偏微分方程

常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：

$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$

而偏微分方程是指未知函数与多个自变量有关的微分方程：

$F[x_i,\frac{\partial y}{\partial x_i},\frac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j},\cdots(i,j=0,1,\cdots,n)]=0$

偏微分方程有线性和非线性之分，这里以二阶微分方程为例：

$\begin{cases} \text{线性} & \begin{cases} \text{齐次} & \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\dfrac{\partial y}{\partial x_i}+cy=0\\ \text{非齐次} & \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{\partial^2 y}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\dfrac{\partial y}{\partial x_i}+cy=f\\ \end{cases}\\ \text{非线性}&\end{cases}$

其中系数都是多元函数：$a_{ij}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$、$b_{i}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$和$c(x_1,x_2,\cdots,x_n)$。

物理上的偏微分方程一般是二阶偏微分方程（这大概是源于经典力学中二阶近似就已经很好了）。

重要的数学物理方程

波动方程

弦的横向振动 $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f(x,t)$ 这里的$c$是波速，$f(x,t)$是外力。
杆的纵向振动 $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}-\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=0$ 这里的$E$是杨氏模量，$\rho$是密度。
电报方程 $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+\alpha\frac{\partial y}{\partial t}-c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\beta y=0$ 不同于上面的方程，这里有一个一阶时间导数项（衰减扩散项）和一个零阶的项（如漏电项）。

波动方程是极其重要的例子，广义上的波动方程表示为：

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}-c^2\Delta y=f(x,t)$

电磁波也可以用波动方程来描述：

$\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}-c^2\Delta \vec{E}=0$ $\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}-c^2\Delta \vec{B}=0$

热传导方程

广义的热传导方程为：

$\frac{\partial y}{\partial t}-\alpha\Delta y=f(x,t)$

其中$\alpha$是热扩散系数，$f(x,t)$是外源项。

Laplace方程和Poisson方程

Laplace方程为：

$\Delta y=0$

Poisson方程为：

$\Delta y=f(x)$

前者描述无外源下态的扩散，后者描述有外源下态的扩散。

Schrödinger方程

Schrödinger方程是量子力学的基本方程，描述了粒子在势场中的行为：

$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi+V(x)\psi$

波动方程和热传导方程分别表示时间的二阶导、一阶导和空间二阶导的耦合。前者表现为波动，后者表现为扩散。

热传导方程和Schrödinger方程同样表示时间的一阶导和空间二阶导的耦合。但由于前者是实数，后者是复数，所以热传导方程只能表示扩散，而Schrödinger方程可以表示波动和扩散（虚时间变换）。

波动方程和Laplace方程都有二阶空间导数项，但Laplace方程是空间的二阶导数项的耦合。