静电学

电荷

静电学的一切都要从电荷说起。实验表明自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

电荷的单位是库仑（C），国际单位制中规定元电荷的大小为 $e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$，它是由密立根通过油滴实验测得的。

注意，电荷是一种属性，而不是像电子和质子那般的实体。自然界中的物体都带有大量的电荷，不过通常由于正负电荷的数量相等，所以物体整体上是中性的。物体承载大量电荷，如果电荷能够自由移动，称为导体；如果电荷不能自由移动，称为绝缘体。

大量实验表明，在与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和保持不变，称为电荷守恒定律。

库仑定律

电荷因为相互作用而可以被观察，其相互作用满足以下库仑定律：

两电荷受到的作用力大小相等方向相反，沿着电荷的连线方向。
两电荷之间的作用力大小与两电荷的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比： $F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}$ 其中 $k$ 是库仑常数，$k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，$\varepsilon_0$ 是真空的介电常数。

库伦定律是库伦通过扭秤实验发现的。不同的电荷的力满足矢量叠加原理，这是由麦克斯韦方程组的线性性质决定的。

电场

电磁学通常使用“描述电荷对对其他电荷的作用力的普遍性质”这一数学上的动机来引入电场。实际上，我们在牛顿力学中也引入了势场的概念。但不同于牛顿力学经过数学简化的势场，电场这一概念在后续的场论中发扬光大。

考虑太阳和地球的作用，如果太阳突然消失，我们需要在以下三种情况种选择一种：

能量不守恒：地球经过8分钟才感受到太阳的消失。
超距作用：地球瞬间感受到太阳的消失，能量依旧守恒。
场的存在：场储存了一部分的能量，保证能量守恒。

为了物理学的美与直观，我们马后炮地发现场的作用是不可或缺的。在静电学中，我们认为电荷激发了空间中的某种没有实形的实体——电场。电场可以通过矢量描述，其强度定义为：

$\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q}=\dfrac{kq}{r^2}\hat{r}$

已知任意电荷分布，通过叠加原理即可求出电场的分布。

高斯定理

可以证明，高斯定理这一针对电场的通量的定理是正确的：

对于任意闭合曲面，穿过该曲面的电场通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数： $\Phi_E=\iint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

通过高斯定理可以简化一部分的电场计算。

证明：先计算单个点电荷的球形界面内的电场通量：

$\Phi_E=\iint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\iint_S \dfrac{kq}{r^2}\hat{r}\cdot d\vec{S}=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$

而后证明任意界面的电场通量依然成立：对于给定立体角，电场通量的贡献为：

$d\Phi_E'=\dfrac{kq}{r'^2}\hat{r}\cdot d\vec{S'}=\dfrac{kq}{r'^2}\hat{r}\cdot \frac{d\vec{S}}{\cos\theta}\cdot\frac{r'^2}{r^2}\cos\theta=d\Phi_E$

对于电荷在区域外的情况，考虑作包围电荷的补曲面，可以简单证得。

电势

电磁学中存在两种电场：由静电荷分布产生的静电场和由时间变化的磁场产生的感应电场。静电场是无旋场：

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$

对静电场矢量作旋度计算：$\nabla\times\vec{E}=0$，可以证明静电场是无旋场。

从而可以定义电势。电势是一个标量场，定义为：

$V=\int_{\infty}^{\vec{r}} \vec{E}\cdot d\vec{l}$

对于单个电荷，电势为：

$V=\int_{\infty}^{\vec{r}}\frac{kq}{r^2}\hat{r}\cdot d\vec{l}=\int_{\infty}^{\vec{r}}\dfrac{kq}{r^2}dr=\dfrac{kq}{r}$

一般将无穷远处的电势定义为零。

电势同样满足叠加原理。电场强度是电势的梯度：

$\vec{E}=-\nabla V$

这样定义的电势天生满足无旋的条件（梯度的旋度为0）：

$\nabla\times \vec{E}=\nabla\times (-\nabla V)=0$

总结任意电荷分布下的电场和电势的积分表达式：

电场 $\vec{E}$ 电势 $V$

$\vec{E}(\vec{r})=\iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi^2}\hat{\xi}d\tau’$ $V= \iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi}d\tau’$

