模式系统

选择通用简易标准化的生物观察对象进行一类模式系统的研究，是生物学中的研究范式，其优点主要包括：

• 实验室可培养性
• 可观察及测量性
• 安全性
• 方便或针对特殊需求

按照生物结构，可以分为不同的研究层次：

• 结构生物学：研究大分子的三维结构及其功能关系
• 分子生物学与生物化学：研究大分子的功能、调控机制和动态过程
• 细胞生物学
• 遗传学
• 生态学

本专栏主要会设计以下模式系统：

• 血红蛋白：研究受体配体结合关系
• 噬菌体：分子马达、DNA折叠
• 乌贼的巨型轴突：生物电

血红蛋白：受体配体结合模型

简单结合

假设体积为$\Omega$单位的溶液中有$L$个配体和1个受体，每个配体占据单位为1的体积，根据统计力学，受体结合配体的概率为：

$$p_{bound}=\frac{\text{受体被占据的状态数}\times\text{权重}}{\text{受体未被占据的状态数}\times\text{权重}+\text{受体被占据的状态数}\times\text{权重}}$$

其中：

$$\text{受体被占据的状态数}=C_{\Omega}^{L-1}=\frac{\Omega!}{(L-1)!(\Omega-L+1)!}$$ $$\text{受体未被占据的状态数}=C_{\Omega}^{L}=\frac{\Omega!}{L!(\Omega-L)!}$$

假设未被占据的状态权重为1，那么被占据的状态权重为：

$$\text{权重}=\frac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}$$

全部代入式子中，利用近似关系$\frac{\Omega!}{(\Omega-L)!}\approx\Omega^L$，可以得到：

$$p_{bound}=\frac{\dfrac{L}{\Omega}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}{1+\dfrac{L}{\Omega}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}$$

这其实等价于郎缪尔等温吸附公式。将其与化学计量式：

$$L+R\rightleftharpoons LR$$

的反应平衡式：

$$p_{bound}=\frac{[LR]}{[R]+[L][R]}=\frac{[L]/K_d}{1+[L]/K_d}$$

比较，可以了解到上述格子模型其实是宏观平衡的微观阐释。

使用稀溶液中的化学势公式：

$$\mu=\mu^0+k_BT\ln{[\frac{c}{c_0}]}$$

也可以得到类似的结果：

$$p_{bound}=\frac{\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}{1+\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}$$

多结合点位

修改化学计量式为：

$$nL+R\rightleftharpoons LR$$

新的结合概率公式为：

$$p_{bound}=\frac{[LR]}{[R]+[L]^n[R]}=\frac{([L]/K_d)^n}{1+([L]/K_d)^n}$$

该结果被称为Hill方程，$n$被称为Hill系数。Hill系数的大小可以反映结合位点之间的相互作用程度。理论上，血红蛋白的氧结合位点为4个，但实验测得的结果为3。这可能与Hill模型忽视了中间态有关。

考虑中间态

在考虑中间态的情况下，结合反应可以表示为：

$$2L+R\rightleftharpoons L+LR\rightleftharpoons L^2R$$

平均占据数为：

$$\langle N\rangle=\frac{0+2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}+2(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\Delta\epsilon]}}{1+2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}+(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\Delta\epsilon]}}=2\frac{\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}{1+\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}}$$

可以看到，其占据数为$n=1$Hill模型的两倍，是线性的。

考虑协同效应

考虑两个结合时的结合能并非简单叠加，而是有协同效应。可以将结合能表示为：

$$\Delta E=\Delta \epsilon(\sigma_1+\sigma_2)+J\sigma_1\sigma_2$$

其中，$\sigma_1$和$\sigma_2$分别表示两个结合位点的占据状态，$J$表示协同效应。可以得到：

$$\langle N\rangle=\frac{2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}+2(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\Delta\epsilon-\beta J]}}{1+2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\Delta\epsilon]}+(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\Delta\epsilon-\beta J]}}$$

MWC模型：考虑二态

MWC模型是一个经典的模型，假设结合位点有两种构象：T态和R态。其中T态为低亲和力构象，容易产生无结合状态；R态为高亲和力构象，容易产生多结合状态。他们的权重分别为：

$$\begin{aligned} T:1,&\exp(-\beta\epsilon_T),\exp(-2\beta\epsilon_T)\\ R:\exp(-\beta\epsilon),&\exp(-\beta\epsilon_R-\beta\epsilon),\exp(-2\beta\epsilon_R-\beta\epsilon) \end{aligned}$$

