偏振光学

偏振态

一般将光的偏振态分为五种：

线偏振光：$\vec{E(t)}=\vec{A}\cos{(\omega t)}$，光矢量的模随时间变化，而方向不变，可以分解为两个正交的线偏振光分量： $E_x=A_x\cos{(\omega t)},E_y=\pm A_y\cos{(\omega t)}$
自然光：自然光是大量不同且独立的线偏振光的几何，因而具有轴对称性；
部分偏振光：自然光经过反射或折射，部分方向的线偏振光减弱，从而对称性减小；
圆偏振光：$\vec{E(t)}=\vec{A}\cos{(\omega t+\phi)}$，光矢量的模不变，方向随时间变化，可以分解为两个正交的线偏振光分量： $E_x=A_x\cos{(\omega t)},E_y=\pm A_y\sin{(\omega t)}$ 依据正负号分别表示右旋圆偏振光和左旋圆偏振光；
椭圆偏振光：分解为两个非正交的线偏振光分量： $E_x=A_x\cos{(\omega t)},E_y=A_y\cos{(\omega t+\phi)}$ 其中，$A_x$和$A_y$分别是两个分量的振幅，$\phi$是相位差。

椭圆偏振光的分量满足：

$\frac{E_x^2}{A_x^2}+\frac{E_y^2}{A_y^2}-\frac{2E_xE_y}{A_xA_y}\cos{\phi}=\sin^2\phi$

马吕斯定律

马吕斯定律描述了线偏振光通过偏振片的强度变化。设入射光的强度为$I_0$，偏振片的透过轴与入射光的偏振方向之间的夹角为$\theta$，则透过偏振片后的光强为：

$I=I_0\cos^2\theta$

自然光

自然光透过偏振片后，光强为：

$I_P=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}I_0\cos^2\theta d\theta=\frac{I_0}{2}$

自然偏振光也可以通过分解为两个线偏振光：

$I_x=\frac{I_0}{2},I_y=\frac{I_0}{2}$

每个方向的偏振光透过偏振片后，光强为：

$I_P=I_x\cos^2\theta+I_y\sin^2\theta=\frac{I_0}{2}$

部分偏振光

部分偏振光可以分解为自然光和线偏振光的叠加，也可以分解为两个线偏振光的叠加：

$I_0=I_{max}+I_{min}=I_{linear}+I_{natural}$

经过偏振片后，光强为：

$I_P=I_{max}\cos^2\theta+I_{min}\sin^2\theta$ $I_P=I_{linear}\cos^2\theta+\frac12I_{natural}$

简单解方程，即可得到：

$I_{natural}=2I_{min},I_{linear}=I_{max}-I_{min}$

圆偏振光

圆偏振光也可以分解为两个线偏振光的叠加，不过光强要满足相干叠加原理：

$I_P=I_{x}\cos^2\theta+I_{y}\sin^2\theta+2\sqrt{I_xI_y}\sin\theta\cos\theta\cos\delta$

不过圆偏振光满足$\delta=\frac{\pi}{2},I_x=I_y$，所以：

$I_P=I_{x}\cos^2\theta+I_{y}\sin^2\theta=\frac12I_0$

椭圆偏振光

椭圆偏振光也可以分解为两个线偏振光的叠加，同样要满足相干叠加原理：

$\begin{aligned} I_P&=I_{x}\cos^2\theta+I_{y}\sin^2\theta+2\sqrt{I_xI_y}\sin\theta\cos\theta\cos\delta\\ &=\frac12(I_x+I_y)+\frac12(I_x-I_y)\cos2\theta+\sqrt{I_xI_y}\sin(2\theta)\cos\delta\\ &=\frac12(I_x+I_y)+\frac12\sqrt{(I_x-I_y)^2+4I_xI_y\cos^2\delta}\cos(2\theta-\phi_0)\\ \end{aligned}$

其中：

$\phi_0=\arctan\left(\frac{2\sqrt{I_xI_y}\cos\delta}{I_x-I_y}\right)$

记$I_0=I_x+I_y$，则：

$I_P=\frac{I_0}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(I_x-I_y)^2+4I_xI_y\cos^2\delta}\cos(2\theta-\phi_0)$

随着角度的变化，光强出现极大极小值：

与椭圆长轴平行时出现极大值：$I_{max}=\frac{I_0}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(I_x-I_y)^2+4I_xI_y\cos^2\delta}$
与椭圆短轴平行时出现极小值：$I_{min}=\frac{I_0}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{(I_x-I_y)^2+4I_xI_y\cos^2\delta}$

极大值和极小值光强相加等于$I_0$。

偏振度

偏振片对着入射光旋转一周，得到最大光强$I_{max}$和最小光强$I_{min}$，则偏振度为：

$P=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$

偏振度可以检测入射光的偏振状态：

$P=0$：自然光或圆偏振光；
$0<P<1$：部分偏振光或椭圆偏振光；
$P=1$：线偏振光。

根据部分偏振光的透射性质，可以计算得到：

$P=\frac{I_{linear}}{I_{linear}+I_{natural}}$

双折射率晶体

晶体的双折射现象

晶体的双折射现象是指光线在部分晶体中传播时，光速和折射率与光线的传播方向有关，表现为出现不重叠的重影。重影具有明显的偏振特性，如果在晶体后放置偏振片并旋转，可以看到两个重影依次消失和出现。这是各向异性晶体中的两个折射率导致的。

