从麦克斯韦方程组到波动方程

对式(3)取旋度：

整理得：

同理，对式(4)取旋度：

这说明真空中的电场和磁场都满足波动方程，且速度为：

电磁波的传播

关于电磁波在电介质中的传播、反射、折射、吸收和色散，在光学专栏表面光学和分子光学都有了详细的讨论，这里不再赘述。

这里主要讨论电磁波在波导中的传播。所谓波导，就是一种使用导体限制电磁波传播的结构。为了方便讨论，假设波导内部为真空。

导体对电磁波的边界条件限制为：

我们对沿着轴向（设为z轴）传播的单色光感兴趣，设电场和磁场的形式为：

经过数学运算，可以得到关于$E_z$和$B_z$的方程：

求出$E_z$和$B_z$的解后，可以通过下式求得另外两个分量:

边界条件可以转化为：

其中$|_{i}$表示在导体在i轴边界上的值。

如果$E_z=0$，则称为TE波（横电波），如果$B_z=0$，则称为TM波（横磁波）。可以证明，在中空波导中，TEM波（横电磁波）不存在。

矩形波导的TE波

设矩形波导在x轴的长度为a，在y轴的长度为b：

通过边界条件$B_x|_{x=0,x=a}=0$和$B_y|_{y=0,y=b}=0$，可以得到：

这里使用到了$B_x\propto\frac{dB_z}{dy}$和$B_y\propto\frac{dB_z}{dx}$。

显然，波数为：

必须满足：

所以$\omega_{mn}$是TE波在$TE_{mn}$模式的截止频率。最低的模式为$TE_{01}$，因为如果$m=n=0$，则$B_z=Const$，与$\nabla\times \vec{E}=0$相悖。

矩形波导的TM波

通过边界条件$E_x|_{y}=0,E_y|_{x}=0,E_z|_{xy}=0$，可以得到：

可以验证，$E_x\propto\frac{dE_z}{dx}$和$E_y\propto\frac{dE_z}{dy}$在边界也满足条件。

TM波的最低模为$TM_{11}$。当$m=0$或$n=0$时，$E_z=0$，退化为TEM波。

谐振腔

为产生并加强特定频率的电磁波，通常采用具有金属壁面的谐振腔，通过控制谐振腔线度条件来产生特定波长的驻波，其余的的波长则被抑制减弱。

以矩形谐振腔为例。设谐振腔的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，则谐振腔的模式为：

为了满足无散条件，必须满足：

本征频率有亥姆霍兹方程给出：