其中，$\vec{\xi}=\vec{r}-\vec{r’}$。

电场 $\vec{E}$	电势 $V$
$\vec{E}(\vec{r})=\iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi^2}\hat{\xi}d\tau’$	$V= \iiint \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r’})}{\xi}d\tau’$

物质中的电场

导体中的电场

静电平衡时，导体内部的电场为零，这一点可以通过反证法证明：假设导体内部存在电场，则导体内部的自由电荷会受到作用力而发生运动，直到电场为零为止。

从导体内部的电场为零可以推出以下推论：

导体是等势体，导体内部的任意两点的电势相等，导体表面是等势面。
导体内部电荷密度为零，所有电荷集中在导体表面。
导体外表面的电场强度垂直于导体表面，且电场强度的大小与表面电荷密度成正比： $\vec{E}^{ext}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{n}$ 其中 $\sigma$ 是表面电荷密度，$\hat{n}$ 是法向单位矢量。

外部电场由两部分构成：表面电荷的电场和其余电荷的电场：
$\vec{E}^{ext}=\vec{E}^{int}_{self}+\vec{E}^{int}_{else}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{n}+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{n}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{n}$
而内部的电场为零：
$\vec{E}^{int}=\vec{E}^{int}_{self}+\vec{E}^{int}_{else}=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{n}+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{n}=0$
其中$\vec{E}^{int}_{else}$是除去该表面电荷外，其余表面电荷和外部电场的和。

可以计算导体表面所受到的静电力：

$\vec{F}=\vec{E}^{int}_{else}\sigma\Delta S=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\Delta S\hat{n}$

外部电场促使导体内部电场平衡的过程中，静电力做功使得体系总的能量降低，这里面涉及到电容和静电能的概念。

导体的电容

电容定义为单位电势所能储存的电荷量：

$C=\dfrac{Q}{V}$

常见的电容器有：

孤立导体球：电容为 $C=\dfrac{Q}{Q/4\pi\varepsilon_0R}=4\pi\varepsilon_0R$。
平行板电容器：电容为 $C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}$，其中 $S$ 是平行板的面积，$d$ 是两板之间的距离。
球形电容器：电容为 $C=\dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2-R_1}$，其中 $R_1$ 和 $R_2$ 是内外球的半径。
圆柱形电容器：电容为 $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(R_2/R_1)}$，其中 $R_1$ 和 $R_2$ 是内外圆柱的半径，$L$ 是圆柱的长度。

电容器的串联满足：

$\dfrac{1}{C_{eq}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\cdots$

电容器的并联满足：

$C_{eq}=C_1+C_2+\cdots$

静电能

若干个电荷之间的静电能定义为：

$W_{int}=\frac12(q_1V_1+q_2V_2+\cdots)=\frac12\sum_{i=1}^n q_iV_i$

对于连续分布的电荷，使用高斯定理：

$\begin{aligned} W_{tot}&=\frac12\int \rho V d\tau\\ &=\frac{\varepsilon_0}2\int (\nabla\cdot \vec{E}) V d\tau\\ &=\frac{\varepsilon_0}2[\int \nabla\cdot (V\vec{E}) d\tau-\int (\nabla\cdot V)\vec{E} d\tau]\\ &=\frac{\varepsilon_0}2[\oint_S V\vec{E} da+\int_V E^2 d\tau]\\ (\lim_{r\rightarrow \infty})&=\frac{\varepsilon_0}2\int_V E^2 d\tau \end{aligned}$

