静磁学

恒定电流

定义电流为：

$$I=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{ne\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{nevS\Delta t}{\Delta t}=nevS$$

定义电流密度为：

$$J=\frac{dI}{dS_{\perp}}$$

欧姆定律指出：

$$I=U/R=El S/\rho l=ES/\rho$$

其中，电阻$R=\rho l/S$，$\rho$为电阻率。相应地，电流密度为：

$$\vec{J}=\sigma \vec{E}$$

其中，$\sigma=1/\rho$为电导率。

电流满足连续性方程：

$$\nabla\cdot \vec{J}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$$

若电流是恒定的，即$\rho$不随时间变化，则有：

$$\nabla\cdot \vec{J}=0$$

静磁学的核心是恒定电流，尽管电流是非静止的，但是由其产生的磁场是静止的。由于没有磁荷磁场是无源的，电流是静磁学中磁场唯一的旋度贡献。注意，恒定电流的散度和旋度都为零：

$$\nabla\cdot \vec{J}=0,\nabla\times \vec{J}=0$$

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律描述了恒定电流产生的磁场。对于一段长度为$\Delta l$的导线，其产生的磁场为：

$$d\vec{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$$

对于给定的电流分布，可以积分得到磁场：

$$\vec{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_l \dfrac{I d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$$

对于体电流的形式，毕奥-萨伐尔定律可以写为：

$$\vec{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_V \dfrac{\vec{J}(\vec{r'})\times \hat{r}}{r^2}d\tau'$$

显然，和库伦定律不同，上式给出的磁场是有旋无源的，在下面会逐一证明。

磁场的高斯定理

静磁场的任意闭合曲面的磁通量为零：

$$\nabla\cdot \vec{B}\propto \nabla\cdot (\vec{J}\times \frac{\hat{r}}{r^2})=(\nabla\times \vec{J})\cdot \frac{\hat{r}}{r^2}-\vec{J}(\nabla\times \frac{\hat{r}}{r^2})=0$$

当然，也可以像电场的高斯定理证明一样，从宏观证明。选取电流元的某个微分磁场圆环，任意包含部分圆环的闭合曲面给出两部分磁通量：

$$\Phi_1=B_1dS_{1\perp},\Phi_2=-B_2dS_{2\perp}$$

这两部分当然是相等的。

安培环路定理

使用微分情况证明：

$$\begin{aligned} \nabla\times \vec{B}&\propto \int_V\nabla\times (\vec{J}\times \frac{\hat{r}}{r^2})d\tau\\ &=\int_V\vec{J}(\nabla\cdot\frac{\hat{r}}{r^2})d\tau-\int_V(\vec{J}\cdot\nabla)\frac{\hat{r}}{r^2}d\tau\\ &=\int_V4\pi\delta^3(\vec{r})\vec{J}d\tau-\int_V\sum_i\nabla\cdot(\frac{r_i}{r^3}\vec{J})d\tau\\ &=\int_V4\pi\delta^3(\vec{r})\vec{J}d\tau-\int_S\sum_i\frac{r_i}{r^3}\vec{J}\cdot d\vec{S}\\ \end{aligned}$$

其中，使用了：

$$(\vec{J}\cdot\nabla)\frac{\hat{r}}{r^2}=\sum_i\nabla\cdot(\frac{r_i}{r^3}\vec{J})-\frac{1}{r^2}\nabla\cdot\vec{J}$$

显然，为了积分全空间电流的贡献，我们选取的闭合曲面上必定没有电流存在，所以第二项$\int_S\sum_i\dfrac{r_i}{r^3}\vec{J}\cdot d\vec{S}$为零。于是，得到：

$$\nabla\times \vec{B}=\mu_0\vec{J}$$

这就是安培环路定理的微分形式。可以积分为：

$$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I$$

磁矢势

在静电学中，我们引入了标量势来简化电场的计算：

$$\vec{E}=-\nabla V$$

在静磁学中，我们引入矢量势：

$$\vec{B}=\nabla\times \vec{A}$$

旋度的散度总是零，自动满足磁场的高斯定理：

$$\nabla\cdot \vec{B}=\nabla\cdot (\nabla\times \vec{A})=0$$

但是磁矢势的选择并不是唯一的，一般选择使其散度为零的形式：

$$\nabla\cdot \vec{A}=0$$

这样，安培环路定理简化为：

$$\nabla\times \vec{B}=\nabla\times (\nabla\times \vec{A})=\nabla(\nabla\cdot \vec{A})-\nabla^2 \vec{A}=-\nabla^2 \vec{A}=\mu_0 \vec{J}$$

即：

$$\nabla^2 \vec{A}=-\mu_0 \vec{J}$$

这和电场的泊松方程类似（实际是三个分量的泊松方程）：

$$\nabla^2 V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$$

可以直接写出他的解：

$$\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int_V \dfrac{\vec{J}(\vec{r'})}{\xi}d\tau'$$

这说明磁矢势的方向是每一个电流矢量的方向的贡献。

总结任意电流分布下的磁场和磁矢势的积分表达式：

电场/磁场	场强度	势
电场	$\vec{E}(\vec{r})=\iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi^2}\hat{\xi}d\tau’$	$V= \iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi}d\tau’$
磁场	$\vec{B}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint \dfrac{\vec{J}(\vec{r’})\times \hat{\xi}}{\xi^2}d\tau’$	$\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint \dfrac{\vec{J}(\vec{r’})}{\xi}d\tau’$