介电常数张量

在各向异性晶体中，介电常数是一个张量，表示为：

$\epsilon=\begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \\ \end{pmatrix}$

其中，$\epsilon_{xx}$、$\epsilon_{yy}$和$\epsilon_{zz}$分别表示沿$x$、$y$和$z$方向的介电常数，$\epsilon_{xy}$、$\epsilon_{xz}$、$\epsilon_{yz}$等表示不同方向之间的耦合效应，有$\epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}^*$。单/双轴晶体不考虑上述耦合效应，则介电常数张量为对角矩阵：

$\epsilon=\begin{pmatrix} \epsilon_{x} & 0 & 0\\ 0 & \epsilon_{y} & 0\\ 0 & 0 & \epsilon_{z} \\ \end{pmatrix}$

解麦克斯韦方程组即可得到（详细推导过程请见高等光学部分）波法线和波射线的菲涅尔方程：

$\begin{aligned} \frac{k_x^2}{\frac{1}{\epsilon_x}-\frac1{n^2}}+\frac{k_y^2}{\frac{1}{\epsilon_y}-\frac1{n^2}}+\frac{k_z^2}{\frac{1}{\epsilon_z}-\frac1{n^2}}=0\\ \frac{S_x^2}{n_x^2-\epsilon_x}+\frac{S_y^2}{n_y^2-\epsilon_y}+\frac{S_z^2}{n_z^2-\epsilon_z}=0 \end{aligned}$

其中，$k_x$、$k_y$和$k_z$分别表示光波在$x$、$y$和$z$方向的波矢分量，$S_x$、$S_y$和$S_z$分别表示光波在$x$、$y$和$z$方向的能流密度分量，$n_x$、$n_y$和$n_z$分别表示光波在$x$、$y$和$z$方向的折射率。

对于单轴晶体，$\epsilon_x=\epsilon_y=n_o^2$，$\epsilon_z=n_e^2$，将$\vec{k}=k(\sin\theta,0,0\cos\theta),\vec{S}=k(\sin\xi,0,0\cos\xi)$代入方程可得：

$\begin{aligned} \text{波法线方向}:&n_n=n_o\text{ or }\frac{n_on_e}{\sqrt{n_o^2\sin^2\theta+n_e^2\cos^2\theta}}\\ \text{波射线方向}:&n_r=n_o\text{ or }\sqrt{n_o^2\sin^2\xi+n_e^2\cos^2\xi}\\ \end{aligned}$

可以变形为：

$\begin{aligned} \text{波法线方向}:&\frac1{n_n^2}=(\frac{\sin\theta}{n_o})^2+(\frac{\cos\theta}{n_e})^2\\ \text{波射线方向}:&n_r^2=(n_o\sin\xi)^2+(n_e\cos\xi)^2\\ \end{aligned}$

对应的，其速度也满足以下形式：

$\begin{aligned} \text{波法线方向}:&v_n^2=(v_o\sin\theta)^2+(v_e\cos\theta)^2\\ \text{波射线方向}:&\frac1{v_r^2}=(\frac{\sin\xi}{v_o})^2+(\frac{\cos\xi}{v_e})^2\\ \end{aligned}$

只有波射线方向的速度和波法线方向的折射率是椭圆方程，其余二个都是卵形面。波射线方程的椭圆形式速度也可以认为惠更斯原理中e光的波前是一个椭球面。

射线表象和法线表象有不同的用处，前者对于光线方向比较直接，后者由于涉及相速度，在计算折射和光程差有独特优势。

确定折射的方向

在各向异性晶体中，光线的传播方向不同，对应的折射率不同。如何找到某个传播方向使其满足惠更斯原理呢？我们可以通过上述椭球面波前来解决。首先得找到晶体的光轴方向。所谓光轴方向，就是在该方向上，光线的传播速度不受晶体的影响。此时关注到o光的重要特性为：偏振方向与光轴垂直。

对于单轴晶体，光轴方向是$z$轴，此时$\epsilon_x=\epsilon_y=n_o^2$。在此方向上，光的电场矢量和电位移矢量同向，波法线和波射线同向。

当入射光线和光轴方向存在一定角度时，可以将入射光线人为分成o光（偏振方向垂直于光轴，与入射方向决定了o光）和e光（偏振方向垂直于o光的偏振方向，与入射方向决定了e光）。

