复数

复数是实数的扩展，形式为 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数可以在平面上表示为点 $(x, y)$，也可以用极坐标表示为 $z = re^{i\theta}$，其中 $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是模，$\theta = \arg(z)$ 是幅角。

复数的运算定义用坐标形式表示为：

加法：$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$
乘法：$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$
复共轭：$\overline{z} = x - iy$
模：$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

用极坐标表示时，复数的乘法和除法可以简化为：

乘法：$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
除法：$z_1 / z_2 = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$
复共轭：$\overline{z} = re^{-i\theta}$

需要注意多值性，例如 $\sqrt{z}$ 和 $\log(z)$ 都是多值函数。对复数取根的时候，共有 $n$ 个值，分别为 $z^{1/n} = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$。对复数取对数时，$\log(z) = \ln|z| + i\arg(z)$，其中 $\arg(z)=\text{Arg}(z)+2k\pi$ 是多值的。

复变函数

复变函数的运算

复变函数是实数函数的扩展，形式为 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u$ 和 $v$ 是实变量函数。也可以用极坐标表示为 $f(z) = f(re^{i\theta}) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)$。

对于以下常见的复变函数，其实部和虚部分别为：

幂函数：$z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$
指数函数：$e^z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$
三角函数：$\sin z = \sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i\cos x \sinh y$，$\cos z = \cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i\sin x \sinh y$
双曲函数：$\sinh z = \sinh(x + iy) = \sinh x \cos y + i\cosh x \sin y$，$\cosh z = \cosh(x + iy) = \cosh x \cos y + i\sinh x \sin y$

复变函数的导数

复变函数的导数定义为：

$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$

分别从水平和垂直方向逼近 $z_0$，得到两个导数。若该函数在此处可导，那么有：

$f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = -i\left[\frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y}\right]$

即 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}$。这两个方程称为柯西-黎曼方程。

柯西-黎曼方程还有极坐标形式：

$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\frac{\partial v}{\partial r}$

在某一点满足柯西-黎曼方程的函数不一定在这一点可导，如$z=\sqrt{|xy|}$，其在原点处满足柯西-黎曼方程：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

但沿着$\theta$方向趋近原点时：

$\frac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \frac{\sqrt{|\cos\theta\sin\theta|}}{e^{i\theta}}$

所以柯西-黎曼方程是充分不必要条件。

复变函数可导的充要条件：

函数$u(x, y)$和$v(x, y)$在点$z_0$的某邻域内存在一阶连续偏导数。
在点$z_0$处，$u(x, y)$和$v(x, y)$满足柯西-黎曼方程。

如果复变函数在$z_0$处可导，并且在$z_0$的某邻域内可导，那么它在$z_0$处是解析的。如果该函数在每个点都解析，则称该函数是全纯的。

一个解析的函数必定是调和(Holomorphic)的，即满足拉普拉斯方程：

$\frac{\partial^2 H}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 H}{\partial y^2} = 0$

证明：
$u_x=-v_y, u_y=v_x$
所以：
$u_{xx}=-v_{xy}, u_{yy}=-v_{yx}$
连续性保证了$v_{xy}=v_{yx}$，所以：
$u_{xx}+u_{yy}=0$
同理可得$v_{xx}+v_{yy}=0$。

复变函数的积分

单实变量复变函数的积分定义为：

$\int_a^b w(z)dz = \int_a^b u(x, y)dx + i\int_a^b v(x, y)dy$

单复变量（双实变量）复变函数的积分定义为：

$\int_C f(z)dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)dt$

这样一个积分被称为围线积分。其模具有上界：

$\left|\int_C f(z)dz\right| \leq \int_C |f(z)|dz \leq M \cdot L$

其中$|f(z)|\leq M$，$L$是路径$C$的长度。

如若函数$f(z)$在路径$C$围成的区域内解析，则根据Cauchy-Goursat定理：

$\int_C f(z)dz = 0$

这是由于闭合曲线上的原函数相减为0。

对于不解析的情况，可以使用Cauchy积分公式：

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$

如$g(z)=\frac{1}{z}$，则：

$\int_C \frac{1}{z}dz=\int_C \frac{f(z)}{z}dz = 2\pi if(0)= 2\pi i$

Cauchy积分公式的推广：

$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}}dz$

如$f(z) = \frac{1}{z^2}$，则：

$\int_C \frac{1}{z^2}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz = 2\pi if'(0)= 0$

Cauchy积分公式是兼容Cauchy-Goursat定理的，即如果函数在路径$C$围成的区域内解析，则：
$\int_C f(z)dz = \int_C \frac{f(z)(z-z_0)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)(z_0-z_0)=0$

这些定理似乎启发我们，$\frac{1}{z}$是与众不同的。同时，如果能将函数分解为幂级数，就可以针对各阶幂级数使用上述定理，这就引出了下一章——级数与留数定理。