哈密顿力学

哈密顿力学比拉格朗日力学更具对称性，其中一方面体现在自变量的量纲上：

$$[q_\alpha\dot{q_\alpha}]=[q_\alpha^2/t]$$ $$[p_\alpha q_\alpha]=[Lt]$$

显然哈密顿力学的自变量量纲和广义坐标的选取无关，这在接下来的讨论中会体现得更明显。

狄拉克通过对哈密顿力学的量子化，建立起了二者的桥梁，这在 波函数和薛定谔方程 中提到：

$$\{P_i,X_j\}=\delta_{ij},[P_i,X_j]=i\hbar\delta_{ij}$$

哈密顿正则方程

拉格朗日动力学方程为：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}= 0,(\alpha=1,2,\cdots,s)$$

是s个二阶常微分方程。它同时可以改写为2s个一阶微分方程：

$$\begin{cases} \dot{p}_\alpha=\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}\quad (\alpha=1,2,\cdots,s)\\\\ p_\alpha=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\quad (\alpha=1,2,\cdots,s) \end{cases}$$

从第二组式子中可以反解出：

$$\dot{q}_\alpha=\dot{q}_\alpha(q,p,t)$$

得到以广义坐标和广义动量作自变量的拉格朗日函数：

$$\bar{L}(q,p,t)=L[q,\dot{q}(q,p,t),t]$$

由于自变量的改变，偏导需要重新求解。由多元复合函数的偏导数计算规则得到：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}+\sum_{\beta=1}^s\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_\beta}}\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha} \\\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_\alpha}=\sum_{\beta=1}^s\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_\beta}}\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha} \end{cases}$$

代入原先的动力学方程，得到：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_\alpha}=\dot{p}_\alpha+\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha} \\\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_\alpha}=\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha} \end{cases}$$

这就是新的拉格朗日函数的动力学方程了。但作为一个“一般性的规律”，其实它并不对称，依赖于广义坐标的选取。不过，当你观察到：

$$\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial }{\partial q_\alpha}\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta},\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dfrac{\partial \dot{q_\beta}}{\partial p_\alpha}=\dfrac{\partial }{\partial p_\alpha}\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}-\dot{q}_\alpha$$

你就知道可以通过移项，将方程改写为：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial q_\alpha}\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial}{\partial p_\alpha}\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)=\dot{q}_\alpha \end{cases}$$

在 拉格朗日动力学 中，我们曾提到$H=\left(\sum_{\beta=1}^sp_\beta\dot{ q_\beta}- \bar{L}\right)$就是广义能量函数，现在我们可以叫他作哈密顿函数了，从而写出哈密顿正则方程：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}=-\dot{p}_\alpha\\\\ \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}=\dot{q}_\alpha \end{cases}$$

哈密顿力学的优美在分析运动积分（守恒量）的时候立刻体现了出来。当哈密顿函数不显含$q_\beta$的时候，立即可以推出$p_\beta=Const$。同样的道理：

$$\begin{aligned} \frac{dH}{dt}&=\sum_{\alpha=1}^s \dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\sum_{\alpha=1}^s \dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}\\ &=\sum_{\alpha=1}^s (-\dot{p}_\alpha)\dot{q}_\alpha+\sum_{\alpha=1}^s (\dot{q}_\alpha)\dot{p}_\alpha+\frac{\partial H}{\partial t}\\ &=\frac{\partial H}{\partial t}\\ \end{aligned}$$

当哈密顿函数不显含时间，则能量守恒。

刘维尔定理和泊松括号

哈密顿力学的美观体现在广义坐标和广义动量的对称性，从而不需要区分二者，统一称为正则坐标。在正则坐标的$2s$维相空间中，不同点对应了不同的初始条件，每个点都有唯一的轨道，且两两不相交。相空间上的态密度满足刘维尔定理：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\rho}{\partial p_\alpha}\dot{p}_{\alpha}+\frac{\partial\rho}{\partial q_\alpha}\dot{q}_{\alpha}\right)$$

代入哈密顿正则方程，得到：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\rho}{\partial q_\alpha}\dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial\rho}{\partial p_\alpha}\dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha}\right)$$

定义泊松括号：

$$\{\varphi,\psi\}=\sum_{\alpha=1}^s \left(\frac{\partial\varphi}{\partial q_\alpha}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial\varphi}{\partial p_\alpha}\dfrac{\partial \psi}{\partial q_\alpha}\right)$$

上述方程可以写为：

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\{\rho,H\}$$

事实上，对于一般的物理量，其演化方程同样满足：

$$\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\{\varphi,H\}$$

连哈密顿正则方程也可以写为：

$$\dot{p}_\alpha=\{p_\alpha,H\},\dot{q}_\alpha=\{q_\alpha,H\}$$

你肯定也发现了，将上述物理量演化方程量子化后，即可得到：

$$\frac{d\langle A\rangle}{d t}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{\mathrm{i}}{\boldsymbol{\hbar}}\langle[H,A]\rangle$$

这正是量子力学中的Ehrenfest定理，或海森堡绘景。

分析力学的等价表述和量子力学的等价表述的对应关系如下：

分析力学	量子力学
刘维尔定理	海森堡方程
哈密顿-雅可比方程	薛定谔方程
拉格朗日力学	路径积分