需要满足$\epsilon>0,\epsilon_T>\epsilon_R+\frac12\epsilon$。可以得到：

$$\langle N\rangle =\frac{\left(2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\epsilon_T]}+2(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\epsilon_T]}\right)+e^{-\beta\epsilon}\left(2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\epsilon_R]}+2(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\epsilon_R]}\right)} {\left(1+2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\epsilon_T]}+(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\epsilon_T]}\right)+e^{-\beta\epsilon}\left(1+2\dfrac{c}{c_0}\exp{[-\beta\epsilon_R]}+(\dfrac{c}{c_0})^2\exp{[-2\beta\epsilon_R]}\right)}$$

噬菌体：分子马达

噬菌体：DNA折叠

弹性梁理论

一段长为$L$的弹性梁弯曲具有能量：

$$E_{bend}=\frac{1}{2}EI\int_0^L|\frac{d\vec{t}}{ds}|^2ds$$

其中，$EI$为弯曲刚度，$\vec{t}$为梁的切向量。显然，对于一个长为$2\pi R$的圆环，弯曲能量为：

$$E_{bend}=\frac{\pi EI}{R}$$

热涨落的能量和弯曲能竞争的大小可以通过驻留长度来表示：

$$k_BT=\frac{EIL}{2R^2},L\approx R$$

即：

$$\xi_p\approx\frac{EI}{2k_BT}$$

定义切向量关联函数：

$$g(s)=\langle \vec{t}(0)\cdot \vec{t}(s)\rangle$$

计算如下：

$$\begin{aligned} g(s+ds)-g(s)&=\langle \vec{t}(0)\cdot \vec{t}(s+ds)\rangle-\langle \vec{t}(0)\cdot \vec{t}(s)\rangle\\ &=\langle \cos{[\theta(s)+d\theta]}\rangle-\langle \cos{\theta(s)}\rangle \end{aligned}$$

其中，$d\theta$为切向量的转角，满足如下玻尔兹曼分布：

$$d\theta\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2),\sigma^2=\frac{ds}{\xi_p}$$

引理：满足高斯分布$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$的变量$X$，其均值为$\cos{\mu}e^{-\frac{\sigma^2}{2}}$。

展开得到：

$$\begin{aligned} g(s+ds)-g(s) &=\langle \cos{[\theta(s)+d\theta]}\rangle-\langle \cos{\theta(s)}\rangle\\ &=\langle \cos{\theta(s)}\rangle\langle \cos{d\theta}\rangle-\langle \sin{\theta(s)}\rangle\langle \sin{d\theta}\rangle-\langle \cos{\theta(s)}\rangle\\ &=\langle \cos{\theta(s)}\rangle e^{-\frac12\sigma^2}-\langle \cos{\theta(s)}\rangle\\ &=-\frac12\sigma^2g(s) \\ \Rightarrow dg(s)&=-\frac12\sigma^2g(s)ds\\ \Rightarrow g(s)&=g(0)\exp{[-\frac12\frac{s}{\xi_p}]}\\ \end{aligned}$$

其中，重新定义$\xi_p=\frac{EI}{k_BT}$，可以得到：

$$g(x)=\exp{[-\frac{s}{\xi_p}]}$$

拉伸曲线

在原有的基础上，在z轴施加拉伸力$F$，可以得到新的能量为原有弯曲能加偏置势能：

$$E=E_{bend}+V_{stretch}=\frac{\xi_p}{2}\int_0^L|\frac{d\vec{t}}{ds}|^2ds-F\int_0^Lt_zds$$

z轴上的拉伸长度为：

$$\langle z\rangle(f)=\frac1{Z(f)}\int \mathcal{D}[\vec{t}]e^{-\frac{E}{k_BT}}z$$

