势和场

$\begin{align} \nabla\cdot\vec{E}&=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\\ \nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\vec{B}&=\mu_0 \vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{align}$

引入矢势$\vec{A}$和标势$V$：

$E=-\nabla V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t},\quad B=\nabla\times\vec{A}$

这两个定义自动满足式(2)和(3)。他们需要满足的条件可以从式(1)和(4)中得到：

$\begin{align} \nabla^2V+\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\vec{A}\right)&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla^2\vec{A}-\nabla\left(\nabla\cdot\vec{A}\right)-\mu_0\varepsilon_0\left(\dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}+\nabla\dfrac{\partial V}{\partial t}\right)&=-\mu_0\vec{J} \end{align}$

麦克斯韦方程组具有规范不变性：

$\vec{A}'=\vec{A}+\nabla\chi,\quad V' = V-\dfrac{\partial \chi}{\partial t}$

这意味着我们可以选择一个规范，简化式(5)和(6)。常用的规范有：

库伦规范：$\nabla\cdot\vec{A}=0$，此时式(5)式(6)变为： $\nabla^2V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\nabla^2\vec{A}-\mu_0\varepsilon_0\left(\dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}+\nabla\dfrac{\partial V}{\partial t}\right)=-\mu_0\vec{J}$
洛伦兹规范：$\nabla\cdot\vec{A}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial t}=0$，此时式(5)式(6)变为： $\begin{align} \nabla^2V-\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\\nabla^2\vec{A}-\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}&=-\mu_0\vec{J}\end{align}$

在洛伦兹规范下，式(5)和(6)变为具有相同形式的非齐次波动方程，这意味着方程的右端有一个源项。这将会方便我们的处理。

推迟势

对于静态情况，式(7)和(8)变为：

$\begin{aligned} \nabla^2V&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla^2\vec{A}&=-\mu_0\vec{J} \end{aligned}$

电势和磁矢势退化为我们此前所熟悉的泊松方程的解：

$V(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\dfrac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}d\tau',\vec{A}(\vec{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{\vec{J}(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}d\tau'$

但是对于场源非静态的情况呢？一个自然的推广是：

$\begin{aligned} V(\vec{r},t)&=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\dfrac{\rho(\vec{r'},t_r)}{|\vec{r}-\vec{r'}|}d\tau'\\ \vec{A}(\vec{r},t)&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{\vec{J}(\vec{r'},t_r)}{|\vec{r}-\vec{r'}|}d\tau' \end{aligned}$

其中，$t_r=t-|\vec{r}-\vec{r’}|/c$。$\rho(\vec{r’},t_r)$和$\vec{J}(\vec{r’},t_r)$是源在时刻$t_r$的值。这个时间延迟是因为电磁波以光速$c$传播。可以证明，该推广是正确的。

值得注意的是，势的自然推广是正确的，但是场的自然推广并不正确。由杰斐缅柯方程给出：

$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r},t)&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\left[\dfrac{\rho(\vec{r'},t_r)}{\xi^2}\hat{\xi}+\dfrac{\dot\rho(\vec{r'},t_r)}{c\xi}\hat{\xi}-\dfrac{\dot {\vec{J}}(\vec{r'},t_r)}{c^2\xi}\hat{\xi}\right]d\tau'\\ \vec{B}(\vec{r},t)&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\dfrac{\vec{J}(\vec{r'},t_r)}{\xi^2}+\dfrac{\dot {\vec{J}}(\vec{r'},t_r)}{c\xi}\right]\times \hat{\xi}d\tau'\\ \end{aligned}$

李纳-维谢尔势

对于直线运动电荷，李纳-维谢尔势给出了一个更简单的表达式：

$\begin{aligned} V(\vec{r},t)&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{\xi-\vec{v}\cdot\hat{\xi}/c}\\ \vec{A}(\vec{r},t)&=\dfrac{\mu_0q}{4\pi}\dfrac{\vec{v}}{\xi-\vec{v}\cdot\hat{\xi}/c}=\dfrac{\vec{v}}{c^2}V(\vec{r},t) \end{aligned}$

对应的场如下：

$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r},t)&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\xi}{(\vec{\xi}\cdot\vec{u})^3}\left[(c^2-v^2)\vec{u}+\vec{\xi}\times(\vec{u}\times\vec{a})\right]\\ \vec{B}(\vec{r},t)&=\frac{1}{c}\hat{\xi}\times\vec{E}(\vec{r},t) \end{aligned}$

其中，$\vec{u}=c\hat{\xi}-\vec{v}$，$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$。

当电子以恒定速度$\vec{v}$运动时，辐射场为：

$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r},t)&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\hat{R}}{R^2}\\ \vec{B}(\vec{r},t)&=\dfrac{1}{c}\hat{\xi}\times\vec{E}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{c^2}\vec{v}\times\vec{E}(\vec{r},t) \end{aligned}$

其中$\vec{R}=\vec{r}-\vec{v}t$，$\theta$是$\vec{R}$和$\vec{v}$之间的夹角。

证明：
$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r},t)&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\xi}{(\vec{\xi}\cdot\vec{u})^3}\left[(c^2-v^2)\vec{u}\right]\\ &=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{c}{(c^2-v^2\sin^2\theta)^{3/2}R^3}\left[(c^2-v^2)\vec{R}\right]\\ &=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\hat{R}}{R^2} \end{aligned}$