乍一看，这两个公式是不自洽的：对于正负两个电荷，前者的静电能为负，而后者的静电能为正。实际上，前者是指两个电荷之间的相互作用能，而后者是指电场中储存的能量（包含自己的能量和相互作用的能量，简称“自能”和“互能”）。使用后者的计算方法得到：
$\begin{aligned} W_{tot}'&=\frac{\varepsilon_0}2\int_V E^2 d\tau\\ &=\frac{\varepsilon_0}2\int_V E_1^2 d\tau+\frac{\varepsilon_0}2\int_V E_2^2 d\tau+\varepsilon_0\int_V \vec{E_1}\cdot\vec{E_2} d\tau\\ &=W_{tot}^{(1)}+W_{tot}^{(2)}+W_{int}^{(12)}\\ \end{aligned}$
对于两个电荷的情况，可以验证：
$\begin{aligned} W_{int}^{(12)}&=\varepsilon_0\int_V \vec{E_1}\cdot\vec{E_2} d\tau\\ &=\frac{q_1q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\iiint \dfrac{\cos\alpha}{r^2r'^2}d\tau\\ &=\frac{q_1q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta \int_{0}^{\infty} \dfrac{r-a\cos\theta}{(r^2+a^2-2ar\cos\theta)^{3/2}} dr\\ \end{aligned}$
令$t=r-a\cos\theta$，则
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \dfrac{r-a\cos\theta}{(r^2+a^2-2ar\cos\theta)^{3/2}} dr&=\int_{-a\cos\theta}^{\infty} \dfrac{t}{(t^2+a^2\sin^2\theta)^{3/2}} dr\\ &=\int_{-a\cos\theta}^{\infty} d\dfrac{-1}{(t^2+a^2\sin^2\theta)^{1/2}} \\ &=\left.\dfrac{-1}{(t^2+a^2\sin^2\theta)^{1/2}}\right|_{-a\cos\theta}^{\infty} \\ &=1/a \\ \end{aligned}$
最终得到：
$W_{int}^{(12)}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0a}=\frac12(q_1V_1+q_2V_2)$

对于电容器，使用前一种算法（或者通过电场力搬运电荷做功的物理意义）：

$W=\frac12QV=\frac12CV^2=\frac12\frac{Q^2}{C}$

这比电场力做功$W_{E}=QV$少了一半，多出的能量转化为热能耗散。

电介质中的电场

电介质本质上是绝缘体，但其内部的原子或分子可以被极化：

一种是无极分子在外电场的作用下，正负电荷发生分离，形成偶极子。
另一种是有极分子的偶极子在外电场的作用下，发生定向排列。

偶极子模型

靠的很近的等量正负电荷被称为偶极子，偶极矩定义为：

$\vec{p}=q\vec{d}$

均匀电场作用其上，导致正负力抵消，但是受到力矩的作用：

$\vec{N}=\vec{p}\times \vec{E}$

如果是非均匀电场，则偶极子受到的力为：

$\vec{F}=(\vec{p}\cdot\nabla) \vec{E}$

这里不加证明地给出偶极子的电势：

$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{r^2}$

和偶极子的电场：

$\begin{aligned} \vec{E}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{3(\vec{p}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3}\right)\\ &=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(2\cos\theta\hat{r}+\sin\theta\hat{\theta})\\ \end{aligned}$

这里的电场结果正比于偶极矩$\vec{p}$，这一线性性是联系微观偶极子模型和宏观极化强度的重要桥梁。外电场使得偶极子的偶极矩增大，进而产生反向电场。

极化强度和电极化率

使用极化强度$\vec{P}$来描述电介质的极化程度：

$\vec{P}=\dfrac{\sum\vec{p}_i}{V}$

其描述了单位体积内的被极化的分子的偶极矩的总和，单位为 $C\cdot m /m^3$。一般来说，其正比于外电场强度：

$\vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E}$

其中 $\chi_e$ 是电介质的电极化率，描述宏观上产生反电场的能力，微观上极化分子的难度。

常见的电介质是各向同性的，用一个标量即可描述；有些电介质是各向异性的，需要使用张量来描述：
$\chi_e=\begin{pmatrix} \chi_{e11} & \chi_{e12} & \chi_{e13} \\ \chi_{e21} & \chi_{e22} & \chi_{e23} \\ \chi_{e31} & \chi_{e32} & \chi_{e33} \end{pmatrix}$
有些材料的极化情况除了取决于外电场强度，还取决于其本身的历史极化情况，称为铁电材料。

从极化强度的单位即可猜测极化电荷的面密度为：

$\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat{n}$

曲面内的极化电荷总量为：

$Q_b=-\iint_S \vec{P}\cdot d\vec{S}$

有电介质的高斯定理

有电介质时，高斯定理的形式为：

$\Phi_E=\iint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}+\dfrac{Q_{\text{enc}}^{(b)}}{\varepsilon_0}$

