麦克斯韦方程组

在静电学、静磁学和电磁感应的电磁学基础上，我们总结出了麦克斯韦方程组：

$$\begin{align} \nabla\cdot\vec{E}&=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\\ \nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\vec{B}&=\mu_0 \vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{align}$$

有介质存在时，改为：

$$\begin{align} \nabla\cdot\vec{D}&=\rho_f\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\\ \nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\vec{H}&=\vec{J}_f+\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{align}$$

知道了麦克斯韦方程组和自由电荷密度、自由电流密度的分布，就可以求出电场和磁场的分布。当然，求解界面处的电场和磁场分布需要使用边界条件。

无介质的边界条件

在无介质的情况下，电场和磁场的边界条件为：

$$\begin{align} \vec{E}_1^{\perp}-\vec{E}_2^{\perp}&=\sigma/\varepsilon_0\tag{1}\\ \vec{B}_1^{\perp}-\vec{B}_2^{\perp}&=0\tag{2}\\ \vec{E}_1^{\parallel}-\vec{E}_2^{\parallel}&=0\tag{3}\\ \vec{B}_1^{\parallel}-\vec{B}_2^{\parallel}&=\mu_0 \vec{K}\times\hat{n}\tag{4} \end{align}$$

与无介质的麦克斯韦方程一一对应。

有介质的边界条件

在有介质的情况下，电场和磁场的边界条件为：

$$\begin{align} \vec{D}_1^{\perp}-\vec{D}_2^{\perp}&=\sigma_f\tag{1}\\ \vec{B}_1^{\perp}-\vec{B}_2^{\perp}&=0\tag{2}\\ \vec{E}_1^{\parallel}-\vec{E}_2^{\parallel}&=0\tag{3}\\ \vec{H}_1^{\parallel}-\vec{H}_2^{\parallel}&= \vec{K}_f\times\hat{n}\tag{4} \end{align}$$

守恒律

电荷守恒

我们曾提到电荷守恒是电磁学的基本定律之一，其基本内容可以被数学形式化为：

$$\nabla\cdot\vec{J}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

其中，$\vec{J}$是电流密度，$\rho$是电荷密度。

能量守恒

我们曾定性推导出电场和磁场的能量：

$$U_e=\dfrac{1}{2}\int_V\varepsilon_0|\vec{E}|^2dV,\quad U_m=\dfrac{1}{2}\int_V\dfrac{|\vec{B}|^2}{\mu_0}dV$$

现在从能量守恒的角度定量推导：电荷流（电流）运动时，自身电磁场对其做功为：

$$\frac{dW}{dt}=\int_V\vec{J}\cdot\vec{E}d\tau$$

使用式(4)消去电流密度$\vec{J}$，得到：

$$\begin{aligned} \vec{E}\cdot\vec{J}&=\frac1{\mu_0}\vec{E}\cdot(\nabla\times\vec{B})-\varepsilon_0\vec{E}\cdot\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ &=-\frac1{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})+\frac1{\mu_0}\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{E})-\varepsilon_0\vec{E}\cdot\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ &=-\frac1{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\frac1{\mu_0}\vec{B}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}-\varepsilon_0\vec{E}\cdot\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ &=-\frac1{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\frac12\left(\frac1{\mu_0}\frac{\partial B^2}{\partial t}-\varepsilon_0\dfrac{\partial E^2}{\partial t}\right) \end{aligned}$$

代入上式：

$$\begin{aligned} \frac{dW}{dt}&=-\frac1{\mu_0}\int_V\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})d\tau-\int_V\frac12\left(\frac1{\mu_0}\frac{\partial B^2}{\partial t}-\varepsilon_0\dfrac{\partial E^2}{\partial t}\right)d\tau\\ &=-\frac1{\mu_0}\oint_S(\vec{E}\times\vec{B})d\vec{a}-\frac{d}{dt}\int_V\frac12\left(\frac{B^2}{\mu_0}-\varepsilon_0E^2\right)d\tau\\ &=-\oint_S\vec{S}\cdot d\vec{a}-\frac{d U_{em}}{dt} \end{aligned}$$

其中，$\vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$是坡印廷矢量，表示电磁波的能流密度，$U_{em}=\dfrac{1}{2}\int_V\left(\dfrac{B^2}{\mu_0}+\varepsilon_0E^2\right)d\tau$是电磁场的能量。

动量守恒

这里不赘述，待日后补充：

$$\frac{d}{dt}(\vec{\mathcal{P}}_{mech}+\vec{\mathcal{P}}_{em})=\nabla\cdot\overleftrightarrow{T}$$

其中：

• $\vec{\mathcal{P}}_{mech}$是机械动量；
• $\vec{\mathcal{P}}_{em}=\varepsilon_0\mu_0\vec{S}$是电磁动量；
• $\overleftrightarrow{T}_{ij}=\varepsilon_0(E_iE_j-\frac12\delta_{ij}E_i^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac12\delta_{ij}B_i^2)$是麦克斯韦应力张量。

解麦克斯韦方程组

知道了方程组和边界条件，就可以求解电场和磁场的分布（一般化为势的泊松方程求解）。以电势为例，数学物理已经告诉我们有如下方法：

格林函数法

由无穷大区间的格林函数：

$$\Delta G(\vec{r},\vec{r_0})=\delta(\vec{r}-\vec{r_0})$$

• 二维： $$G(\vec{r},\vec{r_0})=\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{r}-\vec{r_0}|$$
• 三维： $$G(\vec{r},\vec{r_0})=-\frac{1}{4\pi|\vec{r}-\vec{r_0}|}$$ 可以直接写出$\nabla^2V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$的一般解： $$V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\dfrac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}d\tau'$$ $$V=-\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\int_S\sigma(\vec{r'}){\ln|\vec{r}-\vec{r'}|}da'$$

分离变量法

对于无自由电荷的情况，泊松方程化为拉普拉斯方程，从而可以使用分离变量法求解。

• 二维直角坐标系中的通解： $$V(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(Ae^{kx}+Be^{-kx})(C\sin ky+D\cos ky)$$
• 三维球坐标系中的通解： $$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(A_{l}r^l+B_{l}r^{-(l+1)})P_l(\cos\theta)$$

镜像法

对于合适的边界条件，可以使用镜像法求解。镜像法的基本思想是将边界条件转化为源项的形式，从而将问题转化为求解泊松方程。