电偶极子的辐射

对于电荷振荡的电偶极子$q(t)=q_0\cos(\omega t),\vec{p}(t)=q(t)d$，其辐射势为：

$V(\vec{r},t)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left\{\dfrac{\cos\left[\omega(t-\xi_+/c)\right]}{\xi_+}-\dfrac{\cos\left[\omega(t-\xi_-/c)\right]}{\xi_-}\right\}$

类似求解稳态电偶极子，不过这次分子也需要近似展开：

$\begin{aligned} \cos\left[\omega(t-\xi_\pm/c)\right]&\approx \cos\left[\omega(t-r/c)\pm\frac{\omega d}{2c}\cos{\theta}\right]\\ &= \cos(\omega (t-r/c))\cos\left(\frac{\omega d}{2c}\cos{\theta}\right)\mp \sin(\omega (t-r/c))\sin\left(\frac{\omega d}{2c}\cos{\theta}\right)\\ &\approx \cos(\omega (t-r/c))\mp \sin(\omega (t-r/c))\frac{\omega d}{2c}\cos{\theta}\\ \end{aligned}$

代入后得到：

$\begin{aligned} V(\vec{r},t)&= \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left\{\dfrac{\cos\left[\omega(t-\xi_+/c)\right]}{\xi_+}-\dfrac{\cos\left[\omega(t-\xi_-/c)\right]}{\xi_-}\right\}\\ &\approx \dfrac{q_0}{4\pi\varepsilon_0r}\left\{\cos(\omega (t-\xi_+/c))(1+\frac{d}{2r}\cos\theta)-\cos(\omega (t-\xi_-/c))(1-\frac{d}{2r}\cos\theta)\right\}\\ &= \dfrac{p_0 \cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_0 r}\left\{-\frac{\omega}{c}\sin[\omega(t-r/c)]+\frac{1}{r}\cos[\omega(t-r/c)]\right\} \end{aligned}$

第二项在$\omega \ll 1$时退化为稳态电偶极子的辐射势：

$V(\vec{r},t)\approx \dfrac{p_0 \cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

第一项是加速度产生的辐射式。在远离电偶极子的情况下，电势和磁矢势为：

$\begin{cases} V(\vec{r},t)\approx \dfrac{p_0 \cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_0 r}\left(-\frac{\omega}{c}\sin[\omega(t-r/c)]\right)\\ \\\vec{A}(\vec{r},t)\approx\dfrac{\mu_0p_0 \omega}{4\pi r}\sin[\omega(t-r/c)]\hat{z} \end{cases}$

对应的电场和磁场为：

$\begin{cases} E(\vec{r},t)\approx -\dfrac{\mu_0p_0 \omega^2}{4\pi }\dfrac{\sin{\theta}}{r}\cos[\omega(t-r/c)]\hat{\theta}\\ \\\vec{B}(\vec{r},t)\approx-\dfrac{\mu_0p_0 \omega^2}{4\pi c}\dfrac{\sin{\theta}}{r}\cos[\omega(t-r/c)]\hat{\phi} \end{cases}$

其辐射能量由坡印廷矢量决定：

$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{B}=\dfrac{\mu_0p_0^2\omega^4}{16\pi^2 c}\dfrac{\sin^2{\theta}}{r^2}\hat{r}$

周期平均辐射功率为：

$P=\int\langle\vec{S}\rangle\cdot d\vec{A}=\dfrac{\mu_0p_0^2\omega^4}{32\pi^2 c}\times\frac{8}{3}$

拉莫尔公式

对于任意电偶极子，其辐射功率可以由拉莫尔公式给出：

$P=\dfrac{\mu_0\ddot{p}^2}{6\pi c}$

从瞬时静止开始加速的电子的辐射场也满足上述公式：

$P=\dfrac{\mu_0q^2a^2}{6\pi c}$

对于有初始速度的粒子：

$\frac{dP}{d\Omega}=\dfrac{q^2}{16\pi^2 \varepsilon_0}\left(\dfrac{|\hat{\xi}\times(\vec{u}\times\vec{a})|^2}{(\hat{\xi}\cdot\vec{u})^5}\right)$ $P=\dfrac{\mu_0q^2\gamma^6}{6\pi c}\left(a^2-|\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{c}|^2\right)$

如果$\vec{v}$和$\vec{a}$瞬时共线：

$\frac{dP}{d\Omega}=\dfrac{\mu_0q^2a^2}{16\pi^2 c}\dfrac{\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^5}$ $P=\dfrac{\mu_0q^2\gamma^6}{6\pi c}$

如果$\vec{v}$和$\vec{a}$瞬时垂直：

$\frac{dP}{d\Omega}=\dfrac{\mu_0q^2a^2}{16\pi^2 c}\dfrac{(1-\beta\cos\theta)^2-(1-\beta^2)\sin^2\theta\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^5}$ $P=\dfrac{\mu_0q^2\gamma^4}{6\pi c}$