其中，$\vec{\xi}=\vec{r}-\vec{r’}$。

物质中的磁场

磁偶极子和分子电流

磁偶极子指的是环形电流，磁偶极矩定义为：

$$\vec{m}=I\vec{a}$$

其中，$\vec{a}$为环形电流的面积矢量。磁偶极矩的方向是环形电流的法向量方向。

磁偶极子在均匀磁场中不受到净力的作用，但是会受到力矩的作用：

$$\vec{N}=\vec{m}\times \vec{B}$$

在非均匀磁场中，磁偶极子会受到净力的作用：

$$\vec{F}=\nabla(\vec{m}\cdot \vec{B})$$

不加证明给出磁偶极子在静磁场中的磁矢势：

$$\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\vec{m}\times \hat{r}}{r^2}$$

磁场为：

$$\begin{aligned} \vec{B}&=\nabla\times \vec{A}\\ &=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\left[\dfrac{3(\vec{m}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{m}}{r^3}\right]\\ &=\dfrac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta \hat{r}+\sin\theta \hat{\theta}) \end{aligned}$$

在物质中产生磁场作用的主要是分子电流这一类磁偶极子。近似其为恒定电流，则其电流为：

$$I=\frac{ev}{2\pi R}$$

磁偶极矩为：

$$\vec{m}=-\frac12evR\hat{z}$$

施加外磁场时，分子的速度增大：

$$\Delta v=\frac{eB}{2m_e}R$$

使得磁偶极矩增大：

$$\Delta \vec{m}=-\frac12eR\Delta v\hat{z}=-\frac{e^2BR^2}{4m_e}\hat{z}$$

这说明分子电流产生的反向电场与外磁场方向相反，成线性关系，这也是联系微观磁偶极子和宏观磁化强度的基础。

磁化强度

磁化强度定义为单位体积内的磁偶极矩：

$$\vec{M}=\frac{\sum_i\vec{m}_i}{V}$$

这里不加证明给出磁化电流密度：

$$\vec{J}_b=\nabla\times \vec{M},\vec{K}_b=\vec{M}\times \hat{n}$$

其中体电流仍然满足散度为零的条件：

$$\nabla\cdot \vec{J}_b=0$$

有磁介质的安培环路定理

有磁介质的安培环路定理为：

$$\nabla\times \vec{B}=\mu_0\vec{J}_f+\mu_0\vec{J}_b=\mu_0\vec{J}_f+\mu_0\nabla\times \vec{M}$$

重新写为：

$$\nabla\times \left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\right)=\vec{J}_f$$

引入辅助矢量——磁场强度$\vec{H}$：

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$$

得到安培环路定理的另一种形式：

$$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}_f$$

虽然磁场强度这一名字容易让人误解为磁场的强度，不过这位我们记忆其与电场的对应关系给了很好的辅助手段：
| 电场 | 磁场 |
|:—-:|:—-:|
| 电场强度 $\vec{E}$ | 磁场强度 $\vec{H}$ |
| 电位移矢量 $\vec{D}$ | 磁感应强度 $\vec{B}$ |

磁化率和磁导率

结合上述类比，可以得到：

$$\vec{M}=\chi_m\vec{H}$$

其中，$\chi_m$为磁化率，描述了物质对外磁场的响应程度。遵循上式的材料成为线性介质，对于线性介质有：

$$\vec{B}=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}=\mu\vec{H}$$

其中，$\mu=\mu_0(1+\chi_m)$为磁导率，描述了物质对外磁场的导通能力。

同样，类比于铁电材料，某些材料的磁化率除了取决于外磁场强度，还取决于其本身的历史磁化情况，称为铁磁材料。

磁场的能量

类似电场的能量密度，磁场的能量密度为：

$$u_B=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H}=\frac{1}{2\mu_0}\vec{B}^2$$

更详细的说明需要等到电磁感应中引入电感的概念。

静磁学总结

通过以上对静磁学的讨论，我们归纳出描述静磁场的两个方程：

$$\begin{cases} \nabla\cdot \vec{B}=0 \\ \nabla\times \vec{B}=\mu_0 \vec{J} \end{cases}$$

通过引入磁矢势$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$的概念，可以得到：

$$\begin{cases} \nabla\cdot (\nabla\times \vec{A})=0 \\ \nabla\times (\nabla\times \vec{A})=-\nabla^2 \vec{A}=\mu_0 \vec{J} \end{cases}$$

常见电流构型的磁场和磁矢势表达式如下：
| 电流构型 | 磁场 $\vec{B}$ | 磁矢势 $\vec{A}$ |
|:—-:|:—-:|:—-:|
| 无限长直导线 | $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} \hat{\phi}$ | $\vec{A}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left(\dfrac{r}{r_0}\right) \hat{z}$ |
| 有限长直导线 | $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}(\cos\theta_2+\cos\theta_1) \hat{r}$ | None |
| 圆形电流环 | $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z}$ | None |
|无限长螺线管| $\vec{B}=\mu_0 n I \hat{z}$ | None|
| 有限长螺线管 | $\vec{B}=\dfrac{\mu_0 n I}{2} \left(\cos\theta_1+\cos\theta_2\right) \hat{z}$ | None |