此时，我们可以认为e光沿光轴的惠更斯波前等同于o光的惠更斯波前，从而确定椭圆的定轴（对于正晶体$v_e < v_o$是长轴，对于负晶体$v_e > v_0$是短轴）；接着根据折射率之比作出e光的椭圆波前：

alt

以下是几种特殊的情况：

对于任意光轴方向，只要入射o光与光轴平行，e光必然与o光重合；
对于光轴平行于入射面的方向，如果入射o光垂直于入射面，那么e光也垂直于入射面，但是经过尺度为$d$的传播后，产生如下相位差： $\delta_{oe}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_e-n_o)d$

除了在射线表象下计算，在法线表象计算的方法为：

$\theta$角入射确定o光的折射方向：$\sin\theta=n_o\sin\theta_o$；

$\theta$角入射确定e光的波法线折射方向： $\sin\theta=\frac{n_on_e}{\sqrt{n_o^2\sin^2(\theta_e'+\beta)+n_e^2\cos^2(\theta_e'+\beta)}}\sin\theta_e'$ 如果光轴和表面的夹角$\beta=0$，这个方程可以得到： $\tan\theta_e'=\frac{n_e\sin\theta}{n_o\sqrt{n_e^2-\sin^2\theta}}$

计算e光的波射线方向： $\tan\theta_e=\frac{n_o^2}{n_e^2}\tan\theta_e'$

计算e光和o光的相位差： $\delta_{oe}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_od_o-n_ed_e)$

双折射晶体的应用

偏振器

罗雄棱镜：两个冰洲石直角三棱镜黏合而成，其中左边的光轴垂直于入射面，右边的光轴平行于入射面、垂直纸面。入射光入射时，平行于第一块棱镜的光轴，所以没有区别；入射第二块时，由于o光折射率相同，沿直线出射；e光有折射率不同，所以会与o光分开。遮住其中一束，即可得到线偏振光。 $o/e\Rightarrow o/e\Rightarrow o+e$
沃拉斯顿棱镜：与罗雄棱镜类似，不过左边的光轴平行于入射面。这种情况下，原来的o光入射第二个棱镜变成e光，折射率变小；原来的e光入射第二个棱镜变成o光，折射率变大。此时，两束光都不是沿直线出射。 $o/e\Rightarrow o^1+e^1\Rightarrow e^2+o^2$
尼科尔棱镜：使用加拿大树胶（其折射率介于$n_o$和$n_e$）将冰洲石粘合，o光由于折射率大，会发生全反射，而e光则不会。这样可以得到线偏振光。 $o/e\Rightarrow o+e\Rightarrow e$

以上材料可以作为双折射偏振器。常见的偏振器类型还有二向色性偏振片，可以吸收某一偏振方向的光。

相位延迟片（波晶片）

利用上述光轴平行于入射面且入射光线垂直入射面的结论：

$\delta_{oe}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d$

控制材料的长度，即可得到不同的相位延迟片。对于负晶体，$n_e < n_o$，所以相位延迟片使得e光相位落后；对于正晶体，$n_e > n_o$，所以相位延迟片使得e光相位超前。

利用相位延迟片，可以将线偏振光转化为椭圆偏振光。相位延迟片的厚度和折射率决定了相位差的大小。常见的相位延迟片有1/4波片和1/2波片。

1/4波片：相位差为$\frac{\pi}{2}$，可以将线偏振光转化为圆偏振光或椭圆偏振光：当1/4波片和起偏器的夹角为$\theta$时，两个方向的振幅为：

$A_x=A_0\cos\theta,A_y=A_0\sin\theta$

光强为：

$E_x=A_x\cos(\omega t),E_y=\pm A_y\sin(\omega t)$

假设x方向为o光，对于负晶体，e光相位落后，对应$E_y=+ A_y\sin(\omega t)$，是左旋椭圆偏振光；对于正晶体，e光相位超前，对应$E_y=- A_y\sin(\omega t)$，是右旋椭圆偏振光。

当$\theta=\frac{\pi}{4}$时，得到圆偏振光。

1/2波片：相位差为$\pi$，具有以下用途：

旋转线偏振光的偏振方向：当1/2波片和起偏器的夹角为$\theta$时，两个方向的振幅为： $A_x=A_0\cos\theta,A_y=A_0\sin\theta$ 经过1/2波片后，o光和e光的相位差为$\pi$，所以： $E_x=A_x\cos(\omega t),E_y=- A_y\cos(\omega t)$ 偏振方向旋转了$2\theta$。
改变圆偏振光的旋转方向：可以将左旋和右旋圆偏振光互相转化。

区分偏振态的方法

让光线通过偏振片，观察光强变化：
- 如果出现消光现象，则光线是线偏振光；
- 如果光强不变，则光线是自然光或圆偏振光；
- 如果光强变化，但没有完全消失，则光线是部分偏振光或椭圆偏振光。
对于自然光或圆偏振光，通过1/4波片后，再通过偏振片，观察光强变化：
- 如果光强不变，则光线是自然光；
- 如果光强变化，则光线是圆偏振光。
对于部分偏振光或椭圆偏振光，通过1/4波片，且光轴方向与第一步中的偏振片强度极大值或极小值的方向平行：
- 如果有消光现象，则光线是椭圆偏振光；
- 如果没有消光现象，则光线是部分偏振光。