightarrow r_0 = \frac{l^2}{mk}\Rightarrow E=\frac12V(r_0) = -\frac{mk^2}{2l^2}$
此时，质点的动能和势能分别为：
$T=-\frac12V(r_0),V=V(r_0)$

对焦半径讨论：

$p=\frac{b^2}{c}=a(1-e^2)=\frac{l^2}{mk}\Rightarrow a=\frac{k}{2E}$

即质点的能量只和椭圆的长轴有关。

使用比耐方程可以避免复杂的积分计算：
$\frac{l^2}{m^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} + \frac{l^2}{m^2}u^3 =\frac{ku^2}{m}$ $\frac{d^2u}{d\theta^2} + u =\frac{km}{l^2}$ $u=\frac{km}{l^2} + A\cos(\theta)$
不难看出，这也是一个椭圆方程。

散射问题

在排斥力中，肯定会发生散射（这是因为排斥势向下发散，没有势垒）。在吸引力中，如果初始能量较大，也会发生散射。

散射角的确定

对于一般性问题：

$\frac{ldr}{r^2\sqrt{2m\left[E-V_{eff}\right]}}=d\theta$

通过积分可以得到：

$\theta_s = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{l}{r^2\sqrt{2m\left[E-V_{eff}(r)\right]}}dr$

在这个积分中，角动量的大小由初始速度的大小和方向决定。

在刚刚讨论过的平方反比吸引力中，我们得到：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2-mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

通过极限情况的讨论，可以得到散射角的表达式：

$\theta_s = -2\arccos\left(\frac{mk}{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

对于平方反比排斥力，我们得到：

$\theta +C= \arccos\left(\frac{l^2+mkr}{r\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

通过极限情况的讨论，可以得到散射角的表达式：

$\theta_s = 2\arccos\left(\frac{mk}{\sqrt{m^2k^2+2mEl^2}}\right)$

可以看到，不管是吸引力还是排斥力，其他参数相同时，散射角的绝对大小是相同的。一般用正三角函数表示：

$\tan\frac{\theta_s}{2} = \frac{\sqrt{m}k}{\sqrt{2El^2}}$