约束

取一个简单的例子，两个二维质点由一个刚性的轻杆链接，求解质点的运动可以有两种方法：

  • 考虑杆的弹力（约束力），列出牛顿方程；
  • 考虑杆的几何约束，不考虑弹力。

如果使用第一种方法，需要假设弹性力的作用，则4个运动方程中出现新的未知量弹性力，需要额外的约束方程来求解；如果使用第二种方法，则可以通过设置三个广义坐标——质心的坐标和杆的角度来描述系统的运动，进而列出拉格朗日方程。

这两种方法对应牛顿力学和拉格朗日力学，也是对约束的不同处理方法。根据约束的存在与否和性质，可以将力学问题做如下分类：

一个一般性的双面约束可以表示为：

按照上述的分类，定常约束表示为：

几何约束表示为：

几何约束可以转化为线性的运动约束：

反之，线性的的运动约束可以积分为几何约束，通常以全微分的形式出现。常见的线性运动约束有：

  • 刚性杆约束：
  • 滚动无滑动约束：

本专栏仅考虑几何约束和可积分的运动约束，这样，原本具有N个自由度的问题，经过k个约束后，变为N-k个自由度的问题。可以取N-k个广义坐标，满足：

虚功原理

虚位移

考虑一个处于力学平衡的约束系统的m个几何约束：

考虑虚位移：

进行泰勒展开：

仅考虑一阶项：

满足以上条件的一组$\delta \vec{r}_j$称为虚位移。

真实坐标的虚功原理

设质点受到主动力$\vec{F}_i$和约束力$\vec{N}_i$的作用，做出虚位移$\delta \vec{r}_i$，则虚功为：

如果一组约束力的虚功为0，则称其为理想约束：

进而导出虚功原理：

并不是所有的约束都是理想约束，理想约束常具有光滑性（无摩擦力，垂直于运动方向）和刚性（不储存能量）。考虑互相的摩擦力时，也可以视为理想约束。

广义坐标的虚功原理

尽管不需要考虑约束力，但是由于约束的存在，真实坐标的虚位移是受到限制的线性组合，具有很大的任意性。考虑广义虚位移以替代真实坐标的虚位移：

代入虚功原理：

此时，广义坐标的虚位移式相互独立的，则：

左侧又称为广义力，记为：

可以理解为，广义力是各个力在广义坐标方向上的投影的和。

达朗贝尔原理

如果力学系统不处于平衡态，则可以添加惯性力使其处于平衡态：

这就是达朗贝尔原理。现在的达朗贝尔原理同样是针对真实坐标的，为了摆脱任意性，转化为广义坐标：