其中 $Q_{\text{enc}}^{(p)}$ 是极化电荷的总量。

现在考虑将高斯定理写为电荷量的通量，而非现在的电场强度的通量。注意到$\varepsilon_0\vec{E}$的单位$[Q]/[L]^2$就是电荷量的通量：

$\begin{aligned} \iint_S \varepsilon_0\vec{E}\cdot d\vec{S}&=Q_{\text{enc}}+Q_{\text{enc}}^{(b)}\\ \Rightarrow \iint_S \varepsilon_0\vec{E}\cdot d\vec{S}&=Q_{\text{enc}}-\oiint_S \vec{P}\cdot d\vec{S}\\ \Rightarrow \iint_S (\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot d\vec{S}&=Q_{\text{enc}}\\ \end{aligned}$

引入电位移矢量：

$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

得到有电介质的高斯定理：

$\iint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{\text{enc}}$

现在我们不需要考虑极化电荷就可以考虑电介质中的电场。为了方便电位移矢量的求解，定义：

$\vec{D}=\varepsilon\vec{E},\varepsilon=\varepsilon_0(1+\chi_e)$

有电介质的静电能

显然，电介质介入后，静电能减小。具体而言，平衡后电场的大小为原来的$1/\varepsilon_r$倍，所以：

$W=\frac{\varepsilon_0}2\int_V(\frac{E}{\varepsilon_r})^2d\tau=\frac{\varepsilon_0}2\int_VE'^2d\tau$

除此之外，还有非平衡过程中电场力所做功：

$W_{E}\propto\frac12\langle\int_V\sigma dS\cdot E'dl\rangle=\frac12\langle\int_V(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0E' dS\cdot E'dl\rangle=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)}2\int_VE'^2d\tau$

总的静电能为：

$W_{tot}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}2\int_VE'^2d\tau=\frac12\int_V\vec{D}\cdot\vec{E}d\tau$

以上毕竟是定性的讨论。使用电介质的高斯定理可以推出同样的结论：

假设原来的自由电荷为$\rho_f$，增加小量$\delta\rho_f$，则有：
$\begin{aligned} \delta W&=\int \delta\rho_f Vd\tau\\ &=\int \nabla\cdot(\delta \vec{D}) Vd\tau\\ &=\int \nabla\cdot(\delta \vec{D} V) d\tau+\int \delta\vec{ D}\cdot\vec{E} d\tau\\ &=\oint_S \delta \vec{D} V dS+\int \delta\vec{ D}\cdot\vec{E} d\tau\\ (\lim_{r\rightarrow \infty})&=\int \delta\vec{ D}\cdot\vec{E} d\tau\\ \Rightarrow W_{tot}&=\frac12\int_V\vec{D}\cdot\vec{E}d\tau\\ \end{aligned}$

静电学总结

通过以上对静电学的讨论，我们归纳出描述静电场的两个方程：
$\begin{cases} \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla\times\vec{E}=0 \end{cases}$
或者不带有极化电荷：
$\begin{cases} \nabla\cdot\vec{D}=\rho_f \\ \nabla\times\vec{E}=0 \end{cases}$
通过引入电势$\vec{E}=-\nabla V$的概念，我们得到：
$\begin{cases} \nabla^2 V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla\times(-\nabla V)=0 \end{cases}$

附录

常见的电荷构型的电场和电势：

电荷构型	电场 $\vec{E}$	电势 $V$
点电荷 $q$	$\vec{E}=\dfrac{kq}{r^2}\hat{r}$	$V=\dfrac{kq}{r}$
均匀带电球壳	$\vec{E}=\dfrac{kq}{r^2}\hat{r}$ ($r>R$);$\vec{E}=0$ ($r<R$)	$V=\dfrac{kq}{r}$ ($r>R)$;$V=\dfrac{kq}{R}$ ($r<R$)
均匀带电球体	$\vec{E}=\dfrac{kq}{r^2}\hat{r}$ ($r>R$);$\vec{E}=\dfrac{kqr}{R^3}\hat{r}$ ($r<R$)	$V=\dfrac{kq}{r}$ ($r>R)$;$V=\dfrac{kq(3R^2-r^2)}{2R}$ ($r<R$)
无限长带电直线	$\vec{E}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\hat{n}$	$V=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(r/r_0)$
有限长带电直线	$E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r}(\cos\theta_2+\cos\theta_1)$;$E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r}(\sin\theta_2-\sin\theta_1)$	None
圆环	$\vec{E}=\dfrac{kqz}{(z^2+a^2)^{3/2}}\hat{z}$	$V=\dfrac{kq}{\sqrt{z^2+a^2}}$
无限长带电平面	$\vec{E}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{n}$	None