其中，$Z(f)$为配分函数：

$$Z(f)=\int \mathcal{D}[\vec{t}]e^{-\frac{E}{k_BT}}$$

统计物理的常用公式指出：

$$\langle z\rangle(f)=-\frac{\partial \ln{Z(f)}}{\partial f}$$

小力情形

在小力的情况下，拉伸长度为：

$$\begin{aligned} Z(f)&=\int \mathcal{D}[\vec{t}]e^{-\frac{E}{k_BT}}\\ &=\int \mathcal{D}[\vec{t}]e^{-\frac{E_{bend}}{k_BT}}e^{-\frac{V_{stretch}}{k_BT}}\\ &=\int \mathcal{D}[\vec{t}]\exp{[-\frac12\xi_p\int_0^L|\frac{d\vec{t}}{ds}|^2ds]}\exp{[\frac{F}{k_BT}\int_0^Lt_zds]}\\ &=\int \mathcal{D}[\vec{t}]\exp{[-\frac12\xi_p\int_0^L|\frac{d\vec{t}}{ds}|^2ds]}\left(1+f\int_0^Lt_zds+\frac{f^2}{2}\int_0^L\int_0^Lt_z(s)t_z(u)dsdu\right)\\ &=Z(f=0)\left(1+f\int_0^Lt_zds+\frac{f^2}{2}\int_0^L\int_0^Lt_z(s)t_z(u)dsdu\right)\\ &=Z(f=0)\left(1+\frac{f^2}{2}\int_0^L\int_0^L\frac13\langle t_z(s)t_z(u)\rangle dsdu\right)\\ &=Z(f=0)\left(1+\frac{f^2}{6}\int_0^L\int_0^L\exp{[-\frac{|u-s|}{\xi_p}]} dsdu\right)\\ &=Z(f=0)\left(1+\frac{f^2L\xi_p}{3}\right)\\ \end{aligned}$$

所以：

$$\langle z\rangle(f)=\frac{\partial \ln{Z(f)}}{\partial f}=\frac{2L\xi_p}{3}f$$

大力情形

在大力的情况下，切向量近似为：

$$\vec{t}(s)\approx (t_x,t_y,\sqrt{1-t_x^2-t_y^2})\approx (t_x,t_y,1-\frac{1}{2}(t_x^2+t_y^2))$$

所以：

$$\begin{aligned} \langle z\rangle(f)&=L-\frac12\int_0^L\langle t_x^2+t_y^2\rangle ds\\ &=L-\frac12\sum_w(t^2_x(w)+t^2_y(w))\\ &=L-\frac12\sum_w\frac1{\xi_pw^2+f}\\ &=L-\frac{L}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\xi_p w^2+f}dw\\ &=L-\frac{L}{2\sqrt{f\xi_p}} \end{aligned}$$

所以：

$$\langle z\rangle(f)=L-\frac{L}{2\sqrt{f\xi_p}}$$

插值

反解$f\xi_p$得到：

$$\begin{cases} f\xi_p=\frac{3\langle z\rangle}{2L}&f\ll \xi_p\\ f\xi_p=\frac{1}{4(1-\langle z\rangle/L)^2}&f\gg \xi_p \end{cases}$$

插值得到：

$$f\xi_p=\frac{\langle z\rangle}{L}+\frac{1}{4(1-\langle z\rangle/L)^2}-\frac14$$

DNA成环自由能

DNA的成环自由能由弯曲能和熵构成，其中弯曲能估计如下：

$$E_{bend}=\frac{\pi k_BT}{\xi_p R}\approx\frac{2\pi^2 k_BT}{\xi_p N_{bp}\delta}=\frac{3000}{N_{bp}}k_BT$$

熵计算为：

$$p_{loop}=\frac{C_N^{N/2}}{2^N}\approx \sqrt{\frac{2}{\pi N}}$$ $$S_{loop}=-k_B\ln{p_{loop}^3}=\frac32k_B\ln{N_{bp}}+const$$

细胞膜与细胞器膜

曲面的曲率

曲面$h$的曲率定义如下：

$$\kappa=\begin{pmatrix} \kappa_{11}&\kappa_{12}\\ \kappa_{21}&\kappa_{22} \end{pmatrix}$$

