级数展开与留数定理

在上一节中，我们谈论到如果能将函数级数展开，那么可以根据负次幂级数来计算围线积分。以下是洛朗定理：

洛朗定理：设 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，$D$ 是包含点 $z_0$ 的圆盘，且 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有孤立奇点，则存在一个收敛于 $z_0$ 的圆盘 $D’$，使得在 $D’$ 内，$f(z)$ 可以展开为：

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n$

其中：

$a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

取$n=-1$，我们可以得到：

$\oint_C f(z) dz=2\pi i a_{-1}$

复数$a_{-1}$被称为留数，它是函数在孤立奇点处的一个重要性质，通常记为$a_{-1}=\underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z)$，这样求围线积分就可以写为：

$\oint_C f(z) dz=2\pi i \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z)$

如果围道内存在多个孤立奇点 $z_1, z_2, \ldots, z_n$，那么：

$\oint_C f(z) dz=2\pi i \left( \underset{z=z_1}{\text{Res}} f(z) + \underset{z=z_2}{\text{Res}} f(z) + \cdots + \underset{z=z_n}{\text{Res}} f(z) \right)$

这就是柯西留数定理。

无穷远点处的留数可以表示为：
$\underset{z=\infty}{\text{Res}} f(z) = - \underset{z=0}{\text{Res}} f\left( \frac{1}{z} \right) \cdot \frac{1}{z^2}$

根据极点的洛朗展开的级数，可以定义$m$阶极点：

$f(z) = \sum_{n=-m}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n$

其中又包含两种极端情况：

当 $m=0$ 时，称为可去奇点，即 $a_n=0$，$n<0$；
当 $m=\infty$ 时，称为本性奇点，即 $a_n\neq 0$，$n<0$。

$m$阶极点的留数为：

$\underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \frac{\varphi^{(m-1)}(z)}{(m-1)!}$

其中 $\varphi(z) = (z-z_0)^m f(z)$。