随机微积分

伊藤积分

以维纳过程为基础的噪音表示为：

$\xi(t) = \frac{dW(t)}{dt}$

显然，其具有以下性质：

均值： $\langle \xi(t) \rangle = 0$
方差： $\langle \xi(t) \xi(t') \rangle = \sigma^2\delta(t - t')$

考察一个带有噪音的随机微分方程：

$\frac{dx(t)}{dt} = f(x(t), t) + g(x(t), t) \xi(t)$

其形式解为：

$x(t) = x(0) + \int_0^t f(x(t'), t') dt' + \int_0^t g(x(t'), t') dW(t')$

然而，不同于黎曼积分，随机积分并不能被简单定义。由于黎曼积分的良好性质，其极限定义不依赖于积分区间的中点，即：

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} f(x_i^*) \Delta t$

中的$x_i^*$是任意选取的点。

一般有如下两种方式来定义随机微积分：

$\begin{cases} x_i^*=x_{i-1}&\text{Itô积分}\\ x_i^*=\frac12(x_{i-1}+x_i)&\text{Stratonovich积分} \end{cases}$

然而，Stratonovich积分虽然保留了经典微积分的链式法则，却涉及到了未来信息；而Itô积分则不涉及未来信息，但不满足链式法则。为了解决这个问题，会使用Itô引理来修正链式法则。我们在下面可以看到。

以以下微积分来阐释两种积分的区别：
$\int_0^\tau W(t)dW(t)$
对于Itô积分：
$\langle \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} W(t_{i-1}) [ W(t_i)-W(t_{i-1})] \rangle = \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} \langle W(t_{i-1}) \rangle \langle W(t_i)-W(t_{i-1}) \rangle = 0$
对于Stratonovich积分：
$\langle \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} W(\frac{t_{i-1}+t_{i}}{2}) [ W(t_i)-W(t_{i-1})] \rangle = \sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} \langle W(\frac{t_{i-1}+t_{i}}{2}) W(t_i)\rangle -\langle W(\frac{t_{i-1}+t_{i}}{2}) W(t_{i-1})\rangle= \frac{\sigma^2\tau}{2}$
Stratonovich积分的结果和经典微积分的结果相同，而Itô积分的结果不同。

伊藤引理

伊藤引理是随机微分方程中最重要的定理之一。它是对链式法则的修正，给出了随机过程的函数的微分形式。若$X(t)$是一个随机过程：

$dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$

则光滑函数$f(x, t)$的微分形式为：

$df(X(t), t) = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma \frac{\partial f}{\partial x} dW(t)$

Fokker-Planck方程

对于随机微分方程驱动的过程$X(t)$：

$dX(t) = \mu(X(t), t) dt + \sigma(X(t), t) dW(t)$

其概率密度函数$p(x, t)$满足Fokker-Planck方程：

$\frac{\partial p(x, t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} [\mu(x, t) p(x, t)] + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} [\sigma^2(x, t) p(x, t)]$

证明：利用伊藤引理，我们可以得到：

$df(X(t)) = \left( \mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma \frac{\partial f}{\partial x} dW(t)$

其期望为：

$\frac{\langle df(X(t)) \rangle}{dt} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) p(x, t) dx\\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) p(x, t) dx= \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) p(x, t) dx\\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t)\frac{\partial}{\partial t} p(x, t) dx= \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) p(x, t) dx$

右侧部分可以分部积分：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mu \frac{\partial f}{\partial x} p dx=[f \mu p]|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} f \frac{\partial}{\partial x} [\mu p] dx$ $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} p dx&=[\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} \sigma^2p]|_{-\infty}^{+\infty} -\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x} \frac{ \partial\sigma^2 p}{\partial x} dx \\ &=[\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} \sigma^2p]|_{-\infty}^{+\infty}-[\frac{1}{2} f \frac{ \partial\sigma^2 p}{\partial x}]|_{-\infty}^{+\infty} +\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2}f \frac{ \partial^2\sigma^2 p}{\partial^2 x} dx \\ \end{aligned}$

考虑到边界条件，$p$和$\dfrac{\partial p}{\partial x}$在无穷远处为0，因此可以得到：

$\int_{-\infty}^{+\infty} f\frac{\partial}{\partial t} p dx= -\int_{-\infty}^{+\infty} f \frac{\partial}{\partial x} [\mu p] dx +\int_{-\infty}^{+\infty} f \frac{1}{2}\frac{ \partial^2 \sigma^2 p}{\partial x^2} dx$

考虑到$f$是任意的，我们可以得到：

$\frac{\partial}{\partial t} p(x, t) = -\frac{\partial}{\partial x} [\mu(x, t) p(x, t)] + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} [\sigma^2(x, t) p(x, t)]$

这就是Fokker-Planck方程。