偏微分方程的分离变量法2

偏微分方程的分离变量法 谈到了正交多项式和场论基础。为了求解偏微分方程，可以在相应坐标系下使用场论结果表示相应算子，使用分离变量法使其转化为多个独立的常微分方程问题，然后使用正交多项式展开。

直角坐标系

波动方程

以一般的一维波动方程为例：

$$\begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t)&\text{波动方程}\\ a_1u(x=0,t)+a_2u_x(x=0,t)=g(t)&\text{边值条件1}\\ b_1u(x=0,t)+b_2u_x(x=0,t)=h(t)&\text{边值条件2}\\ u(x,t=0)=\varphi(x),u_t(x,t=0)=\psi(x)&\text{初始条件} \end{cases}$$

该问题可以拆分为两个问题：

• 齐次方程的非齐次边界问题：$u_1(x,t)$
• 非齐次方程的齐次边界问题：$u_2(x,t)$

$u_1(x,t)$和$u_2(x,t)$的解都需要用到齐次方程的正交多项式展开，然后分别根据边界条件和外力项决定相应系数。

齐次方程的非齐次边界问题

分离变量，得到：

$$X''=-\lambda X,T''=-\lambda c^2 T$$

本征函数分别为：

$$X_n(x)=A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+B_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\\T_n(t)=C_n\sin\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)+D_n\cos\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)$$

本征值为：

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$

组合成通解：

$$u_1(x,t)=\sum_{n=0}^\infty X_n(x)T_n(t)$$

系数分别由边界条件和初值条件决定。

非齐次方程的齐次边界问题

带入齐次边界对应的通解：

$$u_2(x,t)=\sum_{n=0}^\infty X_n(x)T_n(t)$$

可以得到以下方程：

$$\sum_{n=0}^\infty X_n(x)T''_n(t)=c^2\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 X_n(x)T_n(t)+f(x,t)$$

利用正交性，可以得到：

$$T_n''(t)=\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2 T_n(t)+\int_0^L f(x,t)X_n(x)dx$$

解得的$T_n(t)$的系数由初值条件决定。

热传导方程

以一般的一维热传导方程为例：

$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t)&\text{热传导方程}\\ a_1u(x=0,t)+a_2u_x(x=0,t)=g(t)&\text{边值条件1}\\ b_1u(x=0,t)+b_2u_x(x=0,t)=h(t)&\text{边值条件2}\\ u(x,t=0)=\varphi(x)&\text{初始条件} \end{cases}$$

同样的道理，不过本征函数变为：

$$X_n(x)=A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+B_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\\T_n(t)=C_n \exp{[-\dfrac{n^2\pi^2 \alpha^2 t}{L^2}]}$$

本征值为：

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$

刚好少了一个系数，对应方程中少了一个条件。

Laplace方程和Poisson方程

极坐标系和柱坐标系

Laplace算子在极坐标系下的形式为：

$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac1r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}$$

在柱坐标系下的形式为：

$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac1r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

假设$u(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)$，分离变量，得到：

$$\frac{1}{R}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{1}{Rr}\frac{dR}{dr}+\frac{1}{\Theta r^2}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2}+\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2}=0$$

假设每一个变量的方程等于本征值：

$$\frac{1}{R}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{1}{Rr}\frac{dR}{dr}+\frac1{r^2}(-m^2)+\mu=0\\ \frac{1}{\Theta}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2}+m^2=0\\ \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2}=\mu$$

可以得到相应的本征函数：

$$\Theta_m(\theta)=A_m\cos(m\theta)+B_m\sin(m\theta),m=0,1,2,\cdots$$ $$Z_\mu(z)=\begin{cases}C+Dz&\mu=0\\C\cos(\sqrt{|\mu|}z)+D\sin(\sqrt{|\mu|}z)&\mu<0\\C\exp{(-\sqrt{\mu}z)}+D\exp{(\sqrt{\mu}z)}&\mu>0\end{cases}$$ $$R_{m,\mu}(r)=\begin{cases}E+F\ln r&m=0,\mu=0\\Er^m+Fr^{-m}&m\neq 0,\mu=0\\EJ_m(\sqrt\mu r)+FY_m(\sqrt\mu r)&m\neq 0,\mu>0\\EI_m(\sqrt{|\mu|} r)+FK_m(\sqrt{|\mu|} r)&m\neq 0,\mu<0\end{cases}$$

球坐标系

Laplace算子在球坐标系下的形式为：

$$\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$$

假设$u(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$，分离变量，得到：

$$\frac{1}{R}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{1}{Rr^2}\frac{dR}{dr}+\frac{1}{\Theta r^2\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{1}{\Phi r^2\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=0$$

假设每一个变量的方程等于本征值：

$$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-l(l+1)R=0\\ \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right] \Theta=-\mu\Theta.\\ \frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=-m^2\Phi$$

其中，$\Theta(x)$在$x=\pm 1$的时候有限。可以得到相应的本征函数：

$$\Phi_m(\phi)=A_m\cos(m\phi)+B_m\sin(m\phi),m=0,1,2,\cdots$$ $$\Theta_m(\theta)=P_m^l(\cos\theta)$$ $$R_{l}(r)=C_lr^l+D_lr^{-l-1}$$

对于Helmholtz方程：

$$\nabla^2 u+k^2 u=0$$

只需要修改径向方程为：

$$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+[k^2r^2-l(l+1)]R=0$$

这是球贝塞尔方程，得到的本征函数为：

$$R_{l}(r)=C_lj_l(kr)+D_ly_l(kr)$$

也可以考虑$k^2<0$的情况，只需要换为虚宗量的球贝塞尔函数即可。