常点附近的级数解法

另一种常见的解二阶常微分方程的办法是级数解法。对于标准的线性二阶齐次常微分方程：

如果$x_0$是方程的一个常点（解析的点），那么微分方程存在以$x_0$为中心的两个幂级数解。我们可以假设解为：

艾里方程

艾里方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：

它的解称为艾里函数，通常用$Ai(x)$和$Bi(x)$表示：

艾里函数也可以表示为积分的形式：

勒让德方程

勒让德方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：

其系数递推关系为：

只有当$\mu=l(l+1)$的时候，才能保证$c_l\neq 0$且$c_{l+1}=0$因而能确保系数不会发散。此时的解被称为勒让德多项式，记为$P_l(x)$。勒让德多项式的性质有：

  • Rodrigues公式：
  • 递推关系：

连带勒让德方程

连带勒让德方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：

其解为连带勒让德函数：

奇点附近的级数解法

奇点指的是微分方程的系数在某个点处不解析的点。如果系数函数$p(x)$和$q(x)$在$x_0$处满足条件：

则称$x_0$为一个正则奇点。如果$p(x)$和$q(x)$在$x_0$处不满足上述条件，则称$x_0$为一个非正则奇点。

弗罗贝尼乌斯定理：如果$x_0$是一个正则奇点，则微分方程在$x_0$处至少存在一个解可以写成：

其中$\alpha$是一个常数，$a_n$是常数。

代入微分方程，不失一般性，我们假设$x_0=0$，则有：

其中$xp(x)=p_0+xp_1+x^2p_2+\cdots$，$x^2q(x)=q_0+xq_1+x^2q_2+\cdots$。由该方程可以确定系数$r$的值（$r_1\geq r_2$）：

  • 如果$r_1\neq r_2$且$\Delta r$非整数，则微分方程的两个线性无关解写为：
  • 如果$\Delta r$是整数，则微分方程的两个线性无关解写为：
  • 如果$r_1=r_2$，则微分方程的两个线性无关解写为：

贝塞尔方程

贝塞尔方程是一个二阶线性常微分方程，形式为：

显然，其系数函数在$x=0$处不解析，且满足：

因此$x=0$是一个正则奇点。其判定方程为：

解得$r_1=\nu,r_2=-\nu$。经过一些复杂的运算，可以得到第一类贝塞尔函数：

当$\nu$不是整数的时候，贝塞尔函数$J_\nu(x)$和$J_{-\nu}(x)$是线性无关的解。然而当$\nu$是整数的时候，$J_{-\nu}(x)=(-1)^\nu J_\nu(x)$，因此它们是线性相关的解。这时候考虑$\ln(x)$项，可以得到第二类贝塞尔函数：

贝塞尔函数的性质

  • 贝塞尔函数的积分表达式：
  • 贝塞尔函数的递推关系：
  • 贝塞尔函数的积分递推关系：

贝塞尔方程的变式

  • $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+(x^2-\nu^2)y=0\Rightarrow J_\nu(x),Y_\nu(x)$
  • $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+(\alpha^2x^2-\nu^2)y=0\Rightarrow J_\nu(\alpha x),Y_\nu(\alpha x)$
  • $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+(\alpha^2x^{2\alpha}-\alpha^2\nu^2)y=0\Rightarrow J_\nu( x^\alpha),Y_\nu(x^\alpha)$
  • $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+(1-2\alpha)x\dfrac{dy}{dx}+(x^2+\alpha^2-\nu^2)y=0\Rightarrow x^\alpha J_\nu(x),x^\alpha Y_\nu(x)$

虚总量贝塞尔方程：

其解为虚总量贝塞尔函数$I_\nu(x)$和$K_\nu(x)$：

球贝塞尔方程：

利用上述的结论，可知其通解为：

其中球贝塞尔函数为：