其中：

$$\kappa_{ij}=\frac{\partial^2h}{\partial x_i\partial x_j}$$

对于二维曲线，上述相当于在两个正交方向寻找最佳的拟合圆。显然，存在某两个正交方向，使得：

$$\frac{\partial^2h}{\partial x_i\partial x_j}=\kappa_i\delta_{ij}$$

即对上述矩阵对角化。

脂质双分子的自由能

脂质双分子层拉伸的自由能为：

$$G_{stretch}=\frac{K_a}{2}\int \left(\frac{\Delta a}{a_0}\right)^2dA$$

其中，$K_a$为拉伸刚度，$\Delta a$为拉伸的面积，$a_0$为平衡面积。

脂质双分子膜的弯曲自由能为：

$$G_{bend}=\frac{K_b}{2}\int [\kappa_{1}^2+\kappa_{2}^2]dA$$

$K_b$为弯曲刚度，$\kappa_1$和$\kappa_2$为主曲率。定义平均曲率$\kappa=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$，则可以将自由能写为：

$$G_{bend}=2K_b\int \kappa^2dA$$

显然，球状囊泡的平均曲率为$\kappa=\frac{1}{R}$，所以其弯曲自由能为：

$$G_{bend}=\frac{2K_b}{R^2}\times 4\pi R^2=8\pi K_b$$

与半径无关。

脂质双分子厚度对应的自由能为：

$$G_{thickness}=\frac{K_t}{2}\int \left(\frac{w-w_0}{w_0}\right)^2dA$$

其中，$K_t$为厚度刚度，$w_0$为平衡厚度。

膜的刚度测量

不同的材料对应不同的刚度，所以需要通过微管实验可以测量这三种刚度。一般而言，微管实验通过测量几何参数来确定膜的张力，进而确定刚度系数。

由Laplace-Yang方程可以得到：

$$\Delta p_{out}=p_{Vesicle}-p_{Env}=\frac{2\tau}{R_v}$$ $$\Delta p_{in}=p_{Vesicle}-p_{Straw}=\frac{2\tau}{R_1}$$

其中，$R_v$为囊泡的半径，$R_1$为微管的半径，$\tau$为膜的张力。可以得到：

$$\Delta p=p_{Env}-p_{Straw}=\frac{2\tau}{R_v}-\frac{2\tau}{R_1}$$

这是实验中可以控制的变量。通过以上步骤，我们把变量“压强差”转化为“张力”。

已知张力的表达式为：

$$\tau=K_a\frac{\Delta a}{a_0}$$

其中，面积的变化为：

$$\frac{\Delta a}{a_0}=\frac{2\pi R_1 l+2\pi R_1^2}{2\pi R_v^2}=\frac{R_1(l+R_1)}{R_v^2}$$

通过拟合张力和面积扩张率的关系，即可得到刚度系数$K_a$。

膜管

细胞中的内质网和高尔基体之间存在生物膜管，一般认为是由分子马达拉伸而成。通过计算膜管的拉伸能量，可以得到最可能的膜管半径。

考虑弯曲自由能为：

$$G_{bend}=8\pi K_b\text{(球面部分)}+\pi K_b\frac{L}{r}\text{(柱面部分)}+4\pi K_b\text{(球冠部分)}$$

拉伸自由能为：

$$G_{stretch}=(4\pi R^2+2\pi rL)\tau-Const$$

抵抗内外差做的功为：

$$G_{pV}=-\Delta p(\frac43\pi R^3+\pi r^2L)$$

分子马达外力做功：

$$G_{motor}=-fL$$

总的自由能为：

$$\begin{aligned} G&=G_{bend}+G_{stretch}+G_{pV}+G_{motor}\\ &=12\pi K_b+\pi K_b\frac{L}{r}+(4\pi R^2+2\pi rL)\tau-\Delta p(\frac43\pi R^3+\pi r^2L)-fL\\ \end{aligned}$$

对三个参数$R,r,L$求偏导，得到：

$$\begin{align} \frac{\partial G}{\partial R}&=0\Rightarrow 8\pi \tau R-4\pi\Delta pR^2=0\\ \frac{\partial G}{\partial r}&=0\Rightarrow -\pi K_b\frac{L}{r^2}+2\pi\tau L-2\pi\Delta p rL=0\\ \frac{\partial G}{\partial L}&=0\Rightarrow \pi K_b\frac{1}{r}+2\pi\tau r-\pi r^2\Delta p-f=0\\ \end{align}$$

(1)式给出了Laplace-Yang关系：

$$\Delta p=\frac{2\tau}{R}$$

代入(2)式，给出了膜管的半径：

$$r=\sqrt{\frac{K_b}{2\tau}}$$

最后代入(3)式，给出了外力和张力以及模量的关系：

$$f=2\pi\sqrt{2K_b\tau}$$

乌贼的巨型轴突：生物电